1、专题检测(三)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2014烟台市一模)以q为公比的等比数列an中,a10,则“a11”的()(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2.(2015河南六市第一次联考)在等差数列an中,首项a1=0,公差d0,若ak=a1+a2+a3+a7,则k等于()(A)22(B)23(C)24(D)253.(2015郑州质量预测)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=10,且=,则a2等于()(A)2(B)3(C)4(D)54.(2015浙江卷)已知
2、an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()(A)a1d0,dS40(B)a1d0,dS40,dS40(D)a1d05.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则等于()(A)(B)(C)(D)6.(2015贵阳市高三适应性监测)若等差数列an的前n项和为Sn,a4=4,S4=10,则数列的前2015项和为()(A)(B)(C)(D)7.(2014眉山市一诊)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,等差数列bn中,b2=a2,且+=2bn+4(n2,nN+),则bn等于()(A)2n+2(B)2n(C)n-2(D)2n-28.(2015奉贤区
3、一模)已知数列an的首项a1=1,an+1=3Sn(nN*),则下列结论正确的是()(A)数列an是等比数列(B)数列a2,a3,an是等比数列(C)数列an是等差数列(D)数列a2,a3,an是等差数列9.(2015辽宁锦州质检)已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是()(A)a100=-1,S100=5(B)a100=-3,S100=5(C)a100=-3,S100=2(D)a100=-1,S100=210.(2015吉林校级模拟)已知a1=1,an+1=,则数列an的通项an等于()(A)(B)2n-1(C)(D
4、)3n-211.(2015河南模拟)设Sn为等差数列an的前n项和.若a4|a4|,则使Sn0成立的最小正整数n为()(A)6(B)7(C)8(D)912.(2015甘肃二模)函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1)处的切线与直线3x-y+2=0平行,若数列的前n项和为Sn,则S2015等于()(A)1(B)(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东卷)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.14.数列,的前n项和为.15.(2015宁夏石嘴山联考)在数列an中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(
5、nN*),则a1+a2+a51=.16.(2015兰州高三诊断)数列an的首项为a1=1,数列bn为等比数列且bn=,若b10b11=201,则a21=.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)(2015北京卷)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列an的第几项相等?18.(本小题满分14分)(2015广东卷)设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列;
6、(3)求数列an的通项公式.19.(本小题满分14分)(2015甘肃省第一诊)已知数列an的前n项和为Sn且=-(nN*).(1)求a1及数列an的通项公式an;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.20.(本小题满分14分)(2015新课标全国卷)Sn为数列an的前n项和,已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.21.(本小题满分14分)(2015泸州模拟)设Sn为数列an的前n项和,且对任意nN*,点(an,Sn)都在函数f(x)=-x+的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=lg(1-2Sn)+2,求数列bn的前n项和T
7、n的最大值.专题检测(三)1.A2.A3.A4.B5.A=,故选A.6.B设等差数列an的公差为d,因为a4=4,S4=10,所以a1+3d=4,4a1+d=10,解得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)1=n,所以=-,所以数列的前n项和Tn=(1-)+(-)+(-)=1-=,所以数列的前2015项和为T2015=,故选B.7.Ban=2n+1-2-2n+2=2n(n1),n=1时,a1=S1=21+1-2=2=21,故an=2n,所以b2=a2=4,由此可排除A,C,D.对选项B,若bn=2n,则bn+3+bn-1=2(n+3)+2(n-1)=4n+4,2bn+4=4n+4,满足题意
8、.故选B.8.B由an+1=3Sn(n1),得an=3Sn-1(n2),两式作差得:an+1-an=3an(n2),即an+1=4an(n2),因为a1=1,an+1=3Sn(n1),所以a2=3.所以数列a2,a3,an是公比为4的等比数列.故选B.9.A因为a1=1,a2=3且an+1=an-an-1(n2),所以a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,所以数列an是周期为6的周期数列且a1+a2+a6=0,所以a100=a166+4=a4=-1,S100=S166+4=S4=1+2+3-1=5.选A.10.C因为an+1=,所以=+3,所以-=3,又a1=1,
9、所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.选C.11.C在等差数列an中,因为a4|a4|,得a50,a5+a40,S7=7a40.所以使Sn0成立的最小正整数n为8.故选C.12.Df(x)=2x+b,由直线3x-y+2=0可知其斜率为3,根据题意,有f(1)=2+b=3,即b=1,所以f(x)=x2+x,从而数列的通项为=-,所以S2015=1-+-+-=,故选D.13.解析:b2=acb2=(5+2)(5-2)=1,由于b0,故b=1.答案:114.解析:由于an=n+,所以前n项和Sn=+=(1+2+3+n)+(+)=+=-+1.答案:-+
10、115.解析:因为a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n.所以a3=1,a4=4,a5=1,a6=6,a7=1,a8=8,所以数列an中的奇数项均为1,偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列.所以a1+a2+a51=26+252+2=676.答案:67616.解析:由bn=,且a1=1,得b1b2b3b19b20=,所以a21=b1b2b20,因为数列bn为等比数列,所以a21=(b1b20)(b2b19)(b10b11)=(b10b11)10=(201)10=2015.答案:201517.解:(1)设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,
11、所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,).(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=426-1=128.由128=2n+2,得n=63.所以b6与数列an的第63项相等.18.(1)解:因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,所以4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,所以4(1+a4)+5(1+)=8(1+)+1,解得a4=.(2)证明:因为n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以4(S
12、n+2-Sn+1)-2(Sn+1-Sn)=2(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),所以(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)=(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),所以an+2-an+1=(an+1-an).又a3-a2=(a2-a1),所以an+1-an是首项为1,公比为的等比数列.(3)解:由(2)知an+1-an是首项为1,公比为的等比数列,所以an+1-an=()n-1,两边同乘以2n+1得,an+12n+1-an2n=4.又a222-a121=4,所以an2n是首项为2,公差为4的等差数列,所以an2n=2+4(n-1)=2(2n-1),所以an=.19.解:(1)由=-得S
13、n=n(n+1),当n=1时,a1=S1=2.n2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,n=1时a1=2满足an=2n,所以数列an的通项公式an=2n.(2)令bn=,所以Tn=1+2+3+n,Tn=1+2+3+(n-1)+n,由-得:Tn=+-n.所以Tn=-n.所以Tn=2-.20.解:(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3
14、,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=(-).设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=(-)+(-)+(-)=.21.解:(1)因为点(an,Sn)都在函数f(x)=-x+的图象上.所以Sn=-an+,当n=1时,S1+a1=,因为S1=a1,所以a1=,当n2时,Sn-1=-an-1+,所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1-=-an+an-1,所以an=an-1,所以an是公比为,首项为的等比数列,所以an=()n;(2)因为an是公比为,首项为的等比数列,所以Sn=(1-),所以bn=lg(1-2Sn)+2=-nlg 3+2,因为bn+1-bn=-lg 3,所以数列bn是以-lg 3+2为首项,公差为-lg 3的等差数列,且单调递减,令 则即-1n,因为=log3100log333=3,所以n=4,数列bn的前n项和的最大值为T4=8-10lg 3.