1、双曲线 命题点1双曲线的定义及标准方程1利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程2在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系3利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可高考题型全通关1(2020合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为yx，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A1B1或1C1 D1或1D因为双曲线的渐近线方程为yx，a2，所以当焦点在x轴上时，所以b，所以双曲线的方程为1；当
2、焦点在y轴上时，所以b2，所以双曲线的方程为1.综上所述，该双曲线的方程为1或1，故选D2(2020唐山模拟)双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点若|PO|PF|，则SOPF的最小值为()A BC1D2B不妨设点P在渐近线yx上，由题意知F(，0)因为|PO|PF|，所以P，则SOPF，当且仅当a1时取“”，故选B3(2020广东四校联考)P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1B2C4D21D设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|PF2|2，所以|PF
3、1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离由题意可得直线l的方程为yx，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d1，故|PQ|PF1|的最小值为21，选D4(2020大同调研)已知F1，F2是双曲线M：1的焦点，yx是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|PF2|()A8 B6 C10 D12D由M的一条渐近线的方程为yxx，所以，得m25，所以M的半焦距c3.因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，且椭圆E的离心率e
4、，所以E的长半轴长a4.不妨设|PF1|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|4，解得|PF1|6，|PF2|2，所以|PF1|PF2|12，故选D5(2020东营模拟)设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|BF2|的最小值为()A13 B12 C11 D10C由题意得双曲线的实半轴长a2，虚半轴长b.根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|AB|8.又|AB|min3，所以|AF2|BF2|的最小值为11，故选C6(2020济南模拟)
5、已知双曲线：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线的右支上异于顶点的一个点，PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是()APF1F2的内切圆的圆心I在直线xa上B|OM|aC若F1IF2，则PF1F2的面积为b2tan DPF1F2的内切圆与x轴的切点为(ca，0)ABC设内切圆与PF1F2的边F1F2，F2P，F1P分别切于点A，B，C(图略)，切点A的坐标为(x0，0)，则|PF1|PF2|PC|CF1|PB|BF2|CF1|BF2|AF1|AF2|(cx0)(cx0)2x02a，所以x0a，连接IA，则IAx轴，
6、所以A正确，D不一定正确；设直线F2M交PF1于D，因为PM是F1PF2的平分线，且PMF2D，所以PDF2是等腰三角形，即|PD|PF2|，所以|PF1|PF2|DF1|2a，又易得M是线段DF2的中点，O是线段F1F2的中点，所以|OM|F1D|a，故B正确；在PF1F2中，设F1PF2，因为|PF1|PF2|2a，所以结合余弦定理可得|PF1|PF2|，所以PF1F2的面积S|PF1|PF2|sin .因为IF1F2IF2F1，即()，所以2，所以Sb2tan ，所以C正确7(2020江西红色七校第一次联考)双曲线C：x21的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上且tanF1PF24，O
7、为坐标原点，则|OP|_.因为tanF1PF24，所以sinF1PF2，cosF1PF2.由余弦定理|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|16，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|PF2|7，则 F1PF2的面积为|PF1|PF2|sinF1PF22.设P(x0，y0)，因为F1PF2的面积为2c|y0|2，所以|y0|，代入x21得x2，所以|PO|.8一题两空(2020临沂模拟)已知双曲线C经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为yx，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线C
8、的方程为_，若P为该双曲线右支上一点，点A(6，8)，则当|PA|PF2|取最小值时，点P的坐标为_x21由题意，可设双曲线C的方程为y23x2k，将(2，3)代入，得32322k，得k3，故双曲线C的方程为x21，作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2，所以|PF2|PF1|2，则|PA|PF2|PA|PF1|2|AF1|2，当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立由A(6，8)，F1(2，0)，得直线AF1的方程为yx2，由得2x24x70，解得x1，因为点P在双曲线的右支上，所以点P的坐标为.命题点2双曲线的几何性质双曲线的渐近线与离心率的关系双
