1、第1讲三角函数的图象与性质【高考考情解读】1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档1 三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角关系：sin2cos21，tan .(3)诱导公式：在
2、，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”2 三角函数的图象及常用性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(k，k)(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(，0)(kZ)3 三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1(1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)若初始位置为P
3、0，当秒针从P0(此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为_(2)(2012山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_答案(1)ysin(2)(2sin 2,1cos 2)解析(1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为ysin.(2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，
4、ABP2.设P(x，y)，则x21cos2sin 2，y11sin1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2) (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 (1)若sina，则cos_.答案a解析coscoscossinsina.(2)如图，以Ox为始边作角(00，0，|)的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式 本题考查已知图象上
5、的点，求三角函数的解析式，解题的关键是正确理解参数A，的含义，以及它们对函数图象的作用，抓住两者联系解决问题解由图知A5，由，得T3，此时y5sin.下面求初相.方法一(单调性法)：点(，0)在递减的那段曲线上，(kZ)由sin0得2k(kZ)，2k(kZ)|，.该函数的解析式为y5sin.方法二(最值点法)：将最高点坐标代入y5sin，得5sin5，2k(kZ)，2k(kZ)又|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变
6、换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 (1)(2013四川改编)函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是_答案2，解析T，T，2，又22k，kZ，2k，又，.(2)(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.求a，c的值；求sin(AB)的值解由余弦定理得：cos B，即a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得ac3.在ABC中，cos B，sin B.由正弦定理得：，sin A.又AC，0A0)
7、的最小正周期为.求的值；讨论f(x)在区间上的单调性解f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0.从而有，故1.由知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减1 求函数yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的单调区间(1)将化为正(2)将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解2 已知函数yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)A，B.(2)由函数的周期T求，.(3)利
8、用与“五点法”中相对应的特殊点求.3 函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解5 特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”给出下列函数：f(x)sin xcos x；f(x)(sin xcos x)；f(x)sin x2；f(x)sin x.则其中属于“互为生成函数”的是_(填
9、序号)答案2 已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间0，上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到ysin(4x)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原
10、来的2倍，纵坐标不变，得到ysin(2x)的图象所以g(x)sin(2x)令2xt，0x，t.g(x)k0在区间0，上有且只有一个实数解，即函数g(t)sin t与yk在区间，上有且只有一个交点如图，由正弦函数的图象可知k或k1.k或k1.(推荐时间：60分钟)一、填空题1 点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_答案解析记POQ，由三角函数的定义可知，Q点的坐标(x，y)满足xcos cos ，ysin sin .2 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y0，且为
11、第二象限角，所以2k2k，kZ，所以4k20，0，|0)的图象关于直线x对称，且f0，则的最小值为_答案2解析由f0知是f(x)图象的一个对称中心，又x是一条对称轴，所以应有，解得2，即的最小值为2.7 (2012课标全国改编)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案解析由x0得x，又ysin x在上递减，所以，解得.8 函数f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意的xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x2x1|的最小值为_答案解析依题意得，当sin xcos x0，即sin xcos x时，f(x)2sin x；当sin xcos x0，即si
12、n xcos x时，f(x)2cos x.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数yf(x)的图象可知，|x2x1|的最小值是.9已知f(x)2sinm在x0，上有两个不同的零点，则m的取值范围为_答案1,2)解析函数f(x)2sinm在x0，上有两个不同的零点，等价于方程m2sin在区间0，上有两解作出如图的图象，由于右端点的坐标是，由图可知，m1,2)10关于函数f(x)sin 2xcos 2x有下列命题：yf(x)的周期为；x是yf(x)的一条对称轴；是yf(x)的一个对称中心；将yf(x)的图象向左平移个单位，可得到ysin 2x的图象，其中正确命题的序号是
13、_(把你认为正确命题的序号都写上)答案解析由f(x)sin 2xcos 2xsin，得T，故对；fsin ，故错；fsin 00，故对；yf(x)的图象向左平移个单位，得ysinsin，故错故填.二、解答题11已知函数f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0)，其图象过点.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)的图象过点，sin sin cos2cos sin.化简得sin cos 1，即sin1.0，.因此.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos2xsi
14、n 2xcos 2xsin.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得函数yg(x)的图象，g(x)sin.0x，4x.因此当4x时，g(x)有最大值；当4x时，g(x)有最小值.故g(x)的最大值、最小值分别为与.12 (2012湖南)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)ff的单调递增区间解(1)由题设图象知，周期T2，所以2.因为点在函数图象上，所以Asin0，即sin0.又因为0，所以.从而，即.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin 1，解得A2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是，kZ.13已知函数f(x)sin 2x2sin2x2，xR.(1)求函数f(x)的最大值及对应的x的取值集合；(2)画出函数yf(x)在0，上的图象解(1)f(x)sin 2xcos 2x12sin1，当2x2k (kZ)时，f(x)取最大值3，此时x的取值集合为x|xk，kZ(2)列表如下：x02x2y231112图象如下：