1、山东省聊城市九校2020-2021学年高二数学上学期第一次开学联考试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，002，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ ）1622779439495443548217379323788442175331572455068877047
2、44767630163785916955567199810507175A. 548B. 443C. 379D. 217【答案】D【解析】【分析】利用随机数法的定义直接求解【详解】选出第6行第8列的数4开始向右读为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行，即第一个号码为439，则选出的前4个号码是：439，495，443，217，选出的第4个号码是217故选：D【点睛】本题考查随机数表，考查简单随机抽样的性质等基础知识，属于简单题型.2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数的共轭复数为（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义得到
3、，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.【详解】解:依题意可得，所以，故选：D【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.3. 已知向量，满足，向量，的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的定义求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以， 又，向量，的夹角为，所以，所以故选：C【点睛】本题考查平面向量定义法求数量积，以及向量模的计算，属于基础题.4. 周长为9的三角形三边长，长度依次相差1，最大内角和最小内角分别记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出，长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决.【详
4、解】由题意得：， ，即，故选：C.【点睛】此题考余弦定理的应用，属于简单题.5. 已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意得，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可【详解】设圆柱底面半径为，高为，圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，解得，圆柱的体积为.故选：B【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题6. 设表示不大于的最大整数，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积定义可得，从而可得的
5、范围【详解】解：由题意可知：，即，故选：【点睛】本题考查平面向量的数量积定义，属于基础题7. 我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的表面积为（ ）A. 9B. 18C. 27D. 36【答案】C【解析】【分析】根据题意用球的半径表示底面正方形面积以及锥体的高，再根据体积求球半径，最后根据球的表面积公式求结果.【详解】设球的半径为R，则，解得R3，故半球的表面积为，故选：C【点睛】本题考查球的表面积、锥的外接球，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 某长江大桥的主体造型为：桥拱部分（开口
6、向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意，设主桁部分对应的函数为，由题意，求得，结合三角函数的伸缩变换，逐项判断即可得出结果.【详解】不妨设主桁部分对应的函数为，由题中条件可得，则，所以，A选项，与相比，近似扩大了倍，缩小倍才能使周期扩大倍，而缩小近倍才是，故A排除；B选项，与相比，近似扩大了倍，缩小了倍，使周期扩大倍，故B正确；C选项，与相比，近似扩大了倍，缩小了倍才能使周期扩大倍，而缩小近倍才是，
7、故C排除；C选项，与相比，近似扩大了倍，缩小了倍才能使周期扩大倍，而缩小近倍才是，故D排除；故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩变换，考查求余弦型函数的解析式，属于常考题型.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列关于说法中正确的是（ ）A. 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行B. 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直C. 两条异面直线不能垂直于同一个平面D. 空间中与两条异面直线同时平行的平面有无数个【答案】ACD【解析】【分析】根据平面的基本性质，以及线
8、面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据平行平面的性质，可得过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行，所以A是正确的；对于B中，过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，所以B是错误的；对于C中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，与两条直线异面矛盾，所以C是正确的；对于D中，过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线确定一个平面，可得两条异面直线与这个平面都平行，又由空间中有无数个点，所以可作出无数个平面，所以是D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定和性质，逐项
9、判定是解答的关键，着重考查空间想象能力.10. 下列关于说法中正确的是（ ）A. 正弦函数在第一象限内是增函数B. 函数的图象纵坐标不变，横坐标沿着轴向右平移个单位得到的图象C. 已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是或D. 函数的图象的对称中心的坐标是【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数的性质，可判断A错；根据三角函数的平移原则，可判断B正确；根据向量数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，可判断C错；根据正切函数的性质可判断D正确.【详解】A选项，由正弦函数的图形和性质可知，正弦函数在第一象限内有增有减；故A错；B选项，函数的图象纵坐标不变，横坐标沿着轴向右平移个单位得到的图象；故
10、B正确；C选项，因为，若与的夹角为锐角，则且与不共线，由可得或；由与不共线可得，解得且；综上的取值范围是或或；故C错；D选项，由，得，即函数的图象的对称中心的坐标是，故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查正弦型函数的性质，三角函数平移问题，正切函数的对称性，以及向量的坐标表示问题，属于常考题型.11. 某同学通过研究函数，得到以下结论，你认为正确的是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 函数的最大值是1C. 函数在区间上是减函数D. 函数的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】化简，利用余弦函数的性质分别求函数的最小正周期，最值，单调区间以及对称轴即可.【详解】解：=所以最小正周期为
11、：，故A选项正确；函数的最大值为，故选项正确；当，即时，单调递减，故C选项不正确；的对称轴为：，即，故是的对称轴，故D选项正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数平方关系的应用，考查余弦函数二倍角公式，考查余弦函数的性质，熟记余弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.12. 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数越小，表明空气质量越好，如表是空气质量指数与空气质量的对应关系，如图是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图，下列叙述正确的是（ ）A. 该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B. 该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年
