1、第1节集合的概念与运算考试要求1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.知 识 梳 理1.集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2)集合中元素
2、的三个特性：确定性、互异性、无序性.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等.(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.2.集合间的基本关系(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA，则aB)，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA.(2)真子集：如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.(3)空集：空集是任何集合的子集.(4)相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等.3.集合的基本运算集合的并集集
3、合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为S，则集合A的补集为SA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xS，且xA4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(SA)，A(SA)S，S(SA)A.常用结论与微点提醒1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个，非空真子集有2n2个.2.子集的传递性：AB，BCAC.3.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.4.ABABAABBSASB.5.S(AB)(SA)(SB)，S(AB)(SA)(SB).诊 断 自 测1
4、.判断下列结论的正误.(在括号内打“”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.()(3)若x2，10，1，则x0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立.()解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.x|yx21R，y|yx211，)，(x，y)|yx21是抛物线yx21上的点集.(3)错误.当x1时，不满足集合中元素的互异性.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P9T1(1)改编)若集合PxN|x，a2，则()A.aP B.aPC.aP D.aP解析因为a2不是自然数，而集合P是不大于的自
5、然数构成的集合，所以aP，只有D正确.答案D3.(教材必修1P13练习T6)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|x，yR且yx，则AB中元素的个数为_.解析集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线yx上的点，圆x2y21与直线yx相交于两点，则AB中有两个元素.答案24.(2019全国卷)已知集合A1，0，1，2，Bx|x21，则AB()A.1，0，1 B.0，1C.1，1 D.0，1，2解析因为Bx|x21|x|1x1，又A1，0，1，2，所以AB1，0，1.答案A5.(2019全国卷改编)已知集合Ax|x25x60，Bx|x10，全集UR，则A(UB
6、)()A.(，1) B.(2，1)C.(3，1) D.(3，)解析由题意Ax|x3.又Bx|x1，知UBx|x1，A(UB)x|x1.答案A6.(2020青岛模拟)设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|12x4，Qy|y2sin x，xR，那么PQ()A.x|0x1 B.x|0x2C.x|1x2 D.x|0x1解析由题意得Px|0x2，Qy|1y3，PQx|0x1.答案D考点一集合的基本概念【例1】 (1)定义PQ，已知P0，2，Q1，2，则PQ()A.1，1 B.1，1，0C. D.(2)设集合Ax|(xa)21，且2A，3A，则实数a的取值范围为_.解析(1)由定义，
7、当x0时，z1，当x2时，z121或z221.因此PQ.(2)由题意得解得所以1a2.答案(1)C(2)(1，2规律方法1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4(2)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“
8、孤立元”.给定S1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个.解析(1)由题意知A(1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，故集合A中共有9个元素.(2)依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.所求的集合为1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共6个.答案(1)A(2)6考点二集合间的基本关系【例2】 (1)(2019苏州调研)已知集合A1，1，Bx|ax10.若BA，则实数a的所有可能取值的集
9、合为()A.1 B.1C.1，1 D.1，0，1(2)(2020苏、锡、常、镇四市调研)已知集合Ax|ylog2(x23x4)，Bx|x23mx2m20)，若BA，则实数m的取值范围为()A.(4，) B.4，)C.(2，) D.2，)解析(1)当B时，a0，此时，BA.当B时，则a0，B.又BA，A，a1.综上可知，实数a所有取值的集合为1，0，1.(2)由x23x40得x4，所以集合Ax|x4.由x23mx2m20)得mx2m.又BA，所以2m1(舍去)或m4.答案(1)D(2)B规律方法1.若BA，应分B和B两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元
