1、第1讲空间几何体的结构特征及其直观图组基础关1(2019河北省唐山一中期中)下列说法中，正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形B若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C正方体的所有棱长都相等D棱柱的所有棱长都相等答案C解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；若棱柱有两个侧面是矩形，其他侧面不一定是矩形，可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确故选C.2(2019河南省安阳一中期中)下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是
2、六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析如图1知，A不正确如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，故B不正确若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误由母线的概念知，选项D正确3(2019湖南师大附中高三模拟)给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析错误，只有这两点的连线平行于轴时才是
3、母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等故正确命题的个数是1.4(2020北京四中高三模拟)下列命题正确的是()A两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形答案C解析如图所示，可排除A，B选项对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分故选C.5(2020天津南开中学高三调研)如图，矩形OABC是水平放置的一个平
4、面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形是()A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形答案C解析如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224，CDCD2，OAOA6.OC 6，OAOC，故四边形OABC是菱形6如图，直观图所表示的平面图形是()A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形答案D解析由直观图可知，其表示的平面图形ABC中ACBC，所以ABC是直角三角形7(2019河北石家庄二中高三质检)已知ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案D解析解法一：ABC的实际图形和直观图如图所示，由可知，ABABa，OCOCa，在
5、图中作CDAB于D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.解法二：由S直观图S原图形的关系，得S直观图aaa2.8小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20 cm、20 cm、5 cm的长方体为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎如图所示，彩绳以A为起点，现沿着ABBCCDDEEFFGGHHA环绕礼盒进行捆扎，其中A，B，E，F分别为下底面各棱的中点，C，D，G，H分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为()A(4015) cm B(4030) cmC(4015) cm D(4030) cm答案B解析由A，B，E，F分别为下底面各棱的中点，可得AB
6、EF202040，由对称性可得要求所用包装彩绳的最短长度，可求BCCDDE的最小值，可将BC，CD，DE所在的平面展开到一个平面上，如图所示可得B，C，D，E四点共线时，BCCDDE的和取得最小值15，则所用包装彩绳的最短长度为4030 cm.故选B.9(2019辽宁东北育才中学高三调研)已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()A2 B3 C2 D4答案C解析如图，不妨设N在B处，设AMh，CQm，则MB2h24，BQ2m24，MQ2(h
7、m)24，由MB2BQ2MQ2，得m2hm20.h280h28，该直角三角形斜边MB2，故该直角三角形斜边长的最小值为2.10如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意知OP4 m，OP4 m，PP4 m，则cosPOP0，且POP是三角形的内角，所以POP.设底面圆的半径为r cm，则2r4，所以r1.组能力关1(2019江苏省扬州一中期中)如图所示，下面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底
8、面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A B C D答案D解析圆锥的轴截面为等腰三角形，此时符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时符合条件；故截面图形可能是.2(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，点N为线段CC1的中点，点M在线段BC上，则平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面形状是()A三角形 B四边形C五边形 D. 六边形答案BC解析由题意，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0BM时，截面为四边形，当BM时，截面
9、为五边形，故选BC.3(多选)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，真命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案ACD解析因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立4(多选)如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定
10、于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法，正确的是()A水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积不改变C棱A1D1始终与水面EFGH平行D当EAA1时，AEBF是定值答案ACD解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱，故A正确；容器倾斜的程度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故B不正确；棱A1D1始终与水面EFGH平行，故C正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFEDCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AEBF是定值，故D正确5在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面
11、为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体答案解析如图，正确，如图四边形A1D1BC为矩形；错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；正确，如四面体A1ABD；正确，如四面体A1C1BD；正确，如四面体B1ABD.则正确的说法是.6下列四个平面图形都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是_(填序号)答案解析正方体中，相对面上的数字都是1与4,2与5,3与6.7(2019上海长宁区、嘉定区质检)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为
12、5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_答案13解析将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱AA1展开，再拼接一次，如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形形成的大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于6212，宽等于5，由勾股定理得d13.8(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同
13、一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_答案261解析先求面数，有如下两种方法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826(个)面解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式)由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNFx.又AMMNNF1，即xxx1.解得x1，即半正多面体的棱长为1.