1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质组基础关1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC答案D解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故选D.2(2019武汉模拟)已知两个平面相互垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析由题意，对于，当两个
2、平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于，设平面平面m，n，l，平面平面，当lm时，必有l，而n，ln，而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故正确3. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC
3、直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析选项A，B，C显然错误PA平面ABC，PDA是直线PD与平面ABC所成的角ABCDEF是正六边形，AD2AB.tanPDA1，直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.4(2020江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱
4、长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A. B1C. D2答案A解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，矩形ABB1A1中，tanFDB1，tanA1AB1.又FDB1A1AB1，所以.故B1F.故选A.6(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DB
5、MEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析解法一：取CD的中点O，连接EO，ON.由ECD是正三角形，知EOCD，又平面ECD平面ABCD，EO平面ABCD.EOON.又N为正方形ABCD的中心，ONCD.以CD的中点O为原点，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图1所示不妨设AD2，则E(0,0，)，N(0,1,0)，M，B(1,2,0)，EN2，BM ，ENBM.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.解法二：如图2，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面
6、ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.7已知ABCA1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()A在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45B在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45C在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直答
7、案B解析设该直三棱柱的棱长均为a，取BC的中点P，连接MP，则MP平面ABC，点N在棱AB上，若MN与平面ABC所成角为45，即MNP45，则PNPMa，而PNmaxaa，A错误；若点N在棱AA1上，则点N在平面BCC1B1上的射影为点Q，且MQCC1，此时MN与平面BCC1B1所成角即为NMQ，当NQA1Na时，NMQ45，B正确；因为AC与B1C1是异面直线，所以点N在AC上时，MN与AB1是异面直线或相交直线，不可能平行，C错误；取BC的中点K，则AK平面BCC1B1，AKMN，若MNAB1，则MN平面AB1K，此时MNB1K，当N在棱BC上时，MNB1K不可能成立，D错误，故选B.8(
8、2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.答案若m且l，则lm(或若lm，l，则m)解析已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.9如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案a解析作BC的中点E，连接AE，DE，则在RtABC中，ABACa，由勾股定理得BC2AEa，且有AEBC，又平面ABC平面BDC，平面ABC平面BDCBC，且AE平面
9、ABC，由面面垂直的性质定理得AE平面BDC，DE平面BDC，AEDE，又在RtBCD中，点E是BC的中点，DEa，在RtADE中，AEa，由勾股定理得ADa.10如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是_答案以线段AB为直径的圆(不包含A，B两点)解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点组能力关1(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则
10、截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B. C. D.答案A解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为，所以其面积为S62，故选A.2(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点
11、，且EF的长为定值，则下面的四个值中为定值的是()A点P到平面QEF的距离B三棱锥PQEF的体积C直线PQ与平面PEF所成的角D二面角PEFQ的大小答案ABD解析A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥PQEF的高也是定值，所以三棱锥PQEF的体积是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不
12、是定值；D中，因为A1B1CD，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角PEFQ的大小即为二面角PCDA1的大小，为定值故选ABD.3(2020山东高三模拟)(多选)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则()A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC解析D1DC1C，显然C1C与AF不垂直，所以D1D与AF不垂直，故A错误连接AD1，D1F，易证EFAD1，故平面AEF与平面AFD1为同一平面易证A1GD1F，故A1G平面AEF，所以B正确
13、由上述分析，平面AEF截正方体所得截面为平面AEFD1，四边形AEFD1为等腰梯形上底EF，下底AD1，高h.故其面积为S，所以C正确CG的中点明显不在面AEFD1上，故D错误故选BC.4如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PAAB4，ADCD，CDA120，N是CD的中点(1)求证：平面PMN平面PAB；(2)求点M到平面PBC的距离解(1)证明：在正ABC中，AB BC，在ACD中，ADCD，易证ADBCDB，所以M为AC的中点，因为N是CD的中点，所以MNAD.因为PA平面ABCD，所以PAAD，因为CDA120，所以DAC30，因为B
14、AC60，所以BAD90，即BAAD.因为PAABA，所以AD平面PAB，所以MN平面PAB.又MN平面PMN，所以平面PMN平面PAB.(2)设点M到平面PBC的距离为h，在RtPAB中，PAAB4，所以PB4，在RtPAC中，PAAC4，所以PC4，在PBC中，PB4，PC4，BC4，所以SPBC4.由ABC是正三角形，M是AC的中点，得BMAC，在RtBMC中，MC2，BM2，所以SBMC2.由VMPBCVPBMC，即4h24，解得h，所以点M到平面PBC的距离为.组素养关1(2019湖南长郡中学模拟)如图，在多边形ABPCD中(图1)，四边形ABCD为长方形，BPC为正三角形，AB3，
15、BC3，现以BC为折痕将BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2)(1)证明：PD平面PAB；(2)若点E在线段PB上，且PEPB，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥QEBC的体积解(1)证明：过点P作POAD，垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，PO平面ABCD.POAB.四边形ABCD为矩形，ABAD.又ADPOO，AB平面PAD，ABPD.又由AB3，PB3，可得PA3，同理PD3.又AD3，PA2PD2AD2，PAPD，且PAABA，PD平面PAB.(2)设点E到底面QBC的距离为h，则VQEBCVEQBCSQBCh.由PEPB，可知，h.又SQBC
16、BCAB33，VQEBCSQBCh3.2(2019合肥一中模拟)如图，四边形ABCD为矩形，点A，E，B，F共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90.(1)若平面ABCD平面AEBF，证明：平面BCF平面ADF；(2)问在线段EC上是否存在一点G，使得BG平面CDF，若存在，求出此时三棱锥GABE与三棱锥GADF的体积之比解(1)证明：四边形ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBFAB，BC平面AEBF，又AF平面AEBF，BCAF.AFB90，即AFBF，又BC平面BCF，BF平面BCF，BCBFB，AF平面BCF，
17、又AF平面ADF，平面BCF平面ADF.(2)BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF.ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90，FABABE45，AFBE，又AF平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.延长EB到点H，使得BHAF，又BCAD，连接CH，HF，易证四边形ABHF是平行四边形，HFABCD，四边形HFDC是平行四边形，CHDF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BGCHDF，又DF平面CDF，BG平面CDF，BG平面CDF，即此点G为所求的G点又BEAB2AF2BH，EGEC，又SABE2SABF，VGABEVCABEVCABFVDABFVBADFVGADF，故.