1、函数的零点与方程的解层级(一)“四基”落实练1若函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2B2C2 D3解析：选C因为函数有一个零点，所以b240，所以b2.2(多选)若方程x22x0在区间(1,0)上有实数根，则实数的取值可以是()A3 B.C. D1解析：选BC方程x22x0对应的二次函数为：f(x)x22x，它的对称轴为：x1，所以函数在(1,0)上是增函数，所以可得解得(0,1)结合选项知选B、C.3函数f(x)x33x15的零点所在的区间为()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：选D函数f(x)x33x15是连续的单调递增函数，f(1)1315110，f(2
2、)861510，f(3)27915210，f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知函数的零点所在区间为(2,3)4根据表格中的数据，可以判定方程ex2x50的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.602x55791113A.(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选C设f(x)ex2x5，此函数的图象是连续不断的，由表可知f(0)1540，f(1)2.7274.280，f(2)7.3991.610，f(4)54.601341.600，所以f(2)f(3)0，所以函数f(x)的一个零点，即方程ex2x50的一个根所在的区间为(2,3)5已知函数
3、若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，1)C(1，) D(0,1解析：选D作出函数f(x)的图象，由图象知，当0k1时，yk与yf(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)k有两个不等实根，所以0k1，故选D.6函数f(x)的零点是_解析：令f(x)0，即0，即x10或ln x0，x1，故函数f(x)的零点为1.答案：17若abc0，且b2ac，则函数f(x)ax2bxc的零点的个数是_解析：ax2bxc0的根的判别式b24ac，b2ac，且abc0，3b20，方程ax2bxc0无实根函数f(x)ax2bxc无零点答案：08已知函数f(x)是定义在R
4、上的偶函数，当x0时，f(x)x22x1.(1)求f(x)的解析式；(2)讨论函数g(x)f(x)m(mR)的零点个数解：(1)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1，f(x)是R上的偶函数，f(x)x22x1，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示当m0时，g(x)没有零点；当m0或m1时，g(x)有2个零点；当0m1时，g(x)有4个零点；当m1时，g(x)有3个零点层级(二)能力提升练1函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函
5、数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.2(多选)设函数f(x)若函数g(x)f(x)m有四个零点，则实数m可取()A1 B1C3 D5解析：选BC令g(x)0得f(x)m，作出函数f(x)的图象如图所示函数f(x)的图象与ym有四个交点，m的取值范围为(0,4)，结合选项知选B、C.3已知函数f(x)若函数yf(f(x)m)有四个零点，则实数m的取值范围是_解析：令f(x)0x2或1.令f(f(x)m)0得f(x)m2或f(x)m1，f(x)2m或f(x)1m.作出yf(x)的图象，如图所示yf(f(x)m)有
6、四个零点，f(x)2m，f(x)1m各有两个根，解得3m1.答案：3，1)4已知函数f(x)x2(k2)xk23k5有两个零点(1)若函数的两个零点是1和3，求k的值；(2)若函数的两个零点是和，求22的取值范围解：(1)1和3是函数f(x)的两个零点，故1和3是方程x2(k2)xk23k50的两个实数根则解得k2.(2)函数的两个零点为和，则和是方程x2(k2)xk23k50的两根则4k，且22()22k210k6在4k上单调递减， 22在区间上的最大值是18，最小值是.5已知f(x)log3(3x1)kx(xR)是偶函数(1)求k的值；(2)若函数yf(x)的图象与直线yxa有公共点，求a
7、的取值范围解：(1)yf(x)是偶函数，f(x)f(x)，log3(3x1)kxlog3(3x1)kx，化简得log3kx，即log3kx，log33xkx，xkx，即(k1)x0对任意的xR都成立，k1.(2)由题意知，方程log3(3x1)xxa有解，亦即log3(3x1)xlog3a有解，log3a有解由0，得11，log30，故a0，即a的取值范围是(0，)层级(三)素养培优练已知函数f(x)2x，g(x)log2x.(1)若x0是方程f(x)x的根，证明2x0是方程g(x)x的根；(2)设方程f(x1)x，g(x1)x的根分别是x1，x2，求x1x2的值解：(1)证明：因为x0是方程
8、f(x)x的根，所以2x0x0，即x02x0，则g(2x0)log22x0x02x0.所以2x0是方程g(x)x的根(2)由题意知，方程2x1x，log2(x1)x的根分别是x1，x2，即方程2x1(x1)，log2(x1)(x1)的根分别为x1，x2，令tx1，则方程2tt，log2tt的根分别为t1x11，t2x21.由(1)知t1是方程2tt的根，则2t1是方程log2tt的根令h(t)log2tt，则2t1是h(t)的零点，又因为h(t)是(0，)上的增函数，所以2t1是h(t)的唯一零点，即2t1是方程log2tt的唯一根所以2t1t2，所以t1t2t12t1，即(x11)(x21)，所以x1x22.