1、第五章质量评估(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1曲线f(x)x311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()A9 B3C9 D15C解析：由已知得切线的斜率kf(1)3，所以切线方程为y123(x1)，即3xy90.令x0，得y9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.2下列结论正确的个数是()若f(x)ln 2，则f(x)；若f(x)，则f(3)；若f(x)2x，则f(x)2xln 2；若f(x)log2x，则f(x).A0 B1 C2 D3D解析：yln 2为常数，所以y0，错；均正确，直接利用求导公式即可验证3函数f(x)(x3
2、)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)D解析：f(x)(x2)ex.由f(x)0得x2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，)4函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程y2x1，则曲线yf(x)在(1，f(1)处切线的斜率为()A B2C4 DC解析：yg(x)在x1处的切线方程为y2x1.g(1)k2，又f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，故曲线yf(x)在(1，f(1)处切线的斜率为4.5如果函数f(x)2x3ax21(a为常数)在区间(，0)和(2，)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为()A1
3、B2C6 D12C解析：令f(x)6x22ax0，得x0或x，由题意，知f(x)0的两根为0,2，所以2，所以a6.6若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9D解析：f(x)12x22ax2b，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立7已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则一定成立的是()Af(sinA)f(cosB)Bf(sinA)f(sinB)Df(cosA)0时，f(x)0，即f(x)单调递增又ABC为锐角三角形，则AB，即AB0，故sinAsi
4、n0，即sinAcosB0.故f(sinA)f(cosB)8若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数具有T性质的是()Aysinx Byln x Cyex Dyx3 A解析：(ln x)0，(ex)ex0，(x3)3x20.选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为1，只有A项符合二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a可取的范围有()A(，3 B(，3)C6，) D(6，)BD解析：依题意f(x)3x22ax(a6)，对应的判别式(2a)243
5、(a6)4a212a720，即a23a180，即(a6)(a3)0，解得a6.故选BD10如图是函数yf(x)导函数yf(x)的图象，下列选项中正确的是()A在x2处导函数yf(x)有极大值B在x1，x4处导函数yf(x)有极小值C在x3处函数yf(x)有极大值D在x5处函数yf(x)有极小值ABCD解析：根据导函数f(x)的图象可知：x1，x4的两侧f(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数yf(x)有极小值；x2的两侧f(x)左增右减，所以在x2处导函数yf(x)有极大值根据导函数f(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数yf(x)有极大值. x5的左侧导数
6、小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数yf(x)有极小值故选ABCD11对于函数f(x)16ln(1x)x210x，下列正确的是()Ax3是函数f(x)的一个极值点Bf(x)的单调递增区间是(1,1)，(2，)Cf(x)在区间(1,2)上单调递减D直线y16ln 316与函数yf(x)的图象有3个交点ACD解析：由题得f(x)2x10，x1.令2x28x60，可得x1或3，则f(x)在(1,1)，(3，)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误因为f(1)16ln(11)121016ln 29，f(3)16ln(13)3210316ln 42
7、1，又y16ln 316f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)f(2)f(3)，得16ln 31616ln 421，所以直线y16ln 316与函数yf(x)的图象有3个交点，故D正确故选ACD12已知函数f(x)x23xm2ln x，()Am3时，f(x)有两个零点Bm3时，f(x)的极小值点为2Cm3时，f(x)0恒成立D若f(x)只有一个零点，则m22ln 2ABD解析：对于选项A，当m3时，f(x)x23x32ln x，其定义域为(0，)，f(x)2x3.令f(x)0，得x2，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，f
8、(x)minf(2)12ln 21ln 40，f(3)32ln 30，f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确对于选项B，由上面的推导过程可知，当m3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)0，则函数g(x)的图象与直线ym只有一个交点g(x)，令g(x)0, x2，当0x2时，g(x)2时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，g(x)ming(2)22ln 2，且当x0时，g(x)；当x时，g(x).函数g(x)的图象与直线ym只有一个交点时，m22ln 2，m22ln 2，故选项D正确故选ABD三、填空题(本题共4小
9、题，每小题5分，共20分)13.设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处均有极值，且f(1)1，则abc_.1解析：f(x)3ax22bxc，由题意知f(1)3a2bc0，f(1)3a2bc0，又f(1)abc1，可解得a，b0，c，所以abc1.14.已知函数f(x)x33ax2bx，其中a，b为实数若f(x)在区间1,2上为减函数，且b9a，则a的取值范围是_1，)解析：由题意知f(x)3x26axb0对x1，2恒成立，b9a，所以f(x)3x26ax9a0，即x22ax3a0对x1,2恒成立因为2x30，所以a对x1,2恒成立，容易求得a1.15.已知曲线f(x)ax3ln x，若曲
10、线yf(x)在x1处的切线斜率为4，则a_；若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_1(，0)解析：f(x)3ax2.令f(1)3a14，得a1.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即3ax20有解，3a，而x0，a(，0).16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为_，解析：由题意，设矩形边长AD2x，则AB4x2，矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2.令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，S0，故f(x)在区间(，2)内为增函数；当x(2,1)时
11、，f(x)0，故f(x)在区间(1，)内为增函数；从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.19.(12分)已知函数f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解：由f(x)x2xsinxcosx，得f(x)x(2cosx)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cosa)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x
12、)0f(x)单调递减1单调递增所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值因此b的取值范围是(1，).20.(12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围解：(1)对f(x)x3ax2bxc求导，得f(x)3x22axb.由fab0，f(1)32ab0，得a，b2.f(x)3x2x2(3x2)(x1)令f(x)0，解得x或x1.当x变化时，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小
13、值单调递增函数f(x)的递增区间是和(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.c的取值范围是(，1)(2，).21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48 km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k20)若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂
14、污染指数的和，若设MAx km.(1)试将y表示为x的函数；(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值解：(1)点M处受A工厂的污染指数为8pk1，受B工厂的污染指数为pk1，从而点M处的污染指数y8pk1pk1，其中0x48.(2)由(1)知y8pk1pk1pk1k2，所以ypk1k2，令y0，即pk1k20，得x32，且当0x32时y0；当32x0，因此y在x32处取得极小值，即最小值故当点M处的污染指数y取得最小值时x的值等于32.22.(12分)已知函数f(x)f(1)ex1f(0)xx2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值解：(1
15、)f(x)f(1)ex1f(0)xx2，则f(x)f(1)ex1f(0)x.令x1，得f(0)1.f(x)f(1)ex1xx2.令x0得f(0)f(1)e11，f(1)e.f(x)exxx2.设g(x)f(x)，则g(x)f(x)ex1x.g(x)ex10，f(x)g(x)在xR上单调递增f(x)0f(0)x0；f(x)0f(0)x0，yh(x)在xR上单调递增，此时当x时，h(x)与h(x)0矛盾；当a10时，h(x)0xln(a1)，h(x)0x0)令F(x)x2x2ln x(x0)，则F(x)x(12ln x)F(x)00x；F(x).当x时，F(x)max.当a1，b时，(a1)b的最大值为.