1、第3课时导数的综合应用题型一利用导数求解函数的零点或方程的根的问题1(2019汉中模拟)若函数f(x)与g(x)满足：存在实数t，使得f(t)g(t)，则称函数g(x)为f(x)的“友导”函数已知函数g(x)kx2x3为函数f(x)x2ln xx的“友导”函数，则k的取值范围是()A(，1) B(，2C(1，) D2，)答案D解析g(x)kx1，由题意g(x)为函数f(x)的“友导”函数，即方程x2ln xxkx1有解，故kxln x1，记p(x)xln x1，则p(x)1ln xln x，当x1时，0，ln x0，故p(x)0，故p(x)递增；当0x1时，0，ln x0，故p(x)0，所以f
2、(x)在(0,1)，(1，)上单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)ln x10.又00，解得xe2，令f(x)0，解得0x时，f(x)min0，f(x)无零点(2)当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点(3)当0a0，f(e2)aa0(当x0时，exx2成立)，f(e2)0，所以f(x)在(0，e2)上有且只有1个零点，故当0a时，f(x)有2个零点(4)当a0时，当x(0，e2时，f(x)aln xa0，所以f(x)在(0，e2上无零点；因为f(x)在(e2，)上单调递增，且f(e2)a0，所以f(x)在(e2，)上有且只有1个零点
3、，故当a0时，f(x)只有1个零点综上所述，当a时，f(x)的零点个数为0；当a或a0时，f(x)的零点个数为1；当0a0时，f(x)xln xln，则函数g(x)f(x)sinx(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.1 B2 C3 D5答案C解析根据题意，函数g(x)f(x)sinx的零点即函数yf(x)与ysinx的交点，设h(x)sinx，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)0，又由h(0)sin00.则函数yf(x)与ysinx存在交点(0,0)，当x0时，f(x)xln xln，其导数f(x)，分析可得在区间上，f(x)0，f(x)为增函数，则f(x)在区间(0，)上存在最小值
4、，且其最小值为fln ln 1，又由hsin1，则函数yf(x)与ysinx存在交点，又yf(x)与ysinx都是奇函数，则函数yf(x)与ysinx存在交点.综合可得，函数yf(x)与ysinx有3个交点，则函数g(x)f(x)sinx有3个零点.2.(2019郑州模拟)已知函数f(x)a(xln x)，aR.(1)当ae时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)有两个零点，求参数a的取值范围.解(1)f(x)a(xln x)，定义域为(0，)，f(x)a，当ae时，f(x)，由于exex在(0，)上恒成立.故f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增.f(x)minf(1)
5、ea0.(2)f(x)，当ae时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增.f(x)minf(1)ae0，f(x)只有一个零点.当ae时，axex，故exaxexex0在(0，)上恒成立.故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增f(x)minf(1)ae0，故当ae时，f(x)没有零点.当ae时，令exax0，得a，令(x)，(x).(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x)min(1)e，exax0在(0，)上有两个零点x1，x2,0x11x2，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递
6、增，f(1)ae0，又x0时，f(x)，x时，f(x).此时f(x)有两个零点.综上，若f(x)有两个零点，则ae.题型二利用导数研究不等式的有关问题角度1证明不等式(多维探究)1.(2019北京高考节选)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x.解(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2,4.由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x
7、.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2,0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.条件探究将本例中的函数f(x)改为f(x)，设g(x)xln x，当x(0，)时求证：f(x)g(x).证明因为g(x)ln x1.令g(x)0，则0x0，则x，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增.所以g(x)g.又因为f(x).令f(x)0，则x0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.所以f(x)f(1).因此f(x)g(x).角度2已知不等式恒成立，求参数的取值范围2.(2019银川模拟)已知函数f(x
8、)xaln (x1).(1)当a2时，求f(x)的单调区间；(2)当a1时，关于x的不等式kx2f(x)在0，)上恒成立，求k的取值范围.解(1)当a2时，f(x)x2ln (x1)，f(x)1，当x(1,1)时，f(x)0，f(x)是增函数.所以，f(x)的单调递减区间为(1,1)，单调递增区间为(1，).(2)当a1时，f(x)xln (x1)，kx2f(x)，即kx2xln (x1)0.设g(x)kx2xln (x1)，x0，则只需g(x)0在0，)上恒成立即可.易知g(0)0，g(x)2kx1，因为x0，所以0.当k0时，g(x)0，此时g(x)在0，)上单调递减，所以g(x)g(0)
