1、第3讲二项式定理考纲解读1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点)2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点预测2021年将会考查：求二项式的特定项或项的系数；求二项式系数的最大项或二项式系数的和；与其他知识进行综合考查题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的二项式系数C，C，C2二项式系数的性质性质性
2、质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，是递增的当k(nN*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项C取得最大值当n为奇数时，中间的两项C和C取得最大值3常用结论(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.(3)C2C3CnCn2n1.(4)CCCCCCC.(5)(C)2(C)2(C)2(C)2C.1概念辨析(1)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(2)二项式6的展开式的第二项系数是C.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)若(x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为0
3、.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)8的展开式中常数项为()A. B. C. D105答案B解析二项展开式的通项为Tk1C()8kkkCx4k，令4k0，解得k4，所以T54C.(2)若二项式n展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为()A1 B1 C27 D27答案A解析依题意，得二项式系数的和为2n8，所以n3，故二项式为3，令x1，可求得系数之和为(12)31.(3)(2x)5的展开式中x的系数为_答案80解析(2x)5的展开式中x的系数为C24(1)80.(4)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.答案4解析(13x)n的展开式的通项为Tr1
4、C(3x)r，令r2，得T39Cx2.由题意，得9C54，解得n4.题型一二项展开式角度1求二项展开式中的特定项或系数1(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80答案C解析由题意可得Tr1C(x2)5rrC2rx103r.令103r4，则r2，所以C2rC2240，故选C.2(2020广东六校联考)在二项式5的展开式中，若常数项为10，则a_.答案2解析5的展开式的通项Tr1C(ax2)5rrCa5rx，令100，得r4，所以Ca5410，解得a2.角度2求多项展开式的特定项或系数3(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B1
5、6 C20 D24答案A解析解法一：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.故选A.解法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系数为142412.故选A.4(2020陕西黄陵中学模拟)5的展开式中x2的系数为()A120 B80 C20 D45答案A解析5510.Tr1C()10rrCx5r.令5r2解得r3.T4Cx2120x2，所以5的展开式中x2的系数为120.角度3已知二项展开式某项的系数求参数5(2019黄山模拟)已知(1x)(1ax)5的展开式中x2的系数为，则a()A1 B. C. D.答案D解析(1x)(1ax)5(1x)(1
6、5ax10a2x210a3x35a4x4a5x5)的展开式中x2的系数为10a25a，解得a.1.求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.(3)代回通项得所求见举例说明1,2.2.求解形如(ab)m(cd)n的展开式问题的思路(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)n(a22abb2)(cd)n，然后分别求解.(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab
7、)m，(cd)n的通项公式，综合考虑.3.求形如(abc)n的展开式中特定项的四步骤1.(2019华中师范大学第一附中模拟)已知(x1)5(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，则a7()A.9 B36 C84 D243答案B解析令tx1，则(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9，只有(t1)9的展开式中含有t7项，所以a7C(1)236.2.若(1ax)7(a0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a_.答案3解析展开式的通项为Tr1C(ax)r，因为x5与x6的系数相等，所以Ca5Ca6，解得a3.3.(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数
8、的项的个数是_.答案165解析由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C()9x0()916.当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.题型二二项式系数的性质或各项系数的和1.(2019东北三校联考)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A.0 B1 C32 D1答案A解析由(1x)5的展开式的通项Tr1C(x)rC(1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在原二项展开式中
9、令x1，可得a0a1a2a3a4a50.结论探究1本例中的条件不变，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|_.答案32解析因为(1x)5的展开式的各项系数之和为|a0|a1|a2|a3|a4|a5|，令x1，得|a0|a1|a2|a3|a4|a5|2532.结论探究2本例中的条件不变，则a0a2a4_.答案16解析令x1，得0a0a1a2a3a4a5，令x1，得25a0a1a2a3a4a5，两式相加，得322(a0a2a4)，所以a0a2a416.2.已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.解(1)由二项展开式，知前三项的
10、系数分别为C，C，C，由已知，得2CCC，解得n8(n1舍去).(2)8的展开式的通项Tr1C()8rr2rCx(r0,1，8)，要求有理项，则4必为整数，即r0,4,8，共3项，这3项分别是T1x4，T5x，T9.(3)设第r1项的系数为ar1最大，则ar12rC，则1，1，解得2r3.当r2时，a322C7，当r3时，a423C7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T37x，T47x.1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立因此，可将a，b设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，1或0”，有时也取其他值
11、如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可见举例说明1.(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令xy1即可.2.二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0a2a4.(3)偶数项系数之和为a1a3a5.3.求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个.第二步，若是求二项式系数的最大值，则依
12、据(ab)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列增减性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的增减性求出系数的最值见举例说明2.思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案.1.(2020广东揭阳模拟)已知(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2_.答案16解析解法一：由题意，取x1，得(2)4(a0a2a4)(a1a3)；取x1，得(2)4(a0a2a4)(a1a3)相乘，得
13、(a0a2a4)2(a1a3)2(2)4(2)4()222416.解法二：由题意及二项式定理，得a04，a116，a248，a332，a416.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(44816)2(1632)216.2.(2020石家庄模拟)已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为_.答案806415360x4解析由题意，知22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二项式系数的性质，知10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6C(2x
14、)558064.设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k，令得即解得k.kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4C27x415360x4.题型三二项式定理的应用1.已知n为满足SaCCCC(a3)能被9整除的正数a的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为()A.第6项 B第7项C.第11项 D第6项和第7项答案B解析由于SaCCCCa227189a1(91)9a1C99C98C9Ca19(C98C97C)a2，a3，所以n11，从而11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数
15、为负，第7项系数为正，所以第7项系数最大.2.计算1.056.(精确到0.01)解1.056(10.05)6160.05150.05210.30.03751.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见举例说明1,2.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1x)n1nxx2.1.(2019银川模拟)C2C4C2n1C等于()
16、A.3n B23n C.1 D.答案D解析C2C4C2n1C(C2C22C2nC)(12)n.2.8836被49除所得的余数是()A.14 B0 C14 D35答案B解析由二项式定理展开，得8836(71)836783C782C72C71672M8377(M是正整数)49M491249N(N是正整数).8836被49除所得的余数是0.3.求0.9986的近似值(精确到0.001)解0.9986(10.002)6160.002150.002210.0120.000060.988.易错防范二项展开式中项的系数与二项式系数典例设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，
17、则展开式中二项式系数最大的项为_答案150x3解析依题意，得M4n(2n)2，N2n，于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0，2n1624，解得n4.要使二项式系数C最大，只有r2，故展开式中二项式系数最大的项为T3C(5x)2()2150x3.措施明确二项式系数与项的系数的区别(abx)n的展开式中，二项式系数是指Coal(0,n)，Coal(1,n)，Coal(n,n)，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如第r1项的二项式系数是Coal(r,n)，而该项的系数是Coal(r,n)anrbr.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的.