1、金陵中学高二年级数学检测卷(2) 学号_ 姓名_ 一、填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)1设复数z满足(zi)(1i)1i(i是虚数单位)，则复数z的模|z|开始结束k1k25k40输出kkk1NY(第3题)解：zii，z2i，|z|22抛物线yx2的焦点坐标是 解 抛物线x24y开口向下，2p4，1，所以焦点坐标为(0，1)3右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 解 由k25k40，得k1或k4，故输出k的值是54已知函数f(x)x(x2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是 解 函数f(x)x(x2)的图象过点A(3，7)，可得a4，则f(
2、x)x22，由均值不等式可得f(x)的最小值是f(4)6 5在ABC中，“A30”是“sinA”的条件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”)解 在ABC中，A300sinA1sinA，sinA30A150A30. “A30”是“sinA”的必要不充分条件.6将容量为n(nN*，n6)的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图若第一组至第六组数据的频率之比为234641，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 607已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，标准差是，则xy的值为 解 由(789xy)8且(81)2(88)2(89)2(8x)2(8y)22，解得
3、x6，y10或x10，y6，所以xy608已知cos，(0，)，则sin()的值为 解 由题设知sin，sin()sincoscossin 9现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 解 10个数中有5个是负数，它们都小于8，5个正数能构成一个以1为首项，9为公比的等比数列，其中只有1小于8，所以这10个数中小于8的数共6个从这10个数中随机抽取一个数，共有10种不同的取法，取出的一个数小于8的概率是0.610已知a，b均为单位向量若|a2b|，则向量a，b的夹角等于_解因为|a2b|，所以a24ab4b27，因为a，b均为
4、单位向量，所以|a|b|1，因此ab，所以a，b的夹角为11已知椭圆1的上焦点为F，直线xy10和xy10与椭圆相交于点A，B，C，D，则AFBFCFDF8解：AFBFCFDF4a812若双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长恰好等于一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为 解：设双曲线方程为1(a0，b0)，取其中一条渐近线yx，右焦点(c，0)，db，一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长为，所以b，所以c2a，故e2填空题答题区1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、解答题(共6小题，总分80分)13(本小题14分)ABC中，内角A，B，C的对边分别是a
5、，b，c，已知3bsinC5csinBcosA0(1)求sinA；(T13)(2)如果tan(AB)，求tanB和tanC(T14)(1)解：由正弦定理得，所以bsinCcsinB又因为3bsinC5csinBcosA0，所以bsinC(35cosA)0因为bsinC0，所以35cosA0即cosA又因为A(0，p)，所以sinA(2)解：由(1)知cosA，sinA，所以tanA因为tan(AB)，所以tanBtanA(AB)2所以tanCtan(AB)2(第14题)FDCABEC1A1B114（本小题14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1
6、上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证： (1)平面ADE平面BB1C1C；(T14)(2)直线A1F平面ADE(T15) (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C平面ABC因为AD平面ABC，所以C1CAD因为ADDE，DE，C1C平面BB1C1C，DEC1CE，所以AD平面BB1C1C因为AD平面ADE，所以平面ADE平面BB1C1C(2)方法一 连结DF在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为A1B1A1C1，所以ABAC由(1)得AD平面BB1C1C，又因为BC平面BB1C1C，所以ADBC所以D是BC的中点又因为F为B1C1的中点，所以B1FBD，从而四边形BD
7、FB1是平行四边形，所以DFBB1因为BB1AA1，所以DFAA1，所以四边形DFA1A是平行四边形，所以A1FAD因为A1F平面ADE，AD 平面ADE，所以A1F平面ADE方法二 因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为C1C平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以 C1CA1F因为B1C1，C1C平面BB1C1C，B1C1C1CC1，所以A1F平面BB1C1C由(1)知AD平面BB1C1C，所以A1FAD因为A1F平面ADE，AD 平面ADE，所以A1F平面ADE15(本小题14分)经销商用一辆J形卡车将某种水果从果园运送(
