1、第一课时等比数列的前n项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮
2、传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示139320(3211).1.等比数列的前n项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量首项、公比和项数首项、末项和公比公式SnSn2.等比数列前n项和公式的函数特征当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1).即Sn是n的指数型函数.当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数.3.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若bn是公差d0
3、的等差数列，cn是公比q1的等比数列，求数列bncn的前n项和Sn时，可以用这种方法.拓展深化微判断1.求等比数列的前n项和可以直接套用公式Sn.()提示当q1时，Snna1.2.等比数列的前n项和不可以为0.()提示可以为0，比如1，1，1，1，1，1的和.3.数列an的前n项和为Snanb(a0，a1)，则数列an一定是等比数列.()提示由于等比数列的前n项和为Snqn.可以发现b1时，数列an才为等比数列.4.求数列n2n的前n项和可用错位相减法.()微训练1.在等比数列an中，若a11，a4，则该数列的前10项和S10()A.2 B.2C.2 D.2解析易知公比q，则S102.答案B2
4、.设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则公比q()A.1或1 B.1C.1 D.解析由S3S6S9得S3S9S6，即a1a2a3a7a8a9q6(a1a2a3)，则q61，q1.答案A微思考1.若等比数列an的公比q不为1，其前n项和为SnAqnB，则A与B有什么关系？提示AB.2.等比数列an的前n项和公式中涉及a1，an，n，Sn，q五个量，已知几个量方可以求其它量？提示三个.题型一等比数列前n项和公式的直接应用【例1】求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.解(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，q2.a3a4a
5、5q2(a1a2a3)q2S3222184.答案C3.等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n()A.2n1 B.C. D.解析由a1a2a31得a21，又a44，故q24，a2a4a6a2n.答案B4.已知等比数列an的前n项和为Sn，a4a178，S339，设bnlog3an，那么数列bn的前10项和为()A.log371 B. C.50 D.55解析由a4a178得a1(q31)78，又S3a1(1qq2)39，解得a1q3，故an3n，bnn，所以数列bn的前10项和为55.答案D5.已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和等于
6、()A.或5 B.或5 C. D.解析设数列an的公比为q，显然q1，由已知得，解得q2，数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为.答案C二、填空题6.等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.解析由题意设数列an的首项为a1，公比为q(q1)，则解得所以a8a1q72732.答案327.已知正项数列an满足a6aan1an.若a12，则数列an的前n项和Sn_.解析a6aan1an，(an13an)(an12an)0.an0，an13an.又a12，an是首项为2，公比为3的等比数列，Sn3n1.答案3n18.若等比数列an的前n项和为Snm4n1t(其中
7、m，t是常数)，则_.解析法一a1S1mt，a2S2S13m，a3S3S212m，则aa1a3，所以9m212m(mt)，即m4t，故4.法二Snm4n1tm4nt，因为an是等比数列，故mt，则4.答案4三、解答题9.在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和.解设数列an的公比为q(q0).由已知可得所以解得q3或q1.由于a1(q1)2，因此q1不合题意，应舍去.故公比q3，首项a11.所以数列an的前n项和Sn(nN*).10.已知数列an的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a23，a35.(1)求数列an的通项公式；(2
8、)设bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.解(1)数列是公差为1的等差数列，a1n1，可得Snn(a1n1)，a1a22(a11)，a1a2a33(a12)，且a23，a35.解得a11.Snn2.n2时，anSnSn1n2(n1)22n1(n1时也成立).an2n1.(2)bnan3n(2n1)3n，数列bn的前n项和Tn3332533(2n1)3n，3Tn32333(2n3)3n(2n1)3n1，2Tn32(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n1，可得Tn3(n1)3n1.能力提升11.数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an_.解析
9、anan1a1qn12n1，即各式相加得ana12222n12n2，故ana12n22n1(nN*).答案2n112.已知数列an的前n项和为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解(1)因为点(Sn，an1)在直线y3x1上，所以an13Sn1，当n2时，an3Sn11.于是an1an3(SnSn1)an1an3anan14an.又当n1时，a23S11a23a113t1，所以当t1时，a24a1，此时，数列an是等比数列.(2)由(1)，可得
10、an4n1，an14n，所以bnlog4an1n，cn4n1n，那么Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(40414n1)(12n).创新猜想13.(多选题)已知等比数列an的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是()A.若a30，则a2 0210B.若a40，则a2 0200C.若a30，则S2 0210D.若a30，则S2 0210时，a2 021a3q2 0180，A正确；当a40时，a2 020a4q2 0160，B正确.又当q1时，S2 021，当q0，1q2 0210，S2 0210，当0q0，1q2 0210，S2 0210，当q1时，1q0，1q2 0210.当q1时，S2 0212 021a10，故C正确，D不正确.答案ABC14.(多空题)已知等比数列an的前n项和为Sn，且公比q1，若a22，S37.则数列an的通项公式an_，aaa_.解析a22，S37，由S322q7，解得q2或q，又q1，q2，故a11，所以an2n1a4n1，aaa.答案2n1