9、曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.高考题型全通关1多选教材改编已知双曲线M：1(ab0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确的是()AM的离心率为BM的标准方程为x21CM的渐近线方程为yxD直线xy20经过M的一个焦点ACD依题意，a2b24，因为两条渐近线的夹角为60，ab0，所以渐近线的倾斜角为30与150，所以，所以所以ACD正确，B错误故选ACD2(2020德州模拟)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为
10、M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32Sp2，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDyxB依题意得|MF1|MF2|2a，|MF1|MF2|，联立，解得|MF1|a，|MF2|a，又F1F2为直径，四边形F1NF2M为矩形，S|MF1|MF2|a2，即a2，即p232a2，由|MF1|2|MF2|2|F1F2|2得2a24c2，即3a22c2，a22b2，故选B3(2020陕西百校联盟第一次模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于坐标原点对称的两点，M为l2上一点且kAMkBMe(e为双曲线C的离心率)，则e的值为()
11、A B C2 DB设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(x1，y1)不妨设l1：yx，l2：yx，则y0x0，y1x1，所以kAMkBM，因为kAMkBMe，所以e，即e，e21e，e2e10，解得e.又e1，所以e，选B4(2020南昌模拟)圆C：x2y210y160上有且仅有两点到双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A(，) BCD(，1)C不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bxay0.因为圆C：x2(y5)29，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以24，结合a2b2c2，得，所以该双曲线的离心率的取值范围是.5(202
12、0聊城模拟)如图，已知A，B，C是双曲线1(a0，b0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BFAC，且2|AF|CF|，则该双曲线的离心率是()A B C DB设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，CF(图略)，则由|OA|OB|，|OF|OF|，BFAC知四边形AFBF为矩形，设|AF|m，则|AF|m2a，|AC|AF|2|AF|3|AF|3m，|FC|2|AF|2m，则|FC|FC|2a2m2a，则在RtAFC中，|FC|2|AF|2|AC|2，即(2m2a)2(m2a)2(3m)2，解得ma.在RtAFF中，|FF|2|AF|2|AF|2，即4c2(m2a)2
13、m2，即4c2，整理得，所以双曲线的离心率e，故选B6(2020济南模拟)如图，点A为双曲线C：1(a0，b0)的右顶点，点P为双曲线上一点，作PBx轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点，则双曲线C的离心率为 ()A B C2 DA法一：由题意可得A(a，0)，又A为线段OB的中点，所以可得B(2a，0)，令x2a，则yb，可取P(2a，b)由题意可得圆A经过双曲线的左顶点(a，0)，即|AP|2a，即2a，可得ab，e，故选A法二：设双曲线的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N，由已知易得|PB|b，|BM|3a，|BN|a，连接PM，P
14、N(图略)，在RtPMN中，PBMN，所以|PB|2|BM|BN|，所以3b23a2，因为c2b2a2，所以e，故选A7(2020成都模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|MN|4b，则双曲线C的离心率的取值范围为()AB(，)C(，)D(1，)(，)C由双曲线定义知|MF2|MF1|2a，所以|MF2|MF1|2a，所以|MF2|MN|4b恒成立，即|MF1|MN|2a4b恒成立，即|MF1|MN|4b2a恒成立法一：(|MF1|MN|)min4b2a.由平面几何知识知，当MF1x轴时，|MF
15、1|MN|取得最小值，所以4b2a，即3840，解得0或2.又e，所以e(，)，故选C法二：根据题意，不妨取M，则|MF1|MN|，由4b2a，解得0或2.又e，所以e(，)，故选C8一题两空教材改编已知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线的方程是2xy0，则双曲线E的离心率e_；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2y22x4ym0相切，则实数m的取值范围是_3(3，5)因为双曲线E的一条渐近线的方程是2xy0，所以2，所以e3.因为双曲线E的实轴长为2，所以2a2，即a1，所以c3，F(3，0)由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得3m5，故实数m的取值范围是(3，5)