8、满载)到相距400km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升(L)75元(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解由题意得，y 当0v50时，y690在(0，50上单调递减，因此当0v50时，ymin3150(元)，(此时v50)，当v50时，y，则y，令y0，解得v100，v (50，100) 100 (100，)y0y递减极小值递
9、增所以当v50时，ymin2400(元)，(此时v100)，综上所述，当卡车速度为100km/h时，才能使运送这车水果的费用最少16（本小题11分）已知数列an的前n项和为Sn，点(n，)在直线yx上，数列bn满足bn22bn1bn0(nN*)，且b311，bn的前9项和为153（1）求数列an与数列bn的通项公式；（2）设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k；（3）设nN*，f(n)问是否存在mN*，使得f(m15)5 f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1)点(n,)在直线yx上,n,即Sn=n2n,an=n+5 bn+22
10、bn+1bn0(nN*),bn+2bn+1 bn+1bn b2b1.数列bn是等差数列,b3=11,它的前9项和为153,设公差为d,则b12d11,9b1d153,解得b1=5,d=3.bn=3n2 (2)由(1)得,cn(),Tnb1b2b3bn(1)()()+()=(1) Tn=(1)在nN*上是单调递增的,Tn的最小值为T1.不等式Tn对一切nN*都成立,.k19.最大正整数k的值为19 另解:cn0.所以Tn关于n是单增的. (3) nN*，f(n)当m为奇数时，m15为偶数；当m为偶数时，m15为奇数若f(m15)5f(m)成立，则有3(m15)25(m5)(m为奇数)或m1555
11、(3m2)(m为偶数) 解得m11所以当m11时，f(m15)5f(m)17(本小题16分)已知圆C方程为x2y28mx(6m2)y6m10(mR，m0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上(1) 证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2) 判断直线4x3y30与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3) 当m2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A、B，使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，求出A、B坐标；若不存在，请说明理由 (1) 证明：圆C的方程可化为(x2y22y1)m(8x6y6)0，(2分
12、)由解得(4分)所以圆C过定点M(0,1)(5分)(2) 解：直线4x3y30与 圆C相切证明如下圆C的方程可化为(x4m)2y(3m1)225m2，(6分)圆心到直线l的距离为d5|m|r，(9分)所以直线与圆C相切(10分)(3) 解：当m2时，圆C方程为(x8)2(y7)2100，圆心为(8,7)，半径为10，与直线x(810)，即x2相切，所以椭圆的左准线为x2.(11分)又椭圆过点M(0,1)，则b1，所以椭圆方程为y21.(12分)在椭圆上任取一点Q(x，y)(y0)，设定点A(s,0)，B(t,0)，则kQAkQBk对x(，)恒成立，(13分)所以x21kx2k(st)xkst对
13、x(，)恒成立所以或(14分)故A(，0)，B(，0)或者A(，0)，B(，0)(15分)18已知a为实数，函数f(x)(1ax)ex，函数g(x)，令函数F(x)f(x)g(x)(1) 若a1，求函数f(x)的极小值；(2) 当a时，解不等式F(x)1；(3) 当a0时，求函数F(x)的单调区间. 解：(1) 当a1时，f(x)(1x)ex.则f(x)(x2)ex.令f(x)0，得x2.(1分)列表如下：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(2) 当x2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)e2.(3分)(2) 当a时，F(x)ex，定义域为x|x2 F(x)ex(ex)0，
14、 F(x)在(，2)及(2，)上均为减函数(5分) 当x(，2)时，F(x)0， x(，2)时，F(x)1. 当x(2，)时，F(0)1， 由F(x)1F(0)，得x0.综上所述，不等式F(x)1的解为(，2)(0，)(7分)(3) 函数F(x)ex，定义域为.当a0时，F(x)exex.令F(x)0，得x2.(9分) 当2a10，即a时，F(x)0. 当a时，函数F(x)的单调减区间为(，)，(，)(11分) 当a0时，解x2得x1，x2. ， 令F(x)0，得x(，)，x(，x1)，x(x2，)；令F(x)0，得x(x1，x2)(13分) 当a0时，函数F(x)的单调减区间为(，)，(，)，(，)；函数F (x)单调增区间为.(15分) 当2a10，即a时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(，2)及(2，)(16分)