1、三角函数和解三角形 阅卷案例思维导图(2020新高考全国卷T17，10分)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？本题考查：正弦定理、余弦定理解三角形等知识，等价转化、化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.答题模板标准解答踩点得分第1步：变式利用余弦定理将C转化为边a，b，c的关系式.第2步：变式利用正弦定理将三角函数式转化为边a，b的等式.第3步：计算由第1步、第2步的化简结果及条件求得结论.第1步：
2、变式利用余弦定理将C转化为边a，b，c的关系式.第2步：变式利用正弦定理将三角函数式转化为边a，b的等式.第3步：化简利用第1步、第2步的结论化简得bc.第4步：变角利用三角形内角和定理求A第5步：计算根据条件及第4步的结论求得结果.第1步：变式利用余弦定理将C转化为边a，b，c的关系式.第2步：变式利用正弦定理将三角函数式转化为边a，b的等式.第3步：计算利用第1步、第2步的计算结果及条件求得结论.方案一：选条件由C和余弦定理得.2分由sin Asin B及正弦定理得ab.4分方案二：选条件由C和余弦定理得. 2分由sin Asin B及正弦定理得ab.4分于是，由此可得bc，6分所以BC，
3、A.8分方案三：选条件由C和余弦定理得. 2分由sin Asin B及正弦定理得ab. 4分得分点及说明1.利用余弦定理正确实现角化边，得2分.2.利用正弦定理正确实现角化边得2分.3.化简得b，c的关系得3分.4.结合条件，求得结论得3分.得分点及说明1.利用余弦定理正确实现角化边得2分.2.利用正弦定理正确实现角化边得2分.3.化简得b，c的关系得2分.4.正确求得角A、B、C得2分.5.结合条件正确求得结论得2分.得分点及说明1.利用余弦定理正确实现角化边得2分.2.利用正弦定理正确实现角化边得2分.3.化简得b，c的关系得3分.4.结合条件得出结论得3分.命题点1三角函数的图象与性质1
4、研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解2函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T.应特别注意y|Asin(x)|的最小正周期T.高考题型全通关1函数f (x)2sin(x)1的图象过点，且相邻两个最高点与最低点的距离为.(1)求函数f (x)的解析式和单调增区间；(2)若将函数f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，求g(x)在上的值域解(1)由相邻两个最高点和最低点的距离为，可得42，解得2.f 2sin11，sin，0，
5、f (x)2sin1.当f (x)单调递增时，2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.f (x)的单调增区间为，kZ.(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)2sin 4x1，当x时，4x，sin 4x1，1g(x)1，g(x)在上的值域为1，12(2020济宁模拟)在函数f (x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，函数f (x)的图象的一条对称轴方程为x1，函数f (x)的一个对称中心的横坐标为，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题. 已知函数f (x)2sin(x)，且_，点A(2，2)在该函数的图象上，求函数f (x)在区间(3，3)上的单调递减区间注：如果选择多
6、个条件分别解答，按第一个解答计分解若选，设函数f (x)的最小正周期为T，则5，得T6，则，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin2，得2k，kZ，则2k，kZ，又|，所以，所以函数f (x)2sin.令2kx2k，kZ，解得26kx56k，kZ，因为(3，3)x|26kx56k，kZ(3，12，3)，所以函数f (x)在区间(3，3)上的单调递减区间为(3，1和2，3)若选，则sin()1，得k1，k1Z.因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2)2，得22k2，k2Z，则，k1，k2Z.因为|，所以，k2，k2Z，又0，所以，所以函数f (x)2sin.令2kx2k，
7、kZ，解得26kx56k，kZ，因为(3，3)x|26kx56k，kZ(3，12，3)，所以函数f (x)在区间(3，3)上的单调递减区间为(3，1和2，3)若选，则2sin0，得k1，k1Z，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2)2，得22k2，k2Z，则，k1，k2Z.因为|，所以，k2，k2Z，又0，所以，所以函数f (x)2sin.令2kx2k，kZ，解得26kx56k，kZ，因为(3，3)x|26kx56k，kZ(3，12，3)，所以函数f (x)在区间(3，3)上的单调递减区间为(3，1和2，3)命题点2解三角形的综合应用角度一三角形基本量的求解求解三角形中的边和角
8、等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定“工具”，即根据条件和所求，合理选择转化的“工具”，实施边角之间的互化；第三步：求结果高考题型全通关1(2020石家庄模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Aac，D是BC边上的点(1)求角B；(2)若AC7，AD5，DC3，求AB的长解(1)由bcos Aac，根据正弦定理得sin Bcos Asin Asin C，sin Bcos Asin Asin(AB)，sin
9、Bcos Asin Asin Acos Bcos Asin B，sin Asin Acos B，sin A0，cos B，B.(2)在ADC中，AC7，AD5，DC3，cosADC，ADC.在ABD中，AD5，B，ADB，由，得AB.2(2020长春质量监测一)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A，ab.(1)求证：ABC是直角三角形；(2)若c10，求ABC的周长的取值范围解(1)证明：由题可知sin Asin B，因为sin A0，所以sin Bcos A所以coscos A，由ab，知AB，则0B，所以0B.因为函数ycos x在(0，)上单调递减，所以BA，即A
