1、20202021学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题第卷 选择题一、单项选择题.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，再求并集即可.【详解】故选：B2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值【详解】，复数为“等部复数”，故选：3. 已知条件，条件，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件，解得范围根
2、据是的必要不充分条件，即可得出的取值范围【详解】条件，解得或条件，是的必要不充分条件，是的真子集，故选：4. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由函数的奇偶性排除部分选项，再由判断即可.【详解】由图象知：函数是偶函数，排除AD，又，排除B故选：C5. 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在九章算术注中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表运用此思想，当取3.1
3、416时可得的近似值为（ ）A. 0.00873B. 0.01745C. 0.02618D. 0.03491【答案】B【解析】【分析】根据，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.【详解】因为，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为，所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即，所以，故选：B6. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的图象得到，再根据三角函数的平移变换即可得到答案
4、.【详解】由题知：，所以，解得.，所以，解得，.又因为，所以，.因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度.故选：A7. 若函数为定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据偶函数性质得出函数在内是减函数、以及，然后分为、九种情况依次进行讨论，即可得出结果.【详解】因为函数为定义在上的偶函数，在内是增函数，所以函数在内是减函数，当，；当，；当，；当，；当，；当，；当，；当，；当，综上所述，不等式的解集为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数奇偶性和单调性解不等式，若函数是偶函数，则函数在轴左右两侧的函数单调
5、性相反，对、的大小进行讨论是解决本题的关键，考查分类讨论思想，是中档题.8. 已知，对任意的恒成立，则的最大值为（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】显然结论不成立，当时，此时；当时，由题结合（1）得，设，问题转化为求的最大值，利用导函数求出最大值即可【详解】若，则单调递减，单调递增，不能满足且对恒成立，故而若，则若，由得，则设函数，令得，解得，当时，函数递减；当时，函数递增；当时，函数取最小值，的最小值为设，由得，当时，当时，当时，取得最大值的最大值为故选：【点睛】不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨
6、论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、多项选择题.9. 已知，下列说法正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】利用作差法判断AB；利用特例法判断C；利用基本不等式判断D.【详解】对于：由于，所以不能确定正负，故错误对于：由于，所以，故正确；对于：当和为负数时，不成立，故错误；对于：由于，所以，整理得，故正确故选：【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.10. 某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参
7、加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：则下面判断中一定正确的是（ ）A. 甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B. 乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C. 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D. 甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，丙同学更靠前【答案】ABC【解析】【分析】通过对图形中的信息的阅读和理解，可以分析出来，甲，乙，丙的类比情况【详解】对于，甲同学的逻辑思维能力比较靠前，但是总成绩比较靠后，说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，
8、故正确对于，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故正确对于，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙，乙，故甲同学最靠前故正确对于，丙同学的阅读表达成绩排名居中，但是甲乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定，所以错误故选：11. 已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）A. 线段A、B的中点的广义坐标为（）；B. A、B两点间的距离为；C. 向量平行于向量的充要条件是x1y2x2y
9、1；D. 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y10【答案】AC【解析】【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；由向量平行的充要条件得C正确；与垂直的充要条件为x1x2+y1y20，因此D不正确；故选AC【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件12. 已知的内角，的对边长，成等比数列，延长至.则下面结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则周长的最大值为D. 若，则 面积的最大值为【答案】BCD【解析】分析】
10、根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得，两式作差求出角，进而可求出，判定A错B正确；再利用基本不等式，分别判断CD两选项即可.【详解】因为在中，则，由可得，即，所以，又，成等比数列，所以，由正弦定理可得：，由可得：，则，所以，则，即，所以，因为角为三角形内角，所以，则；又，所以；角，为三角形内角，所以，则，所以，即；即为等边三角形；故A错，B正确；延长至，连接，则，若，在中，由余弦定理可得：，即，所以当且仅当时，等号成立，此时周长的最大值为；故C正确；若，设，则的高为，所以的面积为，当且仅当，即时，等号成立；即面积的最大值为.故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求解三角形中有
