1、高考资源网（） 您身边的高考专家 学生用书P147(单独成册)A基础达标1已知a(3，2，5)，b(1，5，1)，则a(a3b)()A(0，34，10)B(3，19，7)C44 D23解析：选C.a3b(3，2，5)3(1，5，1)(0，17，2)，则a(a3b)(3，2，5)(0，17，2)0341044.2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M在AC上，且AMMC，点N在A1D上，且A1N2ND.设a，b，c，则()AabcBabcC.abcDabc解析：选A.因为M在AC上，且AMMC，N在A1D上，且A1N2ND，所以，.又ABCDA1B1C1D1为平行六面体，且a，b，c
2、，所以ab，bc，所以(ab)c(bc)abc.3.如图所示，在几何体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBC1，CD2，点E为CD中点，则AE的长为()A. BC2 D解析：选B.，因为|1|，且0.又因为2()2，所以23，所以AE的长为.故选B.4如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D30解析：选B.由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设PAAB1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1
3、，1，0)设PB与AC所成的角为，则cos ，所以60.5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. BC2 D解析：选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)设ADa(0a2)，则点D的坐标为(1，0，a)，(1，0，a)，(0，2，2)设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a，1，1)又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos 60，得，即a，故AD.故选
4、A.6已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，则_解析：因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，则11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，则解得答案：17已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则点B与点D之间的距离为_解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则BMMN，NDMN，BMND，则AM，BM，CN，DN，MN1.由于，所以|2()2|2|2|22()122(000)，故|.答案：8(201
5、9温州高二检测)如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_解析：如图所示，过点C作CO平面ABDE，垂足为O，取AB的中点F，连接CF，OF，OA，OB，则CFO为二面角CABD的平面角，所以cosCFO.设AB1，则CF，OF，OC，所以O为正方形ABDE的中心如图建立空间直角坐标系，则E，A，M，N，所以，所以cos，.答案：9.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，ACBDO，PAC是边长为2的等边三角形，PBPD，F为AP上一点，且AP4AF.(1)求证：PO底面ABC
6、D；(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，ACBDO，所以O是AC，BD的中点又PAPC，PBPD，所以POAC，POBD.又ACBDO，所以PO底面ABCD.(2)由底面ABCD是菱形，可得ACBD，又由(1)，知POAC，POBD.如图，连接OF，以O为坐标原点，以射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由PAC是边长为2的等边三角形，PBPD，可得OA1，PO，OBOD.所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，所以(1，0，)，(0，0)，(1，0，0)，(1，0
7、，)由AP4AF，可得.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则，即.令x1，则z，所以n(1，0，)因为cos，n，所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30.10.在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，BE2，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值解：(1)证明：由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC.又平面ACD平面ABC，所以DO平面A
8、BC，作EF平面ABC，那么EFDO，根据题意，点F落在BO上，因为BE和平面ABC所成的角为60，所以EBF60，因为BE2，所以EFDO，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DEOF.因为DE平面ABC，OF平面ABC，所以DE平面ABC.(2)根据题意得OA，OB，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，0)，C(1，0，0)，E(0，1，)，所以(1，0)，(0，1，)，平面ABC的一个法向量为n1(0，0，1)，设平面BCE的法向量为n2(x，y，z)，则，所以，取z1，所以n2(3，1)所以cosn1，n2，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角EBC
9、A的余弦值为.B能力提升11.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又APPDP，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)取AD的中点F，连接PF，因为PAPD，所以PFAD，由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，又ABADA，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，
10、B，C.所以，(，0，0)，(0，1，0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，则即可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，则即可取m(1，0，1)则cosn，m.由图形得二面角APBC为钝角，所以二面角APBC的余弦值为.12(2019郑州高二检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD的中点，PO平面ABCD，PAD是等边三角形，ABBCAD1，cosADB，ADBC，ADBD.(1)证明：平面POC平面PAD；(2)求直线PD与平面PAB所成角的大小解：(1)证明：因为PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以POAD，在DAB中，因为ABAD1，cosAD
11、B，所以cosADB，即BD28BD30，解得BD或BD，因为BDAD2，与ADBD矛盾，所以BD.因为AB2AD21225BD2，所以DAB是直角三角形，BAD90，因为ADBC，O是AD的中点，ABBCAD，所以四边形ABCO是正方形，所以COAD.由得AD平面POC.又AD平面PAD，所以平面POC平面PAD.(2)如图，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，(0，1，)，(1，1，)，(0，1，)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则所以令z
12、1，则y，x0，则n(0，1)为平面PAB的一个法向量设直线PD与平面PAB所成的角为，则sin |cosn，|，故60，所以直线PD与平面PAB所成角的大小为60.13(选做题)已知几何体EFGABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上(1)求证：BMEF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，所以GDDA，GDDC，ADCD，又DADCD，所以GD平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
13、Dxyz，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)因为点M在边DG上，故可设M(0，0，t)(0t1)可得(1，1，t)，(1，1，0)，所以1(1)11(t)00，所以BMEF.(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45.设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，因为(0，1，1)，(1，0，1)，所以所以令z1，得xy1，所以n(1，1，1)为平面BEF的一个法向量，所以cosn，.因为直线MB与平面BEF所成的角为45，所以sin 45|cosn，|，所以，解得t43.又0t1，所以t34.所以存在点M(0，0，34)所以当点M位于DG上，且DM34时，直线MB与平面BEF所成的角为45.- 11 - 版权所有高考资源网