1、二次函数1如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求a，b的值；（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标解：（1）二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点A（1，0），点B（3，0），解得；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，C（3，0），点P到A，B两点的距离相等，点P在抛物线的对称轴x1上，B（3，0），C（0，3），直线BC的解析式为yx+3，令x1，则y1+32，P
2、（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y（xh）2+4，新抛物线经过点P，2（1h）2+4，解得h11+，h21，新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1，4）2如图a，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B（1）求出抛物线的解析式（2）如图b，将ABC绕AB的中点M旋转180得到BAC，试判断四边形BCAC的形状并证明你的结论（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b1，c2，故：抛物线的解析式为：yx2+
3、x+2；（2）四边形BCAC为矩形抛物线yx2+x+2与x轴的另一个交点为：（1，0）由勾股定理求得：BC，AC2，又AB5，由勾股定理的逆定理可得：ABC直角三角形，故BCA90；已知，ABC绕AB的中点M旋转180o得到BAC，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BCAC，ACBC所以，四边形BCAC为平行四边形，已证BCA90，四边形BCAC为矩形；（3）存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC全等，则点D与点C关于函数对称轴对称，故：点D的坐标为（3，2）3如图，已知二次函数yx22x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点
4、C为AD的中点（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tanABQ3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得QBPCOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x1，点C为AD的中点，则点A（1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m3，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）tanABQ3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y3x（x3），联立并解得：x4或3（舍去）或2，故点Q（4，21）或（2，3）；（3）不存在，理由：QBPCOA，则QBP90当点Q（2，3）时
5、，则BQ的表达式为：y（x3），联立并解得：x3（舍去）或，故点P（，），此时BP：PQOA：OB，故点P不存在；当点Q（4，21）时，同理可得：点P（，），此时BP：PQOA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在4如图，已知二次函数yax2+4ax+c（a0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C一次函数yx+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE3：2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值解：（1）把D（0，3）代入yx+b得b3，一次函数解析式为yx3，当y0时，x30，解得x6
6、，则A（6，0），作EFx轴于F，如图，ODEF，OFOA4，E点的横坐标为4，当x4时，yx35，E点坐标为（4，5），把A（6，0），E（4，5）代入yax2+4ax+c得，解得，抛物线解析式为yx2x+；（2）作MHAD于H，作D点关于x轴的对称点D，如图，则D（0，3），在RtOAD中，AD3，MAHDAO，RtAMHRtADO，即，MHAM，MDMD，MD+MAMD+MH，当点M、H、D共线时，MD+MAMD+MHDH，此时MD+MA的值最小，DDHADO，RtDHDRtDOA，即，解得DH，MD+MA的最小值为5如图1，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（3，0）、B
7、（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：yx+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PGy轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当QACBCO时，求Q点的坐标解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3；（2）直线AD：yx+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD2；设点P（x，0），则点H（x， x+1）、点G（x，x
8、22x+3），则GHCD2，即|x+1（x22x+3）|2，解得：x或，故点P（，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线AQ交y轴于点H，过点H作HMAC交于点M，交AQ于点H，设：MHxMC，QACBCO，则tanCAH，则AM3x，故ACAM+CM4x3，解得：x，则CHx，OHOCCH，故点H（0，），同理点H（，3），由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y（x+3），同理直线AH的表达式为：y2（x+3），联立并解得：x3（舍去）或；联立并解得：x3（舍去）或1；故点Q的坐标为：（，）或（1，4）6在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yx2+bx+c的
