1、江苏省南通市2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一、填空题.1.设复数z满足（i为虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.2.设全集，集合，则_.【答案】【解析】【分析】先求出，再根据交集的运算法则计算即可【详解】解：全集，集合，故答案为：【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题3.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球
2、颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率.【详解】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，基本事件总数，摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，摸到的2球颜色不同的概率.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.4.某学校从高三年级共名男生中随机抽取名测量身高据测量被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、第八组按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含）的人数为 【答案】【解析】【分析】根据频率和为，求
3、出男生身高在以上（含）的频率和频数【详解】根据频率分布直方图知，男生身高在以上（含）的频率为；对应的人数有故答案为：【点睛】本题考查利用频率直方图计算出频数，要熟悉频率、样本容量与频数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是_.【答案】240【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当时，满足条件，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解.【详解】解：执行程序框图，有，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；满足条件，退出循环，输出.故答案为：240.【点睛】本题
4、主要考察了程序框图和算法，等差数列求和，属于基本知识的考查.6.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为_.【答案】【解析】【分析】设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，进而可得出抛物线的焦点到准线的距离.【详解】设抛物线的标准方程为，代入点得，得.因此，抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦点到准线的距离，解答的关键在于求出抛物线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.7.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的
5、距离.【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为所以焦点到渐近线的距离为.故答案为【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.8.已知四棱锥的底面是边长为2，锐角为的菱形，侧棱底面，若点M是的中点，则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】由可知，则.【详解】解：底面是边长为，锐角为的菱形，底面，.故答案为：.【点睛】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题.9.以抛物线的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线标准方程为_.【答案】【解析】【分析】设以直线为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线焦点
6、，能求出双曲线方程.【详解】解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为（），双曲线经过抛物线焦点，双曲线方程为：.故答案：.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是_cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能
7、力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.11.设是上的奇函数，当时，记，则数列的前项和为_【答案】【解析】【分析】通过是上的奇函数及当时的表达式可求出的值.【详解】由于函数是上的奇函数，且当时，所以，数列的前项和为.故答案为：.【点睛】本题考查的是有关奇函数性质的应用，以及对应的数列的求和问题，考查计算能力，属于中等题.12.过曲线上一点处的切线分别与轴，轴交于点、，是坐标原点，若的面积为，则_【答案】【解析】【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标【详
8、解】由题意可得y0=x0，x00，y=1+，切线的斜率为1+，则切线的方程为yx0+=（1+）（xx0），令x=0得y=；令y=0得x=，OAB的面积S=，解得x0=（负的舍去）故答案为【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.13.在平面直角坐标系中，已知圆，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即
9、可求得实数的取值范围.【详解】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则PB=2PA，(x4)2+y2=4(x2+y2)，x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，动点P在直线x+yb=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，直线与圆x2+y2+=0相交，圆心到直线的距离，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若集合，则实数的取值范围为 【答案】【解析】【分析】把时的改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得时的函数的最大值，条件
10、等价为对，都有，进行转化求解即可求解该不等式得答案详解】若，则等价为恒成立，即恒成立，当时，若，则当时，是奇函数，若，则，则，则，综上，此时函数为增函数，则恒成立，若，若时，；当时，；当时，即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数，当时，的最大值为，作出函数的图象如图：由于，故函数的图象不能在函数的图象的上方，结合图可得，即，求得，综上，故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式恒成立，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，
11、b，c，已知，且.（1）求角B的大小；（2）若，的外接圆的半径为1，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用平面向量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求的值，结合B的范围即可求出B的值；（2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得，根据三角形的内角和定理可求，进而利用正弦定理可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1），且，由，可得；（2），整理可得：，可得，的外接圆的半径为1，由正弦定理可得，解得：，.【点睛】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了转