10、素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.【训练2】 (1)若集合Mx|x|1，Ny|yx2，|x|1，则()A.MN B.MNC.MN D.NM(2)(2020苏北四市调研)已知集合Ax|log2(x1)1，Bx|xa|2，若AB，则实数a的取值范围为()A.(1，3) B.1，3C.1，) D.(，3解析(1)易知Mx|1x1，Ny|yx2，|x|1y|0y1，NM.(2)由log2(x1)1，得0x12，所以A(1，3).由|xa|2得a2xa2，
11、即B(a2，a2).因为AB，所以解得1a3.所以实数a的取值范围为1，3.答案(1)D(2)B考点三集合的运算多维探究角度1集合的基本运算【例31】 (1)(2019全国卷)已知集合U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则B(UA)()A.1，6 B.1，7 C.6，7 D.1，6，7(2)(2020南通一模)已知全集UR，集合Ax|x40，Bx|ln x4 B.x|x0或x4C.x|0x4 D.x|x4或xe2解析(1)由题意知UA1，6，7.又B2，3，6，7，B(UA)6，7.(2)易知Ax|x4，Bx|0xe2，则ABx|04.答案(1)C(2)B角度2抽
12、象集合的运算【例32】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得AC，BUC”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由图可知，若“存在集合C，使得AC，BUC”，则一定有“AB”；反过来，若“AB”，则一定能找到集合C，使AC且BUC.答案C规律方法1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练3】 (1)(角度1)(2018
13、天津卷)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()A.x|0x1 B.x|0x1C.x|1x2 D.x|0x2(2)(多选题)(角度1)已知集合AxN|x|1，BxZ|y，则()A.ABA B.ABBC.BA1，2，3 D.BAx|1x3(3)(角度2)若全集U2，1，0，1，2，A2，2，Bx|x210，则图中阴影部分所表示的集合为()A.1，0，1 B.1，0C.1，1 D.0解析(1)因为Bx|x1，所以RBx|x1，又Ax|0x2，所以A(RB)x|0x1.(2)易知A0，1，B1，0，1，2，3，所以AB0，1A，ABB，BA1，2，3，故A，B，C正确.(3)Bx|
14、x2101，1，阴影部分所表示的集合为U(AB).又AB2，1，1，2，全集U2，1，0，1，2，所以U(AB)0.答案(1)B(2)ABC(3)DA级基础巩固一、选择题1.(2019全国卷)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()A.x|4x3 B.x|4x2C.x|2x2 D.x|2x3解析Mx|4x2，Nx|2x3，MNx|2x0，N，则()A.MN B.NMC.MN D.MNR解析集合Mx|x2x0x|x1或x1或x0，所以MN.答案C5.设集合Ax|1x2，Bx|x0，则下列结论正确的是()A.(RA)Bx|x1B.ABx|1x0C.A(RB)x|x0D.ABx|x2，RB
15、x|x0，(RA)Bx|x1，A项不正确.ABx|1x0，B项正确，检验C、D错误.答案B6.已知集合Mx|y，Nx|ylog2(2x)，则R(MN)()A.1，2) B.(，1)2，)C.0，1 D.(，0)2，)解析由题意可得Mx|x1，Nx|x2，MNx|1x2，R(MN)x|x0，xR，则AB_.解析由交集定义可得AB1，6.答案1，610.已知集合A1，3，4，7，Bx|x2k1，kA，则集合AB中元素的个数为_.解析由已知得B3，7，9，15，所以AB1，3，4，7，9，15，故集合AB中元素的个数为6.答案611.已知集合Ax|x25x140，集合Bx|m1x2m1，若BA，则实
16、数m的取值范围为_.解析Ax|x25x140x|2x7.当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图.则解得2m4.综上，m的取值范围为(，4.答案(，412.若全集UR，集合Ax|x2x20，Bx|log3(2x)1，则A(UB)_.解析由题意，得集合Ax|x2x20x|x1或x2，因为log3(2x)1log33，所以02x3，解得1x2，所以Bx|1x2，从而UBx|x1或x2，故A(UB)x|x1或x2.答案x|x1或x2B级能力提升13.(2020启东月考)已知集合Ax|x2160，Bx|3x26x1，则()A.AB B.BA C.AB0 D.AB解析由题意，得Ax|x2160
17、x|4x4，Bx|3x26x10，6，ABx|x6或4x4，AB0，故A错误，显然B、D错误，故C正确.答案C14.已知集合Ax|y，Bx|axa1，若ABA，则实数a的取值范围为()A.(，32，) B.1，2C.2，1 D.2，)解析集合Ax|yx|2x2，因ABA，则BA.又B，所以有所以2a1.答案C15.(多填题)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.答案1116.集合UR，Ax|x2x20，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分所
18、表示的集合是_.解析易知A(1，2)，B(，1)，UB1，)，A(UB)1，2).因此阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2.答案1，2)C级创新猜想17.(多选题)设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：(1)0A，1A；(2)对任意x，yA，都有xyA，xyA，xyA，A(y0).则称A为一个数域.则下列命题正确的是()A.有理数集Q是一个数域B.若A是一个数域，则QAC.若A，B都是数域，则AB也是一个数域D.若A，B都是数域，则AB也是一个数域解析由数域的定义可得有理数集Q满足定义，是一个数域，故A正确；若A为一个数域，则A中包含任意整数和分数，故QA，故B正确；若A，B都是数域，则Q(AB)，故AB中的元素均满足定义，故AB也是一个数域，故C正确；若A，B都是数域，则Q(AB)，故AB中的元素均满足定义，故AB也是一个数域，故D正确.答案ABCD18.(多填题)对于任意两集合A，B，定义ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)，记Ay|y0，Bx|ylg(9x2)，则BA_，A*B_.解析由题意，得Ay|y0，Bx|3x3，ABx|x3，BAx|3x0.因此A*Bx|x3x|3x0x|3x0或x3.答案x|3x0x|3x0或x3