10、B，所以ABC是直角三角形(2)ABC的周长L1010sin A10cos A1010sin，由ab可知，A，因此sin1，即20L1010.角度二与三角形面积有关的问题三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值高考题型全通关1(2020安徽示范高中名校联考)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ac)sin Acsin(AB)bsin B(1)求B；(2)若ac8，三角形的面积SABC4，求b.解(1)由(ac)sin Acsin(AB)b
11、sin B，得(ac)sin Acsin Cbsin B由正弦定理得(ac)ac2b2，即，所以cos B.又B(0，)，所以B.(2)由(1)知B，由SABCacsin B4，得ac16，又ac8，所以a4，c4，所以b2a2c22accos B16，得b4.2(2020惠州第一次调研)已知ABC的内角A，B，C满足.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值解(1)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理可得，化简得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，cos A.又0A，A.(2)法一：记ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2R，得a2R
12、sin A2sin，由余弦定理得3b2c2bc2bcbcbc，即bc3(当且仅当bc时取等号)，故Sbcsin A3(当且仅当bc时取等号)即ABC的面积S的最大值为.法二：记ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2R2，得b2sin B，c2sin C，Sbcsin A(2sin B)(2sin C)sinsin Bsin CABC，sin Bsin(AC)sinsin Ccos C，Ssin Ccos Csin2Csin 2C(1cos 2C)(sin 2Ccos 2C)sin.0C，当2C，即C时，S取得最大值，ABC的面积S的最大值为.角度三以平面几何为背景的解三角形问题解决以平面几何为载
13、体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围高考题型全通关1(2020临沂模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若sinCAD，AD4，求CD的长解(1)在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，得BC2BC40，得BC，SABCABBCsinABC1.(2)BAD，sinCAD，cosBAC，sinBAC，sinBCA
14、sin(cosBACsinBAC).在ABC中，AC，在ACD中，CD2AC2AD22ACADcosCAD5162413，CD.2如图，在四边形ABCD中，AB4，AD2，E为BD的中点，AE.(1)求BD；(2)若C，求BCD面积的最大值解(1)设BEx(x0)，则BD2x，由余弦定理，得cosABD，即，解得x1，所以BD2.(2)在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C，即4BC2CD2BCCD2BCCDBCCD(2)BCCD，所以BCCD4(2)，当且仅当BCCD时，等号成立SBCDBCCDsin CBCCD2，所以BCD面积的最大值为2.角度四以解三角形为载体的
15、“条件不良”问题高考题型全通关1(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解计分解选(1)由余弦定理a2b2c22bccos A，b11a，c7，得a2(11a)2492(11a)7，a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.由正弦定理，得sin C，由(1)知b11a3，SABCabsin C836.选(1)cos A，A，sin A.cos B，B，sin B.由正弦定理，得，a6.(2)sin Cs
16、in(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.ab11，a6，b5.SABCabsin C65.2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，若b，_.请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答条件：asinbsin A，bsin Aacos，a2c2b2abcos Aa2cos B结论：求ABC的周长的取值范围求ABC的面积的最大值解选条件，则由正弦定理得sin Asinsin Bsin A，因为sin A0，所以sinsin B由ABC，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B.选择条件，
17、则在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又bsin Aacos，所以asin Bacos，即sin Bcos，所以sin Bcos Bsin B，可得tan B.又B(0，)，所以B.选择条件，因为a2c2b2abcos Aa2cos B，所以由余弦定理，得2accos Babcos Aa2cos B，又a0，所以2ccos Bbcos Aacos B 由正弦定理得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，又C(0，)，所以sin C0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.选择结论，因为b，所以由余弦定理得13a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac，所以(ac)2133ac133，解得ac2(当且仅当ac时，等号成立)又acb，所以2acb3，故ABC的周长的取值范围为(2，3选择结论，因为b，所以由余弦定理得13a2c22accos Ba2c2ac2acacac(当且仅当ac时，等号成立)所以ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为.