1、北京市第十四中学20172018学年度第一学期高三数学学科期中试卷第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在答题纸上1设集合，则（ ） ABCD【答案】B【解析】，解得，故选2复数在复平面内所对应的点落在第（ ）象限 A一B二C三D四【答案】C【解析】，应落在第三象限故选3下列极坐标方程表示圆的是（ ） ABCD【答案】A【解析】选项，表示圆故选4下列说法中正确的是（ ） A“”是“函数是奇函数”的充要条件B若，则，C若为假命题，则，均为假命题D“若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】是奇函数
2、，不一定存在，如，错；应为，错；若为假命题，则，中有一个为假即可，错故选5如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） ABCD【答案】B【解析】由图可知，黑色图形面积占圆的一半，设正方形边长为，则，故选6若实数，满足，则的最大值为（ ） ABCD【答案】D【解析】如图所示，满足阴影部分，当直线过时，最大，故选7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） ABCD【答案】C【解析】如图所示，图形为，表面积为故选8若函数满足：“对于区间上的任意实数，恒成立”，则称为完美函数
3、给出以下四个函数其中是完美函数的是（ ） ABCD【答案】C【解析】，符合；，不符合；，符合；，不符合故选第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分将答案填在答题纸上9在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【答案】【解析】二项展开式中含的项为，系数为10记为等差数列的前项和若，则的公差为_【答案】【解析】，11阅读程序框图，该程序输出的结果是_【答案】【解析】，时，输出12若双曲线的离心率为，则实数_【答案】【解析】，13在中，点，满足，若，则_【答案】【解析】如图：，14定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为相连不等式如果不等式与不等式
4、为相连不等式，且，则_【答案】【解析】设的两根，则的两根为，即，三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或证明过程15（分）已知函数的图象经过点（）求实数的值（）若，求的值域【答案】（）（）【解析】（），经过，（），当时，当时，即时，当，即时，值域为16（分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次记录如下：甲：，乙：，（）用茎叶图表示这两组数据（）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由（）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这次成绩中高于分的次数为，求
5、的分布列及数学期望【答案】（）（）派甲（）【解析】（）茎叶图如下： （）派甲，派甲合适 （）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于分”为事件，则可能为，且服从，分布列为：17（分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（）求证：（）求二面角的余弦值（）若平面，求的值【答案】（）见解析（）（）【解析】（）证明：为等边三角形，为的中点，面，面，（）取中点，连结，为等腰梯形，面，如图建系：，设法向量，则，面法向量为，由图可知二面角为钝角，余弦为（）面，即，且，18（分）设，函数（）讨论的单调性（）求的区间上的最小值【答案】（）增区间，减区间（）当时，当时，【解析】（），当时，单增，当时，单减
6、，的单调增区间为，单调减区间为（）当时，在上单增，当时，在上单减，当时，即时，在上单增，在上单减，当时，即，当时，综上所述：当时，当时，19（分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（）求椭圆的方程（）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【答案】（）（）圆方程为，斜率之积【解析】（），解得，椭圆方程为（）设存在，且圆方程为，当存在时，设方程，得：，即，得：，设，要为定值，则，即，当时，当不存在时，的交点，满足，成立20（分）已知函数（）若，确定函数的单调区间（）若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围（）求证：不等式对任意正整数恒成立【答案】（）增区间，减区间（）（）见解析【解析】（），当时，当时，单调增区间为，减区间为（），为偶函数，对恒成立，等价于，对恒成立，解得，当时，在时成立，在上为增函数，符合题意，当时，时，减，时，增，综上（）证明：由（）可知，当时，恒成立，即恒成立，当时，得证