1、 第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算考纲解读1.了解集合的含义体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题.2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集(重点、难点)4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算.考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1集合与元素(1
2、)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2集合间的基本关系(1)基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB(2)结论空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为A，B(B)对于任意集合A，AA.若AB，BC，
3、则AC.3集合的基本运算表示运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合x|xA，且xBAB并集属于A或属于B的元素组成的集合x|xA，或xBAB补集全集U中不属于A的元素组成的集合x|xU，且xAUA4集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个，非空真子集的个数为2n2个1概念辨析(1)若
4、1x，x2，则x1.()(2)x|yx2y|yx2(x，y)|yx2()(3)x|x2t|t2()(4)对于任意两个集合A，B，总有(AB)A，A(AB)()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)已知集合Ax|(x1)(x2)0，BxZ|32x13，则AB()A2,1 B0,1,2C2，1,0,1,2 D2,0,1,2答案D解析因为A2,1，BxZ|1x20,1,2，所以AB2,0,1,2(2)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2答案B解析因为Bx|x1，所以RBx|x1因为Ax|0x2，所以A(RB)x|0x1
5、，故选B.(3)已知集合Ax|x3n，nN，Bx|x6m，mN，则A与B的关系为_答案BA解析任取xB，则x6m32m,2mN，所以xA，所以BA，又3A但3B，所以BA.(4)已知集合A，B0，x2，且AB，则集合A的子集为_答案，0，4，0,4解析由题意得x2，y0，解得x2，所以A0,4，其子集为，0，4，0,4题型一集合的基本概念与表示方法1(2019厦门一中模拟)设集合Mx|x2m1，mZ，Py|y2m，mZ，若x0M，y0P，ax0y0，bx0y0，则()AaM，bP BaP，bMCaM，bM DaP，bP答案A解析解法一：设x02n1，y02k(n，kZ)，则x0y02n12k2
6、(nk)1M，x0y0(2n1)(2k)2(2nkk)P，故aM，bP.解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数偶数是奇数，奇数偶数是偶数可知aM，bP.2(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9 B8 C5 D4答案A解析x2y23，x23，xZ，x1,0,1，当x1时，y1,0,1；当x0时，y1,0,1；当x1时，y1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.3若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.答案0或1解析因为3A，所以a33或2a13或a243，解得a0或a1或a1.当a0时，A
7、3，1，4，符合题意；当a1时，2a1a243，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a1时，A2,1，3，符合题意综上知a0或1.1.用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点).(2)看这些元素满足什么共同特征如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合如举例说明2，x，y是整数且满足x2y23.2.两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性如举例说明3，求出a值后应注意检验.(2)忽视分类讨论如举例说明2，要分x1，x0和x1三种情况讨论，可以保证不重不漏.1.设集合A0,1,2,3，Bx|xA
8、,1xA，则集合B中元素的个数为()A.1 B2 C3 D4答案A解析若xB，则xA，所以x只可能取0，1，2，3.而1xA，逐一检验可知B3，只有1个元素.2.已知单元素集合Ax|x2(a2)x10，则a等于()A.0 B4C.4或1 D4或0答案D解析因为集合A只有一个元素所以一元二次方程x2(a2)x10有两个相等的实根，所以(a2)240，解得a4或0.题型二集合间的基本关系1.集合Mx|x3n，nN，集合Nx|x3n，nN，则集合M与集合N的关系为()A.MN BNMC.MN DMN且NM答案D解析因为1M,1N，所以MN，因为0N,0M，所以NM.综上知，MN且NM.2.已知集合M
9、x，kZ，集合Nx，kZ，则()A.MN BNMC.MN D以上都不对答案A解析，kZ，kZ，任取xM，有xN，且N，但M，MN.3.已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_.答案(，3解析因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为m3.条件探究将本例中的集合A改为“Ax|x5”，则实数m的取值范围为_.答案(，2)(4，)解析因为BA，所以当B时，即2m1m1时，m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，).1.判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异