11、关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.第卷 非选择题三、填空题.13. 若曲线在处的切线与直线平行，则实数_.【答案】1【解析】【分析】求导，进而得到 ，再根据函数在处的切线与直线平行求解.【详解】因为所以则 ，因为函数在处的切线与直线平行，所以，故答案：114. 已 知中，点是线段的中点，则_.【答案】【解析】【分析】根据，则有,以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，建立平面直角坐标系，再分别求得向量的坐标，然后利用数量积的坐标运算求解.【详解】在中，因为，所以,以C为原点，分别以CA，
12、CB为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，所以，所以，故答案为：15. 2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，且满足，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有_.【答案】【解析】【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列项的规律，由此进行分组求和，求得数列前项的和.【详解】由于，当为偶数时，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于，共有项，和为；当为奇数时，；又，所以前30项中的奇数项构成首项为，公差为的等差数列，共有项，和为.故天的总人数为.故答案为：.16. 设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_； 的最小值为_.【答案】
13、(1). (2). 50【解析】【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由函数的图象可知：，且，令，则，可得，再利用二次函数的性质即可求出的最小值【详解】当时，函数关于直线对称，画出函数的图象，如图所示，方程有四个不相等的实根，函数与有4个交点，由函数的图象可知，即的取值范围为：，由函数的图象可知：，且，令，又，当时，的值最小，最小值为50，故答案为：，50【点睛】函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.四、解答题17. 在中，角，的对边分别为，.（1）若还同时满足下列三个条件中的两个：，请指出这两个条件，并说明理
14、由；（2）若，求的周长.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角差的正弦公式得到，从而求得，然后由，求得，然后分，讨论求解.（2）利用余弦定理，求得即可.【详解】（1）因为，所以.所以.因为，则，所以或或，所以或（舍去）或（舍去），又因为，所以，因为，所以，所以.选条件：因为，所以，所以，这不可能，所以不能同时满足选条件：这与矛盾.所以不能同时满足.选条件：因为，所以，所以或，又因为，所以，所以同时满足.（2）由余弦定理得：所以，所以周长为.【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利
15、用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制18. 为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，.（1）求，；（2）求数列的前2020项和.【答案】（1），；（2）4953.【解析】【分析】（1）由，求得，再根据求得，再根据求解. （2）由，分， ，求解.【详解】（1）由题意得，所以，又因为，所以.所以.所以.所以，（2），当时，；当时，；当时，；当时，；所以.【点睛】关键点点睛：本题
16、关键是理解的含义，由确定取值的分类标准.19. 已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据偶函数，由，求解.（2）将不等式对恒成立，转化为在区间上恒成立，令求其最大值即可.【详解】（1）因为偶函数，所以，即对恒成立.所以对恒成立，所以，对恒成立，所以.（2）因为不等式对恒成立，即在区间上恒成立，令，因为，所以，所以，所以的取值范围是【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.20. 已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称.（1）求的解析
17、式；（2）令函数，且在上恰有10个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得周期，可得，根据对称轴可得，则可得的解析式；（2）依题意由解得结果即可得解.【详解】（1）由已知可得，又的图象关于对称，所以，.所以.（2）令，得，要使在上恰有10个零点，只需，解得.所以的取值范围是.【点睛】关键点点睛：利用周期求出，利用对称轴求出是解题关键.21. 某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款智能手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价5000元，且全
18、年内生产的手机若不超过100(千部)则当年能全部销售完.（1）求出2021年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本)；（2）2021年年产量(千部)为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）；（2）年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售额-成本，分和两段求解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）根据（1）中的解析式，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出两段的最大值，再比较即可得最大利润.【详解】解：（1）当时，；当时，.（2）若，当时，万元.若，当且仅当时，即时，万元，2021年年产量为9
19、0千部时，企业所获利润最大，最大利润是10000万元.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正确求出利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式，再利用二次函数的单调性和基本不等式求出两段的最大值即可得利润的最大值，注意定义域，属于中档题.22. 已知函数.（1）当时，判断在的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，判断在上，可得函数在上递增；（2）求出函数导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据最小值是否大于零确定的范围即可【详解】（1）当时，所以当时，所以.所以在上单调递增.（2）因为.所以，设，当时，即时，因为，所以，而，所以，即恒成立.当时，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，即成立，当时，所以在上递增，而，所以存在，有，当时，递减，当时，递增，所以当时，取得最小值.最小值为，而，不成立.综上：实数的取值范围是.【点睛】不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.