1、北京市海淀区2016届高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知，则的值为 A. B. C. D.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以【答案】A2. 抛物线的准线与轴的交点的坐标为 A. B. C. D.【考点】抛物线【试题解析】抛物线的准线方程为：所以与轴的交点的坐标为（0，-1）。【答案】B3. 如图，正
2、方形中，为的中点，若， 则的值为 A. B. C. D.【考点】平面向量的几何运算【试题解析】因为E为DC的中点，所以【答案】D4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输 出的值为 A. B. C. D.【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为3【答案】C5. 已知数列，其中, 则 满足的不同数列一共有A. 个 B.个 C.个 D.个【考点】数列综合应用【试题解析】由题知：若，则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1所以数列共有：个。【答案】A6. 已知圆, 直线， 若
3、被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为 A. B.1 C. D.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】圆圆心为（2，0），半径为2，圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：圆心到的距离为 所以被圆所截得的弦长为：4，所以所以【答案】C7. 若满足 则的最大值为 A. B. C. D.【考点】线性规划【试题解析】作可行域：A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D（0，2）由图知：目标函数过点D时，目标函数值最大，为【答案】D8. 已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是A. B. C. D. 【考点】立体几何综合点线面的位
4、置关系【试题解析】连接，显然与所成角都相等。在平面都可以过A作一条不同于的直线，与所成角都相等，所以m=4。易知与三个平面所成角都相等。同理在平面都可以过A作一条不同于 的直线，与所成角都相等，所以n=4。【答案】D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知双曲线的一条渐近线过点,则其离心率为【考点】双曲线【试题解析】由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以所以【答案】10. 在的展开式中，常数项为_.（用数字作答）【考点】二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为：令所以【答案】1511. 已知等比数列的公比为，若，则【考点】等比数列【试题解析】由题知：所以【答案】612. 某四棱锥的
5、三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该四棱锥的底面是一个直角梯形，高为2所以最长棱的棱长为：故答案为：【答案】13. 已知函数 若的最小值是，则【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】若，函数的值域为（0，+，不符合题意；若则函数的最小值为或所以或解得：【答案】414. 已知，若存在，满足,则称是的 一个“友好”三角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ； .(ii) 若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为_.【考点】解斜三角形【试题解析】(i)对：
6、因为所以不存在“友好”三角形；对：若，同理：故存在“友好”三角形；对：若满足，则或都不能构成三角形，故不存在“友好”三角形。(ii) 若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C=或，分析知。所以即故C=即顶角的度数为。【答案】；三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值与最小值的和. 【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】解：（）因为（两个倍角公式，每个各2分）所以函数的最小正周期. （）因为，所以，所以. 当时，函数取得最小值; 当时，函数取得最大值, 因
7、为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. 【答案】见解析16. （本小题满分13分） 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为. 为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关. （）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.【考点】随机变量的期望与方差独立重复试验某事件发生的概率【试题解析】解：（）设持续天
8、为事件，用药持续最多一个周期为事件，所以，则. 法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期，所以, 所以. （）随机变量可以取，所以, , 所以. 【答案】见解析17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且. （）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得? 若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【考点】空间的角平面法向量的求法平行【试题解析】 解：（）过点作，交于,连接,因为，所以.又，所以.所以为平行四边形, 所以.又平面，平面,（一个都没写的，则这1分不给）所以平面. （）因为梯形中，,所以.因为平面，所以,如图，以
9、为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到,同理可得,所以,因为二面角为锐角，所以二面角为.（）假设存在点，设，所以,所以，解得,所以存在点，且.【答案】见解析18. （本小题满分13分）已知函数. （）当时，求函数的单调区间和极值；（）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）【考点】导数的综合运用【试题解析】解：（）因为,所以，当时，.令，得，所以随的变化情况如下表：极大值极小值所以在处取得极大值，在处取得极小值.函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.（）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间
10、上的最大值小于等于1. 因为，令，得.因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在区间上的最大值为或.此时,，所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解.【答案】见解析19. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为. 是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】解：（）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以,所以的方程为.
11、（）法一：设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立得,化简得到,因为为上面方程的一个根，所以，所以.所以.因为圆心到直线的距离为，所以,因为，代入得到.显然，所以不存在直线，使得. 法二：设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立得化简得到,由得. 显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即.由，因为圆心到直线的距离为，所以.因为，代入得到,若，则，与矛盾，矛盾，所以不存在直线，使得. 法三：假设存在点，使得，则，得. 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，由，得,由得，所以.同理可得，所以由得，则，与矛盾，所以不存在直线，使得.【答案】见解析20. （本小题满分13分）若实数数列满足，则称数列为“数列”
12、.（）若数列是数列，且，求，的值；() 求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；() 若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值. 【考点】数列综合应用【试题解析】解：（）因为是数列，且所以，所以, 所以，解得, 所以. () 假设数列的项都是正数，即，所以，与假设矛盾.故数列的项不可能全是正数,假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾,故数列的项不可能全是负数.()由()可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数满足（）.设，则.,故有, 即数列是周期为9的数列由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为,所以当时，;当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,记这项中负数项的个数为，当时，若则，故为负数，此时，；若则，故为负数.此时，当时，必须为负数，,综上可知的取值集合为.【答案】见解析