1、北京市门头沟区2019届高三数学3月综合练习（一模）试题 文（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,再根据交集定义得结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集的定义，考查基本求解能力，属基础题.2.复数z满足，那么是A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的
2、左视图的面积为A. B. 8C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量
3、.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.向量满足，且其夹角为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公
4、式的关系是解决本题的关键判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线
5、所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所
6、成角为，则AB不垂直于平面MNQ故选：D【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题7.已知中，则的面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求C，再根据余弦定理求b，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，
7、令，则,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由，得，由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大联立，解得目标函数的最大值为故答案为：2【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用
8、“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题10.双曲线的渐近线方程是_【答案】【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程【详解】解：双曲线的标准方程为：，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题11.等比数列中，则数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出已知条件，计算即可求解【详解】解：设等比数列的公比为q，解得数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理
9、能力与计算能力，属于基础题12.过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_.【答案】8【解析】 直线过抛物线的焦点，且斜率为1直线的方程为设，抛物线的焦点为根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得故答案为8点睛：本题考查过抛物线焦点的弦的问题：在求过抛物线焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离），可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则，,.13.若函数满足对定义域上任意都有不等式，成立,则称此函数为“函数”，请你写出一个“函数”的解析式_.【答案】 开放性试题【解析】【分析】根据定义可得函数为凸函数，故可找
10、对数函数.【详解】因为满足不等式的函数为凸函数，所以皆满足.【点睛】本题考查函数凹凸性，考查分析判断能力，属中档题.14.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间 (单位:)的函数，则此函数表达式为_ .【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离； 2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式【详解】解： 1秒时，水轮转过角度为，在中，；在中，此时点离开水面的
11、高度为；2由题意可知，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为故答案为： 1， 2【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数 （1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1） ，所以的周期单调增区间：（2） 【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属
12、中档题.16.在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列中，求数列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.17.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：学校抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参
13、与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【答案】（1）800；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详
14、解】（1）学校高中生的总人数为人学校参与“创城”活动的人数为人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为，则（3）校这5人分别记为，校这1人记为，任取2人共15种情况，如下：设事件为抽取2人中两校各有1人参与”创城”活动，则【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题.18.在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且 ，是棱上的一动点，为的中点.（1）求此三棱锥的体积；（2）求证：平面（3）若，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，若存在，给出证明，若不存在，请明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先确定高，
15、再根据锥体体积公式求解，（2）先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，（3）假设存在则得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】（1）由题意可知，（2）由题意可知，则，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，为平面一直线，从而平面（3）设是的中点，连结，则所以直线上任一点都满足平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于
16、轴的对称点求证：（i）三点共线（ii）【答案】（）；（）详见解析.【解析】【分析】由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.【详解】解：的周长为8，即，故椭圆C的方程为证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立，得设，则，与共线，则Q，A，三点共线由可知Q，A，三点共线，【点睛】本题考查
17、椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题20.已知在点处的切线与直线平行（）求实数的值；（）设（i）若函数在上恒成立，求的最大值；（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明【答案】（）1；（）1；详见解析.【解析】【分析】求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况【详解】解：函数，则，由题意知时，即a的值为1；，所以，当时，若，则，单调递增，所以；当时，若，令，解得舍去，所以在内单调递减，所以不恒成立，所以b的最大值为1；，显然有一个零点为0，设，则；当时，无零点，所以只有一个零点0；当时，所以在R上单调递增，又，由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，所以有2个零点；综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题