1、天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集的运算求解.【详解】由已知得，因为，所以，故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）A. B. C. D. 且【答案】C【解析】【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C点评本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.3. 函数的定义域为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义域的求法列不等式，解对数不等式求得函数的定义域.【详解】由已知得即或，解得或.所以定义域为.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.4. 已知点，向量，若，则实数的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【详解】点，则=(3,y1), y1=6y=7故选：C5. 若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图像关于点中心对称，由求出的表达式即可.【详解】因为函数的图像关于点中心对称，所以，所以，解得，所以故选：
3、C【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案【详解】，即且，即，即故故选：C【点睛】方法点睛：比较实数的大小，一般先把每一个数和零比，再把正数和1比，负数和比较.其中多用到函数的图象和性质.7. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A. 在区间上单调递减B. 在区间上单调递增C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增【答案】B【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长
4、度，得，函数在上为增函数考点：函数图象的平移、三角函数的单调性8. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ann.，S1001.9. 已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，则函数的零点个数是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】当时，函数的周期为2，时，可作出函数的图象；图象关于轴对称的偶函数，函数的零点，即为函数图象交点横坐标，当时，此时函数图象无交点，如图：又两函数在上有4个交点，由对称性知它们在上也有4个交点，且它们关于直线轴对称，可得函数的零点个数为8，故选D.
5、点睛：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题；函数和图象交点的个数即函数的零点个数，分别作出函数y=f（x），y=log5|x-1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解.二、填空题（本大题共6小题）10. 已知集合，则集合中元素的个数是_.【答案】5【解析】【分析】分别给进行取值，可计算求得中元素，进而确定集合，得到结果.【详解】当或或时， 当，或时，或 ，当，或时，或 ，当，或时，或 ，综上所述：，共个元素故答案为：【点睛】本题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.11
6、. 设，（i为虚数单位），则的值为 【答案】8【解析】由得，所以，【考点】复数的运算和复数的概念12. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为_【答案】【解析】试题分析：当时，又当时，所以考点：数列的通项公式13. 设曲线在点处的切线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】由题意得知，函数在处的导数值为，由此可求出实数的值.【详解】，.由题意可知，当时，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值.考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14. 已知，且，则的最小值为_.【答案】64【解
7、析】【分析】根据基本不等式解得取值范围，再结合等号确定最值取法.【详解】，当且仅当时取等号，所以的最小值为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意等号取得的条件，否则会出现错误.15. 如图，在中，D,E分别边AB,AC上的点,且，则_，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果【详解】，；又因为且，为正三角形，设长为（），则，时取等号，的最小值为.故答案为：1，.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何
8、知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用三、解答题（本大题共5小题）16. 等比数列中，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，分别是等差数列的第4项和第16项，求数列的通项公式及前n项和【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列通项公式（2）由等比数列通项公式求出
9、等差数列的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列的通项公式及前n项和【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为（2）因为，分别是等差数列的第4项和第16项，所以，设等差数列的公差为，可得，解得，所以，则数列的通项公式及前n项和17. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】（）.=.（）.【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理
10、，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（）解：由（）及，得，所以，.故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）a=1,b=0;(2) .【解析】【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行
11、等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解.【详解】（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得（2）由已知可得，所以可化为， 化为，令，则，因，故，记，因为，故， 所以的取值范围是【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到，其二是换元得到，.19. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】()，；()（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程
12、，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 设函数为的导函数.（）求的单调区间；（）当时，证明；（）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【答案】（）单调递增区间为的单调递减区间为.（）见证明；（）见证明【解析】【分析
13、】()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；()构造函数，结合()的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；()令，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.详解】()由已知，有.当时，有，得，则单调递减;当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.()记.依题意及()有：，从而.当时，故.因此，在区间上单调递减，进而.所以，当时，.()依题意，即.记，则.且.由及()得.由()知，当时，所以在上为减函数，因此.又由()知，故：.所以.【点睛】本题主要考查导数的运算不等式证明运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力综合分析问题和解决问题的能力.