9、图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A（1）直接写出：b的值为；c的值为2；点A的坐标为（1，0）；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上设点D的横坐标为m如图1，过点D作DMBC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；若CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标1解：（1）直线yx2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b，c2，故抛物线的表达式为：yx2x2，点A（1，0）；故答案为：，2，（1，0）；（2）如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（
10、m， m2m2），点H（m， m2），则MDHOBC，tanOBCtan，则cos；MDDHcosMDH（m2m2+m+2）（m2+4m），0，故DM有最大值；设点M、D的坐标分别为：（s， s2），（m，n），nm2m2；（）当CDM90时，如图2左图，过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，则MECDFM（AAS），MEFD，MFCE，即s22ms，ss2n，解得：s，故点M（，）；（）当MDC90时，如图2右图，同理可得：s，故点M（，）；（）当MCD90时，则直线CD的表达式为：y2x2，联立并解得：x0或1，故点D（1，0），不在线段BC的下方，舍去；综上，点M
11、坐标为：（，）或（，）7如图，抛物线ya（x1）（x3）（a0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PEBC于点E，作PFAB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由解：（1）a（x1）（x3）0，x11，x23，则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），OA1，OB3，OCAOBC，即，解得，OC；（2）在RtBOD中，点C是BD的中
12、点，BD2OC2，由勾股定理得，OD，点D的坐标为（0，）设直线BD的解析式为：ykx+b，则，解得，则直线BD的解析式为：yx，点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，），点C是BD的中点，点C的坐标为（，），a（1）（3），解得，a，抛物线的解析式：y（x1）（x3），即yx2x+2；（3）作PGOB交BD于G，tanOBD，OBD30，PFAB，PFGOBD30，PFPG，PEBC，PFPG，EPGPFG30，PEPG，PE+PFPG+PGPG，设点P的坐标为（m， m2m+2），点G的坐标为（m， m），PGm（m2m+2）m2+3m3PE+PFPG3m2+m3（m）2+，则PE+P
13、F的最大值为8已知抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OCOB（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使CBDADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D，将抛物线yax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD只有一个交点，直接写出h的取值范围解：（1）OCOB，则点C（0，3），抛物线的表达式为：ya（x+2）（x3）a（x2x6），6a3，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x3；（2）设：CDm，过点D作DHBC交BC的延长线于点H，则CHHDm，tanADCtanDBC，解得：m3或4（舍去4），故点D（0，6）
14、；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D，则D（3，3）；平移后抛物线的表达式为：yx2x3h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD有一个公共点，此时，h3；当平移后的抛物线过点D时，抛物线与线段DD有一个公共点，即39h，解得：h15，故3h159如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2的对称轴为直线l，将直线l绕着点P（0，2）顺时针旋转的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若45，求直线AB的函数表达式；（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点A的坐标（3）如图，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线lx轴，点M是直线l上一
15、点，且位于y轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与PAM相似时，求M的坐标解：（1）45，则直线的表达式为：yx+b，将（0，2）代入上式并解得：b2，故直线AB的表达式为：yx+2；（2）AP：PB2：3，设A（2a，4a2）B（3a，9a2），解得：，（舍去），；AP：PB3：2，设A（3a，9a2），B（2a，4a2），解得：，（舍去），综上或；（3）MPA45，QPB45A（1，1），B（2，4），QBP45时，此时B，Q关于y轴对称，PBQ为等腰直角三角形，M1（1，2）M2（2，2），BQP45时，此时Q（2，4）满足，左侧还有Q也满足，BQPBQP，Q，B，P，Q四点共圆，则圆心
16、为BQ中点D（0，4）；设Q（x，x2），（x0），QDBD，（x0）2+（x24）222（x24）（x23）0，x0且不与Q重合，QP2，QPDQDP2，DPQ为正三角形，则，过P作PEBQ，则，当QBPPMA时，则，故点；当QPBPMA时，则，故点；综上点M的坐标：（1，2），（2，2），10如图，RtFHG中，H90，FHx轴，0.6，则称RtFHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）已知二次函数y1ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，3），顶点为C（1，4），点D为二次函数y2a（x1m）2+0.6m4（m0）图象的顶点（1）求二次函数y1的函数关系式；（2
17、）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及FHG的面积；（3）设一次函数ymx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1a（x1）24，将E（0，3）代入得a43，解得a1，y1（x1）24x22x3；（2）设Ga，0.6（a+1），代入函数关系式，得，（a1）240.6（a+1），解得a13.6，a21（舍去），所以点G坐标为（3.6，2.76）由x22x30知x11，x23，A（1，