12、2月份的空气质量C. 该市2020年2月份空气质量指数的中位数大于2019年2月份空气质量指数的中位数D. 该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差【答案】BD【解析】分析】根据统计图，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由图中数据可得，该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为，故A错；B选项，由图中数据可得，该市2020年2月份空气质量为优的天数明显多于2019年2月份的空气质量为优的天数，且2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为，2019年2月份的空气质量为优的天数的频率仅为，所以该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份
13、的空气质量，故B正确；C选项，因为2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为，所以2020年2月份空气质量的中位数必然小于，而2019年2月份的空气质量为优的天数的频率为，故2019年2月份空气质量的中位数必然大于，故C错误；D选项，由题中图像可得，2020年2月份的空气质量指数主要集中在，而2019年2月份空气质量指数较分散，故该市2020年2月份空气质量指数的方差小于2019年2月份空气质量指数的方差.故D正确；故选：BD.【点睛】本题主要考查统计图的应用，属于基础题型.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）.13. 已知某地区中小学生人数如图所示，用分层
14、抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为_.【答案】50【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解.【详解】用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，抽取的高中生人数为.故答案为：50.【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.14. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】求出平面向量的坐标，可得出向量在向量方向上的投影为，进而得解.【详解】向量，则，可得，设向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的坐标运算计算向量的投影，考查计算能力，属于基础题
15、.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点,，测得，则两点的距离为_，两点的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求和，再建立方程求出，接着判断是等腰三角形，最后求即可.【详解】解：因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：因为，所以，所以是等腰三角形，则.故答案为：，【点睛】本题考查正弦定理的应用、实际问题中的距离测量问题、三角形中的计算问题，还考查了数形结合思想，是基础题.16. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】本题先用、表
16、示出和，再求即可.【详解】解：因，所以， 因为，所以所以，解得所以故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角和差的余弦公式，还考查了整体代入法，是基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数：.（1）若_，求实数的值；（2）若复数的模为，求的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数为实数和虚数的定义逐一解答即可；（2）化简求模，解出满足的关系，即可求出的值.【详解】（1）选择，则，解得.选择为虚数，则，解得.选择为纯虚数，则，解得.（2）由可知
17、复数.依题意，解得.因此.【点睛】本题考查复数，实数，纯虚数的定义，考查复数模的运算，属于基础题.18. 如图，在平行四边形中，是的中点，且在直线上，且，记，若.（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再求出，比较系数即得解；（2）由余弦定理求出，再根据即得解.【详解】（1）是的中点，.由可知.又，.（2），及可知.，在中，由，及余弦定理可知得，解得.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19. 已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，为的
18、中点.（1）若为的中点，求证：平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，证得底面，得到，再在正证得，结合线面垂直的判定地鞥了，即可证得平面；（2）连接交与，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.（3）取的中点，连接，证得可得平面，得出为三棱锥的高，且，结合体积公式，即可求解.【详解】（1）连接，由底面，且，可得底面，又由底面，所以，又因为为正边的中点，所以，因为，且平面，所以平面.（2）连接交与，则为的中点，连接，则.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，.取的中点，连接，则，可得平面，即为三棱锥的高，三
19、棱锥的体积.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解20. 已知向量，设.（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）已知为锐角，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先根据向量运算及三角变换化简，然后根据解析式求解最小正周期和对称轴方程；（2）由可得，根据平方关系求出，结合差角公式可求的值.详解】（1）由题意得.因此函数的最小正周期.令
20、，则，即函数的对称轴方程为.（2），.，.，.又，.【点睛】本题主要考查三角函数的图象性质及恒等变换，三角函数的性质求解通常把函数化为最简形式，给值求值问题优先观察已知角和所求角间的联系，然后根据相关公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.21. 已知的内角，的对边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，进而可求角的值；（2）利用正弦定理及条件表示出，结合余弦定理及基本不等式可得，利用面积公式可求最小值.【详解】（1）由及正弦定理得.即.，.为三角形的内角，.（2）.，可得，即.由余弦定理可得可得，解得（当且仅当时等
21、号成立）.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形，条件的边角转化是求解的关键，三角形的面积最值，一般借助基本不等式来求解，侧重考查数学运算的核心素养.22. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（周）人数100120130180220150603010 （1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的第50百分位数及众数（保留一位小数）；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里
22、20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【答案】（1）图见解析；（2）第50百分位数约为29.2，众数为；（3）3720（元）.【解析】【分析】（1）直接计算频率，再除以组距即可得；（2）设百分位数为，找到50百分位数的位置，利用公式计算即可；（3）分三类分别计算人数，后计算各类总价，再算平均数即可.【详解】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得样本的众数为，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，设样本50百分位数为，则，解得，样本的第50百分位数约为29.2.（3）依题意知休闲跑者共有：人，核心跑者共有人，精英跑者共有人，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费（元）.【点晴】此题考统计概率相关概念，属于简单题.