1、2.1坐标法学 习 任 务核 心 素 养1理解平面直角坐标系中的基本公式(重点)2理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用(重点、难点)1通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养2借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系笛卡尔1596.31650.2二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的在平
2、面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守着代数公式例如：已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)问题1：当x1x2，y1y2时，|AB|？问题2：当x1x2，y1y2时，|AB|？问题3：当x1x2，y1y2时，|AB|？请简单说明理由知识点1平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上两点间的距离公式如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1)，且B(x2)，则向量的坐标为x2x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|x2x1|如果M(x)是线段AB的中点，则数轴上的中
3、点坐标公式x1数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？提示给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x2x1，y2y1)，|AB|，若M(x，y)是线段AB的中点，则，则直角坐标系内的中点坐标公式x，y1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应()(2)数轴上起点相同的向量方向相同()(3)点M(x)位于点N(2x)的左侧()(4)数轴上等长的向量是相等的向量()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)与有序实数对一一对应(2)终点不一定相同(3
4、)x与2x的大小无法确定(4)方向不一定相同2(1)已知A(1，2)，B(2，6)，则AB的中点坐标为_(2)已知A(2，4)，B(1，3)，则A，B两点间的距离为_(1)(2)(1)设AB的中点为M(x，y)，则x，y4，中点坐标为(2)|AB|知识点2坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法2坐标法解决问题的一般步骤是什么？提示(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；(3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论用图表示，如图建立适当的平面直角坐标系
5、对简化计算很重要，应遵循以下原则：要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算；如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴；如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点；如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴3已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：AMBC证明如图，以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)因为点M是斜边BC的中点，所以点M的坐标为，即M由两点间的距离公式，得|BC|，|AM|，所以AMBC 类型1数轴上的点与实数间的关系【例1】(1
6、)若点P(x)位于点M(2)，N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系解(1)由题意可知，点M(2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(2)，N(3)之间，所以2xb时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a3.2，所以A(3.2)位于B(2.3)的左侧(2)因为m21m0，所以m21m，所以B(m21)位于A(m)的右侧(3)当a0时，|a|a，则A(|a|)和B(a)为同一个点当aa，则A(|a|)位于B(a)的右侧 类型2数轴上两点间的距离【例2】已知数轴上点A，B，P的坐标分别为1，3，x当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x
7、数轴上向量的数量与长度有何区别与联系？提示|AB|d(A，B)|xBxA|，xBxA解由题意知|PB|3|PA|，即|x3|3|x1|，则3(x1)x3，或3(x1)(x3)解得x3；解得x0所以点P的坐标为3或01本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？解由题意知|PA|PB|2，即解得x1此时点P的坐标为1，显然此时点P为线段AB的中点2本例中在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由解不存在这样的点P(x)因为d(A，B)|31|4，要使点P在线段AB上，且d(P，A)d
8、(P，B)3，则d(A，B)d(P，A)d(P，B)，这是不可能的数轴上的基本公式应用思路与方法(1)已知向量，中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用求解(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用xBxA求解(3)已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)|AB|xBxA|求解跟进训练2已知数轴上两点A(2)，B(3)，则点A关于点B的对称点的坐标是()AB6C8DC设A关于B的对称点坐标为x，则3，x8 类型3两点间距离公式的应用【例3】(对接教材人教B版P68例1)已知ABC的三个顶点坐标是A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积解(1
9、)|AB|2，|AC|2，|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形(2)ABC的面积SABC|AC|AB|2226判断三角形形状的常用方法(1)采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)利用两点间的距离公式，分别计算ABC三边的长度，根据三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理跟进训练3若等腰三角形ABC的顶点A是(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰ABC的腰长解因为|AD|2，在等腰ABD中，由勾股定理得，|AB|2所以等腰ABC的腰长为2 类型4坐标法的应用【例4】如图所示，四边形A
10、BCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|BD|证明建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)|AC|，|BD|，故|AC|BD|坐标法可以将几何问题转化为代数问题，把复杂的逻辑思维转化为简单的运算，使问题简单化.坐标法的核心是建立合适的平面直角坐标系，建系时要遵循前面所讲的建系技巧.跟进训练4ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示试用坐标法证明：|AE|CD|证明如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设ABD和BCE的边长分别为a和c，则A(a，0)，C(c，0)，E，
11、D，于是由距离公式，得|AE|，同理|CD|，所以|AE|CD|1下列各组点中，点C位于点D的右侧的是()AC(3)和D(4)BC(3)和D(4)CC(4)和D(3)DC(4)和D(3)A由数轴上点的坐标可知A正确2已知A(8，3)，B(5，3)，则线段AB的中点坐标为()ABCDB由中点坐标公式可以求得3光从点A(3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光从点A到点B的距离是()A5B2C5D10C根据光学原理，光从点A到点B的距离，等于点A关于x轴的对称点A到点B的距离因为A(3，5)，所以A(3，5)所以|AB|54若动点P的坐标为(x，1x)，xR，则动点P到原点的距离的最
12、小值为_|OP|，当x时，|OP|min5若x轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5，3)的距离相等，则点M的坐标为_设M(x，0)(x0)，则x202(x5)2(03)2，解得x，所以点M的坐标为回顾本节内容，自我完成以下问题：1应用两点间距离公式时要注意哪些问题？提示(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致(2)运算结果要进行开方化简2如何利用中点坐标公式解题？提示(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；(2)特别地，点A(x，y)关于点P(a，b)的对称点坐标为(2ax，2by)3利用坐标法证明几何问题有何优势？提示避免了作复杂的辅助线，将推理证明转化为数学运算