1、导数的应用（一）一、选择题1与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.答案D2函数y4x2的单调增区间为()A(0，) B.C(，1) D.解析由y4x2得y8x，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2在上递增答案B3已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f(x)的图象如图所 示，则()Af(x)在x1处取得极小值Bf(x)在x1处取得极大值Cf(x)是R上的增函数Df(x)是(，1)上的减函数，(1，)上的增函数解析：
2、由图象易知f(x)0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数答案：C4已知直线ykx是yln x的切线，则k的值为()Ae Be C. D解析设(x0，ln x0)是曲线yln x与直线ykx的切点，由y知y|xx0由已知条件：，解得x0e，k.答案C5函数f(x)ax3bx在x处有极值，则ab的值为()A2 B2 C3 D3解析 f(x)3ax2b，由f3a2b0，可得ab3.故选D.答案 D 6对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)解析不等式(x1)f(x)0等价于或可知f(x)在(，1)上递减，(1，)上递增，或者f(x)为常数函
3、数，因此f(0)f(2)2f(1)答案C7函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析设g(x)f(x)2x4，由已知g(x)f(x)20，则g(x)在(，)上递增，又g(1)f(1)20，由g(x)f(x)2x40，知x1.答案B二、填空题8设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得x1.所以函数f(x)的单调增区间为(1，)答案：(1，)9函数f(x)x33
4、x21在x_处取得极小值解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x10，x22，当x(，0)时，f(x)0，当x(0,2)时，f(x)0，显然当x2时f(x)取极小值答案 210若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)5ax4，x(0，)，由题意知5ax40在(0，)上有解即a在(0，)上有解x(0，)，(，0)a(，0)答案(，0)11函数f(x)x(a0)的单调递减区间是_解析由axx20(a0)解得0xa，即函数f(x)的定义域为0，a，f(x)，由f(x)0解得x，因此f(x)的单调递减区间是.答案12已知函数f(x)x2(xa)若f(x)
5、在(2,3)上单调则实数a的范围是_；若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是_解析由f(x)x3ax2得f(x)3x22ax3x.若f(x)在(2,3)上不单调，则有解得：3a0，得exa，当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立xR时，ex(0，)，a0.即a的取值范围为(，015已知函数f(x)x3ax1(1)若f(x)在(，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在
6、实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由解析 (1)f(x)3x2a由0，即12a0，解得a0，因此当f(x)在(，)上单调递增时，a的取值范围是(，0(2)若f(x)在(1,1)上单调递减，则对于任意x(1,1)不等式f(x)3x2a0恒成立即a3x2，又x(1,1)，则3x23因此a3函数f(x)在(1,1)上单调递减，实数a的取值范围是3，)16已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上
7、总不是单调函数，求m的取值范围解析(1)根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1；当a0时，f(x)不是单调函数(2)f(2)1，a2，f(x)2ln x2x3.g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g(0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，m9.【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；第二步：求函数f(x)的导数f(x)；第三步：求方程f(x)0的根；第四步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；第六步：明确规范表述结论.