1、章末综合检测（三） 圆锥曲线的方程(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知A(0，5)，B(0,5)，|PA|PB|2a(a0)，当a3和5时，点P的轨迹为()A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线的一支和一条直线D双曲线的一支和一条射线解析：选D当2ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选B椭圆的长轴长为6，焦点恰好三等分长轴，2a6，a3，6c6，c1，b2a218，椭圆方程为1，故选B.3设O为坐标原点，F为抛
2、物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24.由可解得x1，y2.4若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，则其离心率为()A. B.C3 D.解析：选A因为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，所以2，即4e21，所以e. 故选A.5方程为mx2ny0和mx2ny21(mn0)的两条曲线在同一坐标系中可以是()解析：选B因为方程mx2ny0可化为x2y；若mn0，则方程x2y表示开口向下的抛物线，mx2ny21(mn0)
3、表示椭圆；若mn0，b0)的离心率为，则椭圆1的离心率为()A. B.C. D.解析：选C由双曲线1(a0，b0)的离心率为，得，即4b2a2，所以椭圆1的离心率为 .7若双曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是()A2 B1C. D.解析：选A双曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于b，因为双曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，所以b2c，所以bc.所以b1，所以该双曲线的虚轴长是2.8.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则ABF()A
4、90 B60C45 D30解析：选A设椭圆的方程为1(ab0)由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，则(c，b)，(a，b)离心率e，ca，b a，b2ac0，ABF90.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是()A设A，B为两个定点，k为非零常数，|k，则动点P的轨迹为双曲线B曲线1表示焦点在y轴上的椭圆，则t|AB|时，表示椭圆；当k|AB|时，表示线段；当k|AB|时不存在，故A错误；B中，曲线1表示焦点在y轴上的椭圆，则t0)与
5、椭圆1有相同的焦点(1)求双曲线C的方程；(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程解： (1)由已知椭圆1，得双曲线C的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，即c2，由等轴双曲线的性质ab及c2a2b2，得a，故所求双曲线C的方程为1.(2)当AB所在直线斜率不存在时，中点不可能为P(1,2)，故此时不满足题意；由对称性可知，当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为ykxm，联立方程组消去y,得(1k2)x22kmx(m22)0，则x1x22.又点P(1,2)在AB所在的直线ykxm上，即2km.联立两式，解得k，m，经检验，直线方程x2y30即为所求2
6、0(12分)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，M(p，p1)是C上的点(1)求C的方程；(2)若直线l：ykx2与C交于A，B两点，且|AF|BF|13，求k的值解：(1)因为M(p，p1)是抛物线C上的点，所以p22p(p1)，因为p0，所以p2，因此抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx80，16k2320，则x1x24k，x1x28，由抛物线的定义知，|AF|y11kx13，|BF|y21kx23，则|AF|BF|(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)94k2913，解得k1.21(12分)已知F为抛物线y22px(p
7、0)的焦点，过F且倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)已知P(x0，1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPMkPN2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由解：(1)由已知F，直线AB的方程为yx，联立消去y可得，x23px0，所以xAxB3p，因为|AB|xAxBp4p8，所以2p4，故抛物线的方程为y24x.(2)将P(x0，1)代入y24x可得P，不妨设直线MN的方程为xmyt(m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去x，得y24my4t0，则16m216t，y1y24m，y1y24t，
8、由题意kPMkPN2，化简可得，tm，代入16m216t16162320，此时直线MN的方程为xm(y1)，所以直线MN过定点.22(12分)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F2与抛物线y24x的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMNkOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由解：(1)抛物线y24x的焦点为(1,0)，椭圆C的半焦距c1，又椭圆的离心率e，a2，则b.椭圆C的方程为1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为ykxm，联立得(34k2)x28kmx4m2120.由0，可得m24k23.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2m，P，kOP.kMNkOP.