1、平面向量数量积的坐标表示层级(一)“四基”落实练1在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则实数k的值是 ()A5B5C. D解析：选A(2k,2)C90，2(2k)60，解得k5.2已知A(2,1)，B(3,2)，C(1,4)，则ABC是 ()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形解析：选Bcos A0，A.故选B.3已知a(1,2)，b(1，)，则ab|b| ()A1 B1C12 D2解析：选C因为ab(1,2)(1，)12，|b|2，所以ab|b|12212.4已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于 ()A8 B10C11 D12解析：选Da(x,1)，
2、b(2,4)，ab(x2,5)又(ab)b，(x2)(2)200，x12.5(多选)已知a，b为平面向量，a(4,3)，2ab(3,18)，a，b的夹角为，b方向上的单位向量为e.则 ()Ab(5,12) Bab16Ccos Da在b上的投影向量为e解析：选BCDa(4,3)，2a(8,6)又2ab(3,18)，b(5,12)，ab203616.又|a|5，|b|13，cos .a在b上的投影向量为ee.6(2019全国卷)已知向量a(2,2)，b(8,6)，则cosa，b_.解析：a(2,2)，b(8,6)，ab2(8)264，|a|2，|b|10.cosa，b.答案：7.如图，在边长为1的
3、正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D 被阴影遮住，找出D点的位置，计算的值为_解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以(4,1)(2,3)8311.答案：118已知a(1,2)，b(1，1)(1)若为2ab与ab的夹角，求的值；(2)若2ab与kab垂直，求k的值解：(1)因为a(1,2)，b(1，1)，所以2ab(3,3)，ab(0,3)所以cos .因为0，所以.(2)kab(k1,2k1)，依题意(3,3)(k1,2k1)0，所以3k36k30，所以k0.层级(二
4、)能力提升练1在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于 ()A16 B12C8 D4解析：选A以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)设E(0，t)，则(2,3)(4，t)83t0，t，即E，(0,6)16.2设向量a(，1)，b，k，t是两个不同时为零的实数若向量xa(t3)b与ykatb垂直，则函数kf(t)的最小值为()A B.C D.解析：选A因为a(，1)，b，所以ab0，且|a|2，|b|1.因为xy，所以xy0，即a(t3)b(katb)0，所以ka2
5、k(t3)abtabt(t3)b20，所以4kt23t0，即k(t23t)2，所以k，即函数kf(t)的最小值为.3已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则_.解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系可得A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则(1,1)(0,2)(1,1)(2,0)224.答案：44在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题意知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|
6、4.故所求的两条对角线的长分别为2，4.(2)由题意知，(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.5已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.层级(三)素养培优练已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，得C点坐标为(0,5)由于(2,4)，(4,2)，88160，|2，|2.设与夹角为，则cos 0，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.