10、同，从而找出集合之间的关系如举例说明1结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断如举例说明2数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系如举例说明32.根据集合间的关系求参数的策略(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为A对任意集合A都成立如举例说明3中2m1m1时，B，BA也成立.(2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化如举例说明3，当B时，由BA，借助数轴，列出关于m的不等式组.(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为Ax|2x5，Bx|m1x2 Ca0 Da0答案A解析Ax|0x2，B
11、x|xa，为使AB，a须满足a2.3.满足0,1,2A0,1,2,3,4,5的集合A的个数为_.答案7解析集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于3,4,5的非空子集的个数，即为2317.题型三集合的基本运算角度1集合的并、交、补运算1.(2019全国卷)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()A.x|4x3 Bx|4x2C.x|2x2 Dx|2x3答案C解析由x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即Nx|2x3，MNx|2x2故选C.2.已知集合Ay|y，Bx|ylg (x2x2)，则R(AB)()A. B(，0)C. D(，0答案
12、D解析因为Ay|y0，)，Bx|ylg (x2x2)，所以AB，所以R(AB)(，0.3.(2019合肥模拟)已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则A(UB)_.答案3解析因为全集U1,2,3,4，且U(AB)4，所以AB1,2,3，又B1,2，所以A3或1,3或2,3或1,2,3，所以A(UB)3.角度2知集合的运算结果求参数4.已知集合Ax|x2ax0，a0，B0,1,2,3，若AB有3个真子集，则a的取值范围是()A.(1,2 B1,2)C.(0,2 D(0,1)(1,2答案B解析因为集合Ax|0xa，a0，B0,1,2,3，若AB有3个真子集，则AB
13、0,1，所以1a2.所以a的取值范围是1,2).5.设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，则m_.答案1或2解析A2，1，由(UA)B，得BA.x2(m1)xm0可化为(x1)(xm)0，当m1时，B1，符合题意；当m1时，B1，m，为使BA成立，须有m2，即m2.综上知m1或2.1.求集合并集、交集或补集的步骤2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换.如举例说明5中，由(UA)B，知BA.(2)化简集合为求参数创造有利条件.如举例说明5中，A2，1当m1时，B1；当m1时，B1，m.1.(2019天津高考)设集合A1,1,2
14、,3,5，B2,3,4，CxR|1x3，则(AC)B()A.2 B2,3C.1,2,3 D1,2,3,4答案D解析AC1,1,2,3,5xR|1x0，Qx|xa，PQR，则a的取值范围是()A.(2，) B(4，)C.(，2 D(，4答案C解析集合Px|x22x80x|x4，Qx|xa，若PQR，则a2，即a的取值范围是(，2.题型四集合的新定义问题设全集U1,2,3,4,5,6，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M2,3,6，则UM表示的6
15、位字符串为_；(2)已知A1,3，BU，若集合AB表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是_.答案(1)100110(2)4解析(1)由已知得，UM1,4,5，则UM表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知AB1,3,6，而A1,3，BU，则B可能为6，1,6，3,6，1,3,6)，故满足条件的集合B的个数是4.与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基
16、础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算.1.(2020济南模拟)(多选)对于集合M，定义函数fM(x)对于两个集合M，N，定义集合MNx|fM(x)fN(x)1已知集合A2,4,6，B1,2,4，则下列结论正确的是()A.1AB B2ABC.4AB DABBA答案ACD解析由题意知，fA(x)fB(x)当x1时，fA(1)1，fB(1)1，所以fA(1)fB(1)1(1)1，故1AB，A正确；当x2时，fA(2)1，fB(2)1，所以fA(2)fB(2)(1)(1)1，故2AB，B错误；当x4时，fA(4)1，fB(4)1，所以fA(4)fB(4)(1)(1)1，故4AB，C正确；由定义及乘法的交换律可知，D正确.2.如果集合A满足：若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”已知集合A2x,0，x2x，且A是对称集合，集合B是自然数集，则AB_.答案0,6解析由题意可知2xx2x，所以x0或x3.而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去当x3时，A6,0,6，所以AB0,6.