1、专题九思想方法专题第三讲分类讨论思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶
2、次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能
3、是偶函数()(3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)()(4)当n0时，幂函数yxn是定义域上的增函数()(5)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k.()(6)已知f(x)x24x5，x0，3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()1过双曲线2x2y22的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线有(B)A4条B3条C2条D1条解析：由2x2y22，得x21.当l无斜率时，|AB|4，符合要求。当l有斜率时，若A、B两点都在右支上，则|AB|4不符合要求，A、B在左、右两支上，有两条，所以共3条2已知正三角形ABC的边
4、长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是(D)A2 B3 C5 D8解析：对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两侧有6个共有268个3满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数有(B)A14 B13 C12 D10解析：方程ax22xb0有实数解，分析讨论当a0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解，此时b可以取4个值，故有4个有序数对；当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)(a，b)共有4416个实数对，故答案应为16313.4. (2014浙江
5、卷)设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是(，解析：由题意或解得f(a)2，当或解得a.故a的取值范围是(，一、选择题1已知实数m是2，8的等比中项，则曲线x21的离心率为(D)A.B.C. D.或解析：m是2，8的等比中项，m216，m4.当m4时，曲线为双曲线，其中a1，c，e；当m4时，曲线为椭圆，其中a2，c，e，故选D.2已知函数f(x)则不等式f(x)2的解集是(A)A0，) B1，2C0，2 D1，)解析：由得0x1；由得x1，解集是0， )，故选A.3设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0，1时，f(x)x3.又函数g(x)|xc
6、os x|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为(B)A5个B6个C7个D8个解析：因为当x0，1时，f(x)x3.所以当x1，2，(2x)0，1，f(x)f(2x)(2x)3, 当x时，g(x)xcos(x)；当x时，g(x)xcos(x)，注意到函数f(x), g(x)都是偶函数，且f(0)g(0)，f(1)g(1), f g0，作出函数f(x), g(x)的大致图象，函数h(x)除了0，1这两个零点之外，分别在区间，上各有一个零点，共有6个零点故选B.4经过点P(2，3)且在x，y轴上截距相等的直线方程是(B)Axy50，xy10Bxy50，3x2y0Cxy50，xy10，3x
7、2y0Dxy10，3x2y0解析：当截距为零时，直线方程为 3x2y0；当截距不为零时，直线方程为xy50.5已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N，2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是(C)A圆 B椭圆C抛物线 D双曲线解析：考查曲线方程、分类讨论的思想不妨设|AB|2，以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，则A(1，0)，B(1，0)，设M(x，y)，则N(x，0)，(0，y)，(x1，0)，(1x，0)，代入已知式子得x2y2，当1时，曲线为A：当2时，曲线为B；当0时，曲线为D，所以选C.6已知点O(0，0)，A(0，b)，B(
8、a，a3)若OAB为直角三角形，则必有(C)Aba3Bba3C(ba3)(ba3)0D|ba3|ba3|0解析：根据直角三角形的直角的位置求解若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A，则ba30.若B，根据斜率关系可知a21，所以a(a3b)1，即ba30.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件。二、填空题7设点F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为或2解析：若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|
9、，|PF2|，.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，|PF1|4，|PF2|2，2.综上可知，或2.8正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为4或解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况三、解答题9已知函数f(x)2asin2x2asin xcos xab(a0)的定义域为，值域为5，1，求常数a，b的值解析：f(x)a(1cos 2x)asin 2xab2asin2ab，x，2x，sin1，因此，由f(x)的值域为5，1，可得或解得或10在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，且 l过
10、点T(4，0)求证：0.解析：设过点T(4，0)的直线l交抛物线y24x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x4，此时直线l与抛物线交于点A(4，4)，B(4，4)，0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)其中k0，由得ky24y16k0，则y1y216.又x1y，x2y，x1x2y1y2yyy1y20.综上所述，0得证11如图所示，已知一条线段AB，它的两个端点分别在直二面角PlQ的两个面内移动，若AB和平面P，Q所成的角分别为，.试讨论的取值范围解析：当ABl时，90.当AB与l不垂直且不在l上时，在平面P内作ACl，C为垂足，连接BC
11、，平面P平面Q，AC平面Q.ABC是AB与平面Q所成的角，即ABC.在平面Q内作BDl，垂足为D，连接AD，同理BAD.在RtBDA，RtBCD和RtABC中，BDBC，即sin sin BAC.和BAC均为锐角，BAC，而BAC90，90.若AB在l上，则0.综上可知，090.12(2014重庆卷)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值； (2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围分析：(1)由f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)f(x)
12、2ae2x2be2xc，因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，又曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c，所以有f(0)4c，利用以上两条件列方程组可解a，b的值；(2)由(1)，f(x)2ex2exc，当c3时，利用f(x)的符号判断f(x)的单调性；(3)要使函数f(x)有极值，必须f(x)有零点，由于2ex2ex4，所以可以对c的取值分类讨论，得到满足条件的C的取值范围解析：(1)对f(x)求导得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)恒成立，即2(ab)(e2xe2x)0恒成立，所以ab，又f(0)2a2bc，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32310，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c4时，对任意xR，f(x)2e2x2e2xc0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根，t1，20，即f(x)0有两个根x1ln t1或x2ln t2.当x1xx2时，f(x)0；又当xx2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)