1、6 垂直关系61 垂直关系的判定考 纲 定 位重 难 突 破1.了解线面垂直、面面垂直的定义2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定难点：找(作)二面角的平面角方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面内的一条直线都，那么称这条直线和这个平面垂直任何垂直2判定定理文字语言图形表示符号语言如果一条直线和一个平面内的两条直线都，那么该直线与此平面垂直a b abAlalbl相交垂直二、二
2、面角及其平面角二面角定义从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角，叫作二面角的棱，叫作二面角的面如图，记作：或这两个半平面这条直线两个半平面ABl二面角范围0180画法如图：二面角-l-若有O l；OA，OB；OA l，OB l，则AOB 就叫作二面角-l-的平面角三、平面与平面垂直1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直2判定定理文字语言图形表示符号语言如果一个平面另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直直二面角经过垂线aa 双基自测1下列条件中，能判定直线 l平面 的是()Al 与平面 内的两条直线垂直Bl 与平面 内的无数条直线垂直Cl 与平面 内的某一条直线垂直D
3、l 与平面 内的任意一条直线垂直解析：根据线面垂直的定义，可知当 l 垂直于 内所有直线时，l.答案：D2已知直线 l平面，l 平面，则()A BC 或 D 与 相交但不一定垂直解析：根据面面垂直的判定定理知.答案：A3二面角的平面角是指()A两个平面相交的图形B一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角答案：D4从空间一点 P 向二面角-
4、l-的两个面，分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是()A60 B120C60或 120 D不确定解析：若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120，若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60.答案：C5一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A相等B互补C相等或互补D不确定解析：反例：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 CD，C1D1 的中点，二面角 D-AA1-E 与二面角 B1-AB-D 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选 D.
5、答案：D探究一 直线与平面垂直的判定典例 1 如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离解析(1)证明：因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 3.如图，连接 OB，因为 ABBC 22 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB12AC2.由 OP2OB2PB2知，OPOB.由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC.(2)如图，作 CHOM，垂足为 H.又由(1)可得 OPCH，所以 CH平
6、面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC12AC2，CM23BC4 23，ACB45.所以 OM2 53，CHOCMCsinACBOM4 55.所以点 C 到平面 POM 的距离为4 55.1利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”：(1)寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直(2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线(3)判定：根据判定定理得出结论2线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明 l 和平面 内任意一条直线都垂直(2)用定理：证明 l 与平面 内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直线面垂直(3)用推论：若 m
7、，证明 lm，即可知 l.1.如图，在ABC 中，ABC90，D 是 AC 的中点，S 是ABC 所在平面外一点，且 SASBSC.(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC.证明：(1)因为 SASC，D 是 AC 的中点，所以 SDAC.在 RtABC 中，ADBD，又 SASB，所以ADSBDS，所以 SDBD.又 ACBDD，AC 平面 ABC，BD 平面 ABC，所以 SD平面 ABC.(2)ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知 SDBD，因为 SDACD，所以 BD平面 SAC.探究二 平面与平面垂直的判定典例 2 如图，四棱锥
8、P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD，点 E 在侧棱 PB 上求证：平面 AEC平面PBD.解析 PD平面 ABCD，AC 平面 ABCD，PDAC.又 ABCD 为正方形，ACBD，PDBDD，AC平面 PBD.又 AC 平面 AEC，平面 AEC平面 PBD.1证明平面与平面垂直，常用两种方法：(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线(2)证明二面角的平面角是直角2用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线在处理具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥
9、梁”2.如图，在空间四边形 ABCD 中，ABBC，CDDA，E，F，G分别为 CD，DA 和对角线 AC 的中点求证：平面 BEF平面 BGD.证明：ABBC，CDAD，G 是 AC 的中点，BGAC，DGAC，又 EFAC，EFBG，EFDG.EF平面 BGD.EF 平面 BEF，平面 BGD平面 BEF.探究三 线面垂直判定的综合应用典例 3 三棱锥 P-ABC 中，PO平面 ABC，PABC，PBAC.求证：(1)O 是ABC 的垂心；(2)PCAB.解析(1)连接 OA，OB.PO平面 ABC，POBC.又 PABC，POPAP，BC平面 PAO.又 AO 平面 PAO，BCAO，即
10、 O 在ABC 的 BC 边的高线上同理，由 PBAC 可得 O 在 AC 边的高线上O 是ABC 的垂心(2)连接 OC，由(1)可知 OCAB.又由 PO平面 ABC 得 POAB，又 OCPOO，AB平面 PCO.又 PC 平面 PCO，ABPC.根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化3.如图，在四面体 P-ABC 中，ABC 与PBC 是边长为 2 的正三角形，PA3，D 为 PA 的中点，求二面角 D-BC-A 的大小解析：取 BC 的中点 E，连接 EA，ED，EP(图
11、略)ABC 与PBC 是边长为 2 的正三角形，BCAE，BCPE，又 AEPEE，AE，PE 平面 PAE，BC平面 PAE.而 DE 平面 PAE，所以 BCDE，AED 即为二面角 D-BC-A 的平面角又由条件，知 AEPE 32 AB 3，AD12PA32，DEPA，sinAEDADAE 32，显然AED 为锐角，AED60，即二面角D-BC-A 的大小为 60.对定理理解不透彻致误典例 设，为不重合的两个平面，给出下列说法：若 内的两条相交直线分别平行于平面，则 平行于；若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；设 和 相交于直线 l，若 内有一条直线垂直于 l，
12、则 和 垂直；直线 l 与平面 垂直的条件是 l 与 内的两条直线垂直上面说法中正确的序号是_(写出所有的正确的序号)解析 平面 内的两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面 平行于平面，正确平面 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 平行于，正确如图所示，l，a，al，但不一定有，错误直线 l 与 垂直的条件是 l 与 内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误综上所述，正确说法的序号为.答案 错因与防范 本题易错选，错选是由 al，a 错误得出 a 垂直于平面；错选是忽视了“相交直线”这一前提条件一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是
13、直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错随堂训练 1在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与 BC1 垂直的平面是()A平面 DD1C1C B平面 A1B1CDC平面 A1B1C1D1D平面 A1DB解析：由于易证 BC1B1C，又 CD平面 BCC1B1，所以 CDBC1.因为 B1CCDC，所以 BC1平面 A1B1CD.答案：B2给出以下说法：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角
14、的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()ABCD解析：由二面角的定义，可知错误，正确由 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，知 a，b 都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作 a，b 的平行线，分析知正确，故选 B.答案：B3给出下列说法：如果直线 l 与平面 不垂直，那么在 内不存在与 l 垂直的直线；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行；过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条其中正确说法的序号是_解析：错误，因为在 内至少可以找到一条直线与 l 垂直；正确；错误，因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内
15、；正确故正确说法的序号是.答案：4.如图，BCA90，PC平面 ABC，则在ABC，PAC 的边所在的直线中：(1)与 PC 垂直的直线有_；(2)与 AP 垂直的直线有_解析：(1)因为 PC平面 ABC，AB，AC，BC 平面 ABC，所以与 PC 垂直的直线有直线 AB，AC，BC.(2)BCA90，即 BCAC，又 BCPC，ACPCC，所以 BC平面 PAC，PA 平面 PAC.BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC5.如图，四边形 ABCD 是菱形，PC平面 ABCD，E 是 PA 的中点，求证：平面 BDE平面 ABCD.证明：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.因为 O 为 AC 的中点，E 为 PA 的中点，所以EO 是PAC 的中位线，EOPC.因为 PC平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD.又因为 EO 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.课时作业