1、模块综合检测卷本试卷分第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10B.xy0C.xy0D.xy0解析：选D由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1,0)，所以直线方程为y(x1)，即xy0.2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与a2b互相垂直，则k()AB.C.D.解析：选Dkab(k1，k,2)，a2b(3,1，4)，由(kab)(a2b)3(k1)k80，解得k.3经过点(
2、1,0)，且圆心是两直线x1与xy2的交点的圆的方程为()A(x1)2y21B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2(y1)22解析：选B由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x1)2(y1)21.4若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2B4C6D8解析：选B由题意得，2b2a.因为C2的焦距2c4，所以c2.联立，得b4，故选B.5直线x2y20关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y40B2xy10C2xy30D2xy40解析：选A法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关
3、于直线x1的对称点为(2x，y)，且该对称点在直线x2y20上，代入可得x2y40.故选A.法二：直线x2y20与直线x1的交点为P，则所求直线过点P.因为直线x2y20的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线的方程为y(x1)，即x2y40.故选A.6正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A.B.C.D.解析：选C以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(1,1,0)，所以(2,0,2)，(1,1，1)，故cos，所以直线AD1与E
4、F所成角的余弦值是.故选C.7圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹的长度为()A.B.C.D.解析：选D建立空间直角坐标系，如图设A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M，P(x，y,0)于是有，.因为AMMP，所以0，即0，即y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 .故选D.8抛物线M：y24x的准线与x轴相交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据：2.24)()A.B.C.D.解析：选D由题意知，A(
5、1,0)，F(1,0)，点P在以AF为直径的圆O：x2y21上设点P的横坐标为m，联立圆O与抛物线的方程得x24x10，m0，m2，点P的横坐标为2，|PF|m11，圆F的方程为(x1)2y2(1)2，令x0，可得y，设圆F与y轴相交于D，E两点，|ED|22.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9平行于直线xy10，且与圆x2y24相切的直线的方程是()Axy20Bxy20Cxy20Dxy20解析：选AC根据题意，所求直线平行于直线xy10，则设所求直线的方程为
6、xym0，若所求直线与圆x2y24相切，则2，解得m2，则所求直线的方程为xy20.10在空间四边形ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论成立的是()A|B|2|2|2|2C()0D解析：选ABD因为，两两垂直，所以()0，所以()2()22()()2，()2()22()()2，故|，因此A正确；易得B正确；C中，()()()|2|2|2|2，当|时，|2|20，否则不成立，因此C不正确；D中，()0，同理可得0，0，因此D正确故选A、B、D.11已知两点A(5,0)，B(5,0)，若直线上存在点P，使|PA|PB|6，同时存在点Q，使|QB|QA|6，则称该直线为“一箭双雕线”，给
7、出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()Ayx1By2CyxDy2x解析：选AB由题意知，满足条件的直线应与双曲线1的左、右两支分别相交，双曲线的渐近线方程为yx，选项A：yx1，斜率k1，直线与双曲线的左、右两支分别相交，选项B：y2，斜率为0，直线与双曲线的左、右两支分别相交，A、B满足题意12已知O是坐标原点，A，B是抛物线yx2上不同于O的两点，OAOB，下列四个结论中，所有正确的结论是()A|OA|OB|2B|OA|OB|2C直线AB过抛物线yx2的焦点DO到直线AB的距离小于等于1解析：选ABD设A(x1，x)，B(x2，x)，则0，即x1x2(1x1x2)0，所以x2.对于A，|
8、OA|OB|2.当且仅当x11时取等号，正确；对于B，|OA|OB|22，正确；对于C，直线AB的方程为yx(xx1)，不过点，错误；对于D，原点到直线AB：xy10的距离d1，正确第卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13双曲线1的焦距是_解析：c2a2b2m2124m216.c4.答案：814若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22b2(1b)2r2，得b，r2.故圆C的方程为(x2)22.答案：(x2)2215已知椭圆C：1与动直线l：yxm相交于A，B两点，则实
9、数m的取值范围为_；设弦AB的中点为M(x，y)，则动点M的轨迹方程为_解析：由得18x212mx4m2360，144m2418(4m236)0，所以3m3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以可得3x2y0.答案：(3，3)3x2y0，x，16在三棱锥OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BPBC，AQAO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是_解析：根据题意，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P
10、(0，b,1b)，Q(a，0,0).(a，b,1b)，(0,1,0)，所以cos，.因为0,1，1,2，所以当a0，b1时，cos，1取得最大值；当ab时，cos，取得最小值，所以PQ和OB所成角的余弦的取值范围是.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程解：(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，
11、则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.18(本小题满分12分)已知圆C：x2y22x30，直线l1与圆C相交于不同的两点A，B，M(0,1)是线段AB的中点(1)求直线l1的方程；(2)若l2与l1平行，且l2与圆C相交于不同的两点E，F(l2不经过圆心C)，求CEF的面积S的最大值？解：(1)圆C：x2y22x30可化为(x1)2y24，则C(1,0)，而M(0,1)是弦AB
12、的中点，所以l1CM，所以直线l1的斜率为1，则直线l1的方程为yx1.(2)设直线l2的方程为yxb，即xyb0，则点C(1,0)到l2的距离d2，所以|EF|2，所以CEF的面积Sd22，当且仅当4d2d2，即d时，CEF的面积S最大，最大面积为2.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C
13、(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.(1)证明：(0，a,0)0，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成的角为，则sin .20(本小题满分12分)已知抛物线y22px(p0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：yxm与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OPOQ，求实数m的值解：(1)已知抛物线y22px(p0)过点A(2，y0)，且点A到准线的距离为4，24，p4，抛物线的方程为y28x.(2)由得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m232
14、m640，解得m2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2x1x22m8，y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m28m.OPOQ，x1x2y1y2m28m0，m0或m8.经检验，当m0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合，不符合题意当m8时，2424640，符合题意综上，实数m的值为8.21(本小题满分12分)如图，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AFDE，AFFE，AFAD2DE2.(1)求证：EF平面BAF；(2)若二面角ABFD的余弦值为，求AB的长解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，BAAD，平面
15、ABCD平面ADEF，又平面ABCD平面ADEFAD，BA平面ABCD，BA平面ADEF.又EF平面ADEF，BAEF.又AFEF，且AFBAA，EF平面BAF.(2)设ABx(x0)以F为坐标原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，E(0，0)，D(1，0)，B(2,0，x)，(1，0)，(2,0，x)由(1)知EF平面ABF，平面ABF的一个法向量可取n1(0,1,0)设n2(x1，y1，z1)为平面BFD的一个法向量，则即令y11，则n2.cosn1，n2，解得x(负值舍去)，AB.22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率
16、为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykx2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kADkBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由解：(1)由已知可得解得a22，b2c21，所以椭圆方程为y21.(2)由得(12k2)x28kx60，由64k224(12k2)16k2240，解得k或k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，设存在点D(0，m)，则kAD，kBD，所以kADkBD.要使kADkBD为定值，只需6k4k(2m)6k8k4km2(2m1)k的值与参数k无关，故2m10，解得m，当m时，kADkBD0.综上所述，存在点D，使得kADkBD为定值，且定值为0.