12、化思想，属于基础题.16.如图，在直四棱柱中，、分别是、的中点，与交于点（1）求证：、四点共面；（2）若底面是菱形，且，求证：平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，由中位线的性质可得，并证明出，利用平行线的传递性得出，进而可证得结论；（2）先由直棱柱证得侧棱，再由菱形得从而可推得平面，即最后结合已知条件，推证平面【详解】（1）连接，因为、分别是、的中点，所以由直棱柱知且，所以四边形为平行四边形，所以所以，故、四点共面；（2）连接，因为直棱柱中平面，平面，平面，所以因为底面是菱形，所以又，所以平面因为平面，所以又，平面，平面，所以平面【点睛】本题考查四点共面的证
13、明，同时也考查了线面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.17.已知函数.（1）若函数（，）的定义域为，求实数a的取值范围；（2）当时，恒有不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），且；（2）【解析】分析】（1）由题可知在上恒成立，利用二次函数的性质可得a的范围；（2）整理不等式得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.【详解】（1）由题意可知，在上恒成立，且；（2），令，令，解得，当时，递增；当时，递减；，.【点睛】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换.难点是利用导函数求出构造函数的最小值，考查计算能力，属于中等题.18.如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面
14、2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若当变化时，求的取值范围.【答案】（1）（2）3x4【解析】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且，由已知观察者离墙米，且，则， 所以， ，当且仅当时，取“” 又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大 （2）由题意得，又，所以， 所以，当时，所以，即，解
15、得或， 又因为，所以，所以的取值范围为19.在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）；（2）在，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得，则椭圆方程可求；（2）设（），当时和时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当时，求出过点O且垂直于的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点
16、到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上.【详解】（1）由题意得：，又，联立以上可得：，.椭圆C的方程为；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为，不妨取，设（），则，过原点且与垂直的直线方程为，当时，过P点的圆的切线方程为，过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得：，代入椭圆方程成立；同理可得，当时，点A在椭圆上；当时，联立，解得，所在直线方程为.此时原点O到该直线的距离，说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上.综上可得，点A在椭圆C上.【点睛】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题.20.已知数列
17、的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，（1）若，求；（2）已知，且对任意的，有恒成立，求证：数列是等差数列；（3）若，且存在正整数，使得，求当最大时，数列的通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用题意列出方程组，求得、的值，据此可得的值；（2）结合（1）的结论证得，即可说明数列是等差数列；（3）分类讨论的奇偶性即可得到数列的通项公式为.【详解】（1）根据题意，有，由，得，解得，因此，；（2）证明：当为偶数时，恒成立，且，当为奇数时，恒成立，则，因此，数列是等差数列；（3）若，且存在正整数、，使得，在、中必然一个是奇数，一个是
18、偶数.不妨设为奇数，为偶数.，为奇数，为偶数，的最小正值为，此时，因此，数列的通项公式为.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解，考查计算能力，属于中等题.选做题本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.求矩阵的特征值及对应的特征向量.【答案】，特征向量为；，特征向量为【解析】【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.【详解】解：特征多项式，由，解得，；将代入特征方程组，得，可取为属于
19、特征值的一个特征向量. 同理，当时，由,所以可取为属于特征值的一个特征向量.综上所述，矩阵有两个特征值，；属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为.【点睛】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题.22.在平面直角坐标系中，曲线C：（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离.【答案】【解析】【分析】由，可得直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲线C上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离.【详解】解：由，可得：直线l的普通方程为，曲线C上的点到直线l
20、的距离为.当，即，取得最大值.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题.23.设、均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】作差再利用均值不等式得.【详解】因为，=，所以【点睛】本题考查不等式的证明，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.必做题第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.如图，在直三棱柱中，.（1）设，异面直线与所成角的余弦值为，求的值；（2）若点D是中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）或；（2）【解析】
21、【分析】（1）以、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值.（2）求出平面的法向量和面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）由，得.以、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，设，则由，得，而，根据，解得，或；（2），设平面的法向量，则，取，得面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，并且与二面角相等，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.25.设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；（3）根据，将左边利用倒序相加法求和.【详解】解：（1），通项为：，故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为；（2）；（3）证明：令，则，所以，得：，.【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题.