1、顺义区2016届高三尖子生综合素质展示 数 学 试 卷 （文科） 2015.12第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，那么（ ）（A）（B）（C）（D）2圆心为，且与轴相切的圆的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）3数列中， 则数列的前项和（ ）（A）（B）（C）（D）4已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）5已知实数满足则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）6某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）（A）（B）（C）（D）7已知函数则“”是“恒成立”的（
2、 ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件8已知函数的定义域为若对于任意的，存在唯一的，使得成立，则称函数在上的几何平均数为已知函数，则在区间上的几何平均数为（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9复数_ 10已知函数若，则_ 11如图，在矩形中， 是的中点，那么_ 12若，且，则_；_ 13已知次多项式 当时，求的值通常要逐项计算，如：计算 共需要次运算（次乘法，次加法），依此算法计算的值共需要_次运算 我国宋代数学家秦九韶在求的值时采用了一种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示，
3、依此算法计算的值共需要_次运算14如图，设是抛物线上一点，且在第一象限过作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了依此类推，可由确定，由确定，记，给出下列三个结论： ； 数列为单调递减数列； 当时，其中全部正确结论的序号为_三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数是奇函数，其中（）求的值；（）设，若函数在区间上最大值与最小值的差为，求的值16.（本小题满分13分）已知数列为等差数列，（）求数列的通项公式；（）若，其中，求数列的前项和17.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该
4、零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级频率（）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（）在（）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.18.（本小题满分14分）如图，已知半圆及点，为半圆周上任意一点，以为一边作等边设，其中（）将边表示为的函数；（）求四边形面积的最大值19.（本小题满分14分）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点（）求该椭圆的离心率；（）设直线和分别与直线交于点，问：轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数，对任意的，都有（）求实数的取
5、值范围；（）若，证明：顺义区2016届高三尖子生综合素质展示数学试卷（文科） 参考答案及评分标准 2015.12一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ； 2. D ； 3. A； 4. A ； 5. D； 6. C； 7. B ； 8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12. ， 13. ， 14. 注： 12题、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（）解：因为函数的定义域为R，且为奇函数， 所以， 【 2分】即 ， 解得 . 验证可得时，是奇函数 【 5分】（）解
6、：由（）得 【 7分】 则当时，且在上为增函数； 当时，且在上为增函数 【 9分】所以当时，取到最大值；当时，取到最小值 【11分】依题意，得 ，解得或（舍去）， 故当时，函数在区间上最大值与最小值的差为 【13分】 16.（本小题满分13分）（）解：设等差数列的公差是，则有 【 2分】 解得， 【 4分】 所以数列的通项公式为 【 6分】（）解： 【 8分】 因为数列是首项为，公差为的等差数列；数列是首项为，公比为的等比数列， 【10分】 所以 【13分】 17.（本小题满分13分）（）解：由频率分布表得 ，即 . 【 2分】由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 . 【 4分】所以. 【 5
7、分】（）解：由（）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：共计种. 【 9分】记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为共4个. 【11分】故所求概率为 . 【13分】18.（本小题满分14分）（）解：在中，由余弦定理得： 【 2分】， 【 4分】所以 【 6分】（）解：四边形的面积 【 8分】 【10分】 【12分】 又 ，则当时，四边形的面积最大值 【14分】19.（本小题满分14分）（）解：由椭圆方程可得， 从而椭圆的半焦距 【 3分】所以椭圆的离心率为 【 5分】（）解：依题意，直线的斜率不为，设其方程为 将其代入，整理得 【 7分】设，所以 ， 【 9分】易知直线的方程是，从而可得，同理可得 【10分】假设轴上存在定点使得，则有 【11分】所以 将，代入上式，整理得所以 ，即，解得 ，或 【14分】所以，轴上存在定点或，使得成立20.（本小题满分13分）（）解：设 【 1分】 则，且 【 3分】 若，则当时，故在上为增函数，所以，即，与题设矛盾 【 5分】 当时，故在上为减函数，所以，即，符合题意综上，实数的取值范围是 【 7分】 （）证明：在（）中，令，得时，必有 【 8分】 设，在上面不等式中取，则有 【 9分】 所以 【10分】 所以 【13分】