1、第3讲 圆的方程 第八章 平面解析几何考纲解读 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程(重点)2掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点预测 2021 年将会考查：求圆的方程；根据圆的方程求最值；与圆有关的轨迹问题试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现1 基础知识过关 PART ONE 1.圆的定义及方程定义平面内与 01 _的距离等于02 _的点的集合(轨迹)标准方程03 _圆心：04 _，半径：05 _一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：0
2、6 _，半径：07 _定点定长(xa)2(yb)2r2(r0)(a，b)rD2，E212 D2E24F2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2 之间存在着下列关系：设 d 为点 M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离(1)drM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在01 _；(2)drM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在02 _；(3)drM 在圆内，即(x0a)2(y0b)20，解得 m2 2.答案解析(3)若原点在圆(x2m)2(ym)25 的内部，则实数 m 的取值范围是_解析 因为原点在圆(x2m)2(ym)25 的内部，
3、所以(02m)2(0m)25.解得1m0，b0)把圆(x4)2(y1)216 分成面积相等的两部分，则 12a2b的最小值为()A.10 B8 C5 D4解析 由已知，得圆心 C(4，1)在直线 axby10 上，所以4ab10，即 4ab1，又因为 a0，b0，所以 12a2b 12a2b(4ab)b2a8ab 42b2a8ab 48，当且仅当 b2a8ab 时，等号成立，此时 b4a，结合 4ab1，知 a18，b12.所以当 a18，b12时，12a2b取得最小值 8.答案解析3 课时作业 PART THREE 1.设圆的方程是 x2y22ax2y(a1)20，若 0a1，则原点与圆的位
4、置关系是()A.原点在圆上B原点在圆外C.原点在圆内D不确定A组基础关解析 将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a0，即 0a2012 2a，所以原点在圆外.答案解析2.圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.x2(y2)25 B(x2)2y25C.x2(y2)25 D(x1)2y25解析 因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25 的圆心(2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为(x2)2y25.故选 B.答案解析3.若 a2，0，1，34，则方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示的圆的个数为()A
5、.0 B1 C2 D3解析 方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆的条件为 a24a24(2a2a1)0，即 3a24a40，解得2a23.又 a2，0，1，34，仅当 a0 时，方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，故选 B.答案解析4.圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A.43B34C.3D2解析 圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线 axy10 的距离为|a41|a21 1，解得 a43.故选 A.答案解析5.(2019合肥二模)已知圆 C：(x6)2(y8)24，O 为坐标原点，则以 OC 为
6、直径的圆的方程为()A.(x3)2(y4)2100B.(x3)2(y4)2100C.(x3)2(y4)225D.(x3)2(y4)225解析 由圆 C 的圆心坐标 C(6,8)，得 OC 的中点坐标为 E(3，4)，半径|OE|32425，则以 OC 为直径的圆的方程为(x3)2(y4)225.答案解析6.(2020黄冈市高三元月调研)已知圆 x2y22k2x2y4k0 关于直线 yx 对称，则 k 的值为()A.1 B1 C1 D0解析 化圆 x2y22k2x2y4k0 为(xk2)2(y1)2k44k1.则圆心坐标为(k2，1)，圆 x2y22k2x2y4k0 关于直线 yx 对称，k21
7、，得 k1.当 k1 时，k44k10，不符合题意，k1.故选 A.答案解析7.点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则xx142，yy122，即x12x4，y12y2，代入 x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.故选 A.答案解析8.(2019太原二模)若圆 x2y22x2yF0 的半径为 1，则 F_.解析 由圆 x2y22x2yF0 得(x1)2(y1)22F，由半径
8、r 2F1，解得 F1.1解析9.已知圆 C：x2y2kx2yk2，当圆 C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为_解析 圆 C 的方程可化为xk22(y1)234k21.所以当 k0 时圆C 的面积最大，此时圆的方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1).(0，1)解析10.已知实数 x，y 满足(x2)2(y3)21，则|3x4y26|的最小值为_解析 解法一：|3x4y26|最小值的几何意义是圆心到直线 3x4y260 的距离减去半径后的 5 倍，|3x4y26|min5|3a4b26|3242r，(a，b)是圆心坐标，r 是圆的半径圆的圆心坐标为(2,3)，半径是 1，所以圆心到直线
9、的距离为|324326|54，所以|3x4y26|的最小值为5(41)15.解法二：令 x2cos，y3sin，则 xcos2，ysin3，|3x4y26|3cos64sin1226|5sin()20|，其中 tan34，所以其最小值为|520|15.15解析1.方程|y|1 1x12表示的曲线是()A.一个椭圆B一个圆C.两个圆D两个半圆B组能力关解析 由题意知|y|10，则 y1 或 y1，当 y1 时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1,1)为圆心，1 为半径的上半圆；当 y1 时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心，1 为半径的下
10、半圆所以方程|y|1 1x12表示的曲线是两个半圆选 D.答案解析2.(2019南昌二模)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2y21，若将军从点 A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为 xy3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A.101 B2 21C.2 2D.10答案解析 设点 A 关于直线 xy3 的对称点为 A(a，b)，则 AA的中点为
11、a22，b2，kAA ba2，故 ba211，a22 b23，解得a3，b1，则从点 A 到军营的最短总路程，即为点 A到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为 32121101.解析3.(2019贵阳模拟)已知圆 C：(x1)2(y1)29，过点 A(2,3)作圆 C的任意弦，则这些弦的中点 P 的轨迹方程为_解析 设 P(x，y)，圆心 C(1,1)因为 P 点是过点 A 的弦的中点，所以PAPC.又因为PA(2x,3y)，PC(1x,1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点 P 的轨迹方程为 x322(y2)254.x322(y2)254解析4.(2020柳州摸底)在平面直
12、角坐标系 xOy 中，经过函数 f(x)x2x6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆 C.(1)求圆 C 的方程；(2)求经过圆心 C 且在坐标轴上截距相等的直线 l 的方程解(1)设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0.由 f(x)x2x6 得，其图象与两坐标轴的交点为(0，6)，(2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得366EF0，42DF0，93DF0，解得D1，E5，F6，所以圆的方程为 x2y2x5y60.(2)由(1)知，圆心坐标为12，52，若直线经过原点，则直线 l 的方程为5xy0；若直线不过原点，设直线 l 的方程为 xya，则 a12522，即直线 l 的方程为 xy20.综上，直线 l 的方程为 5xy0 或 xy20.解析本课结束