9、0，与题设矛盾；当0k0.当x时，g(x)0，此时g(x)在上单调递减，所以，当x时，g(x)g(0)0，与题设矛盾；当k时，g(x)0，故g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(0)0恒成立综上，k.角度3不等式存在性成立问题3.已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(
10、x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数.f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值.由(1)知当a1时，f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时，g(x)0，g(x)为减函数.g(x)ming(0)1.所以e(a1)，
11、所以a的取值范围为.1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)恒成立F(x)min0.(4)任意x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；任意x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；存在x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；存在x1M，任意x
12、2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.如举例说明3.1.(2019渭南模拟)设函数f(x)(xa)2(3ln x3a)2，若存在x0，使f(x0)，则实数a的值为()A. B. C. D1答案A解析分别令g(x)3ln x，h(x)3x，设过点P(x0,3ln x0)的函数g(x)的切线l平行于直线y3x.g(x)，由3，解得x01.切点P(1,0)点P到直线y3x的距离d .存在x01，使f(x0)，过点P且与直线y3x垂直的直线方程为y(x1)联立解得x，y.则实数a.故选A.2.(2019哈尔滨六中模拟)已知函数f(x)xln xax21，且f(1)1.(1)求函数
13、f(x)的解析式；(2)若对任意x(0，)，都有f(x)2mx10，求m的取值范围；(3)证明函数yf(x)2x的图象在g(x)xexx21图象的下方.解(1)因为f(x)xln xax21，所以f(x)ln x1ax.又因为f(1)1，所以1a1，a2，所以f(x)xln xx21.(2)若对任意x(0，)，都有f(x)2mx10.即xln xx22mx0恒成立，即mln xx恒成立.令h(x)ln xx，则h(x).当0x0，h(x)单调递增；当x1时，h(x)0，h(x)单调递减.所以当x1时，h(x)有最大值，h(1).所以m，即m的取值范围是.(3)证明：要证明函数yf(x)2x的图
14、象在g(x)xexx21的图象的下方.即证：f(x)2xxexx21恒成立，即ln xex2.由(2)可得h(x)ln xx.所以ln xx1.现要证明x10.令(x)exx1，则(x)ex1.当x0时，(x)0，(x)单调递增.所以(x)(0)0.即exx10.所以x1ex2.从而得到ln xx1ex2.所以函数yf(x)2x的图象在g(x)xexx21图象的下方.题型三利用导数求解生活中的优化问题如图所示的某种容器的体积为90 cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45；圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面的造价为
15、2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a 元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；(2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？解(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45，所以h1r，圆锥的体积为V1r2h1r3，圆柱的体积为V2r2h2.因为V1V290，所以V2r2h290r3，所以h2.因为V1r390，所以r3.因此0r3，所以h2，定义域为r|0r3.(2)圆锥的侧面积S1rrr2，圆柱的侧面积S22rh2，底面积S3r2.容器总造价为yaS1aS22aS32r2a2rh2a2r2a2a(r2rh2r2)2a.令f(r)r2，则f(
16、r)2r.令f(r)0，得r3.当0r3时，f(r)0，f(r)在(0,3)上为单调减函数；当3r0，f(r)在(3,3)上为单调增函数，因此，当r3时，f(r)有最小值，y有最小值90a元.所以总造价最低时，圆柱底面的半径为3 cm.1.利用导数解决生活中的实际应用问题的四个步骤2.利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合如举例说明.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其
17、中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为当x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.则f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值所以当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大