1、 武汉市 2022 届高中毕业生四月调研考试 数学试卷参考答案及评分标准 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B A A D D AB BCD AC BCD 填空题：13.0 14.|2 x （答案不唯一，其它正确答案同样给分）15.5 16.72；142（第一空 2 分，第二空 3 分）解答题：17.（10 分）解：（1）设na公差为d，则1 3(1)(1 2)ddd=+，化简得220dd=，又0d，所以2d=.1659aad=，1(1)211naandn=+=.5 分（2）21()102nnnSaann=+=.令210211nnn，得212
2、110nn+.即(1)(11)0nn，得111n 故满足nnSa成立的最大正整数n 为 10.10 分 18.（12 分）解：（1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件 A.则393107()10CP AC=4 分（2）X 可能取值为 1，2，3 则192101(1)5CP XC=；182108(2)45CP XC=；2821028(3)45CP XC=.故 X 的分布列是 X 1 2 3 P 15 845 3645 故1828109()1235454545E X=+=12 分 19.（12 分）解：（1）取 AC 中点 M，由题意，11PO=，222BCAB=，又1PO BC，故1PO
3、/=12 BC.又2O M/=12 BC，故1PO/=2O M，所以四边形12,P O O M 为平行四边形，则 PM 12OO.由12O O 平面 ABC，故 PM 平面 ABC，又 PM 面 PAC，故平面 PAC 平面 ABC.6 分（2）以2O 为坐标原点，2221,O B O C O O 的方向为zyx,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：122(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(,2),(0,0,2)22ABCPO.1(2,0,2)AO=.设平面 PBC 的法向量(,)nx y z=，(2,2,0)BC=，22(,2)22CP=.1220222022n B
4、Cxyn CPxyz=+=+=，令1z=，得(2,2,1)n=.设所求角的大小为，则111|22|2 30sin|cos,|15|65AO nAO nAOn+=.所以直线1AO 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 3015.12 分 20.（12 分）解：（1）226BCBPPC=+=，此时23cos36PCPCBBC=，26sin36BPPCBBC=.在 ABC中，2226cos26ACBCABACBAC BC+=，又sin0ACB，故2630sin1()66ACB=所以sinsin()sincoscossinACPACBPCBACBPCBACBPCB=3036610263636=6 分（
5、2）设(0)APx x=，在 APB中，22221cos24APBPABxAPBAP BPx+=.在 APC中，sinsinAPACACPAPC=，代入得：1sin5APCx=.又32APBAPC+=，故3coscos()sin2APBAPCAPC=.即21145xxx=，解得：55x=，所以55AP=.12 分 21.（12 分）解：（1）设抛物线焦点(,0)2pF，由题意|QOQF=，故1224p=，解得：1p=.故抛物线的标准方程为22yx=.4 分（2）由题意，直线 AC 斜率存在且不为 0，设直线 AC 的方程为：ykx=，设点11(,)A x y，22(,)C xy.22(2)4y
6、kxxy=+=，联立得：22(1)40kxx+=，由10 x，得1241xk=+.22ykxyx=，联立得：2220k xx=，由20 x，得222xk=.2221222(31)|1|1kACkxxkk+=+=+.因为 ACBD，用1k代替k，得2222232(1)2(3)|1111kkkBDkkk+=+.故四边形 ABDC 面积22222662012(31)(3)|12|(1)|kkkkSACBDkkkk+=+.令1|(2)|kt tk+=，26886tSttt+=+.设函数8()6(2)f tttt=+，222868()60tfttt=，故()f t 单调递增.故当2t=，即|1k=时，S
7、 取到最小值 16，所以四边形 ABCD面积的最小值是 16.12 分 22.（12 分）解：（1）6k=时，()()sin6f xxx=，()sin()cos6fxxxx=+，故1()sin662f=.故切线方程为1()26yx=，令0 x=，12y=.此时所求三角形的面积为21|2126144=.4 分（2）()sin()cosfxxxkx=+当22x时，()cos(tan)fxxxxk=+.由函数tanyxx=+在区间(,)2 2 上递增，且值域为 R，故存在唯一0(,)2 2x ，使得00tan xxk+=.此时当02xx时，()0fx，()f x 单调递减；当02xx时，()0fx，
8、()f x 单调递增，因此10 xx=.同理，存在唯一03(,)22x，使得00tanxxk+=.此时当02xx 时，()0fx，()f x 单调递增；当032xx时，()0fx，()f x 单调递减，因此20 xx=.由1()0fx=，11tanxkx=，211111sin1()coscoscosxf xxxx=.同理：222222sin1()coscoscosxf xxxx=.由12()()0f xf x+=，整理得：12121(coscos)(1)0coscosxxxx+=.又123222xx，故12coscos1xx ，则有122coscoscos()xxx=由222x，故12xx=或12()xx=.又1122tantankxxxx=+=+，当12xx=时，不满足，舍去.所以12()xx=，即12xx+=，则1122tantan22xxxxk+=.综上所述，2k=.12 分
