1、理数试题本试卷满分150分时间120分钟一、单选题(共12个小题每小题5分)1i是虚数单位，AiBC1D2已知两变量x和y的一组观测值如下表所示：x234y546如果两变量线性相关，且线性回归方程为，则 ()A B C D3若函数在处的导数为，则为ABCD04一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为 ()ABCD5在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离( ) A B CD6已知双曲线一个焦点为，且到双曲线的渐近线的距离为1，则双曲线的方程为A B C D7已知函数，且图像
2、在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A B C D8设曲线C的参数方程为,直线的方程为,则曲线上到直线的距离为4的点的个数为 （ ）A1B2C3D49已知在长方体中，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ABCD10在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ( )A72 B60 C36 D3011已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）ABCD12已知函数对任意都有，且导函数满足，现有，则（ ）ABCD二、填空题（共4个小题每小题5分)13随机变量，且，_
3、14展开式中的系数为_15_16某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为_；记甲答对试题的个数为，则数学期望_.三、解答题（共6个小题)17（本小题 10分）已知，p：，q：已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；若是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围18（本小题 12分）高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种
4、子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.19（本小题 12分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.20（本小题 12分）年月日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗
5、关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵，国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取只，取得“感染病毒”的小白鼠的概率为. 求列联表中的数据的值；能否有把握认为注射此种疫苗有效？21（本小题 12分）已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的右焦点，右
6、顶点分别为，过的直线交椭圆于两点，求四边形（为坐标原点）面积的最大值.22（本小题 12分）已知函数其中，为常数且在处取得极值1当时，求的单调区间；2若在上的最大值为1，求的 理数答案1B 2D 3B 4D 5A 6B 7D 8B 9B 10B 11D 12A13 1415 15 16 3 17解：由得，即p：是q成立的必要不充分条件，则是的真子集，有，解得，又当时，不合题意，的取值范围是.是的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，则是的真子集，则，解得，又当时，,不合题意的取值范围为18解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率（2）的概率分布列为X12345P
7、所以.19解（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，.（3）设展开式中第项的系数最大，则 ，故系数最大项为.20解：（1）依题意可知，所以，故.（2）根据题目所给数据得到如下的列联表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗4060100注射疫苗6040100总计100100200则的观测值：；由于，有把握认为注射此种疫苗有效21解（1）依题意，则由，解得，椭圆的方程为.（2）由（1）知，设，的方程为，的方程与椭圆方程联立，整理得显然， 令，则 当且仅当（即）时，等号成立，故所求四边形面积的最大值为.22解因为所以，因为函数在处取得极值，随x的变化情况如下表：x100增极大值减极小值增所以的单调递增区间为，单调递减区间为因为 令，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾.当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾。综上所述，或