18、0）、B（3，0），则AH4.6，GH2.76，SFHG4.62.766.348；（3）ymx+mm（x+1），当x1时，y0，直线ymx+m过点A，延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QRx轴FHx轴，QPHQAR，PHQARQ90，AQRPHQ，0.6，设Qn，0.6（n+1），代入ymx+m中，得mn+m0.6（n+1），整理，得：m（n+1）0.6（n+1），n+10，m0.6四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DKx轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，y2（x1m）2+0.6m4，点D由点C向右平移m个单位，再向上平
19、移0.6m个单位所得，0.6，tanKSDtanQAR，KSDQAR，AQCS，即CDPQAQCS，由抛物线平移的性质可得，CTPH，DTQH，PQCD，四边形CDPQ为平行四边形11如图，点P是二次函数y+1图象上的任意一点，点B（1，0）在x轴上（1）以点P为圆心，BP长为半径作P直线l经过点C（0，2）且与x轴平行，判断P与直线l的位置关系，并说明理由若P与y轴相切，求出点P坐标；（2）P1、P2、P3是这条抛物线上的三点，若线段BP1、BP2、BP3的长满足，则称P2是P1、P3的和谐点，记做T（P1，P3）已知P1、P3的横坐标分别是2，6，直接写出T（P1，P3）的坐标（1，）解：
20、（1）P与直线相切过P作PQ直线，垂足为Q，设P（m，n）则PB2（m1）2+n2，PQ2（2n）2，即：（m1）244n，PB2（m1）2+n244n+n2（2n）2PQ2PBPQ，P与直线相切；当P与y轴相切时PDPBPQ|m|2n，即：n2m代入（m1）244n得：m26m+50或m2+2m+50解得：m11，m25P（1，1）或P（5，3）；（2），则BP2（BP1+BP2），P1、P3的横坐标分别是2，6，则点P1、P2的坐标分别为：（2，）、（6，），BP2（BP1+BP2）（+），设点P2的坐标为：（m，n），n（m1）2+1，则（m1）2+（n）2（）2，解得：m1，故点P2的
21、坐标，即T（P1，P3）的坐标为：或12如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若PCBBCO，求出P点的到y轴的距离（1）解：（1）将点A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+2，可得，；（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，
22、0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），四边形CMNB是平行四边形时，x2，；四边形CNBM时平行四边形时，x2，M（2，2）；四边形CNNB时平行四边形时，x4，；综上所述：M（2，2）或或；（3）解法一：过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点BHOCOCBHBC又OCBBCPPCBHBCHCHB又OCOBHBOB故可设H（3，m），即HBHCm过点H作HN垂直y轴于N在RtHCN中，则m232+（m2）2解得由点C、P的坐标可得，设直线CP的解析式为；故解得x10（舍去），即点P到y轴的距离是解法二、过点B作CP的垂线，垂足为M，过点M作x轴的平行线交y轴于点N，再过点B作D
23、N的垂线，垂足为D，（以下简写）可得BOCBMC得BMBC3，OCCM2设点M（m，n）得BDn，CNn2，MNm，MD3m可证BDMMNC所以得解得，则同解法一直线CP的解析式故解得x10（舍去），即点P到y轴的距离是13如图，已知抛物线yax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点（1）求直线OA及抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当PCO为等腰三角形时，求D的坐标；（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理
24、由解：（1）设直线OA的解析式为y1kx，把点A坐标（3，3）代入得：k1，直线OA的解析式为yx；再设y2ax（x4），把点A坐标（3，3）代入得：a1，函数的解析式为yx2+4x，直线OA的解析式为yx，二次函数的解析式是yx2+4x（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，m2+4m），P为直线OA上方抛物线上的一个动点，0m3此时仅有OCPC，解得，；（3）函数的解析式为yx2+4x，对称轴为x2，顶点M（2，4），设P（n，n2+4n），则Q（4n，n2+4n），M到直线PQ的距离为4（n2+4n）（n2）2，要使PQM的面积为，则，即，解得：或，或14在平面直角坐标系xOy中，抛物
25、线yx2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x3，AB4点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（1，0）；求抛物线的函数表达式；（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标解：（1）抛物线的对称轴为直线x3，AB4，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（1，0），故答案为：5；01；0；抛物线经过（5，0），（1，0），解得，则抛物线的解析式为yx26x5；（2）如图2，作PDOC于D，OCP是等腰直角三角形，P
26、DOCOD，设点P的坐标为（a，a），设抛物线的解析式为y（xa）2+a，抛物线经过原点，（0a）2+a0，解得，a10（不合题意），a21，OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为（1，1）15在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点为A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标解：（1）二次函数过A（3，0），B（1，0）两点，设二次函数解析式为ya（x+3）（x1），二次函数过C点（0，3），3a（0+3）（01），解得，a1，y（x+3）（x1）x2+2x3即二次函数解析式为yx2+2x3；（2）设直线AC解析式为：ykx+b，A（3，0），C（0，3），解得，直线AC的解析式为yx3，过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为（x，x2+2x3），则G（x，x3），点P在第三象限，PGx3（x2+2x3）x3x22x+3x23x，当时，点P（，），即S的最大值是，此时点P的坐标是（，）
