1、专题五立体几何第一讲 空间几何体1空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图和俯视图2在三视图中，正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽1多面体的表面积多面体的表面积为各个面的面积之和2旋转体的表面积(1)圆柱的表面积S2r(rL)；(2)圆锥的表面积Sr(rL)；(3)圆台的表面积S(r2r2rLrL)；(4)球的表面积S4R23体积公式(1)柱体的体积VSh(2)锥体的体积VSh(3)台体的体积V(SS)h(4)球的体积VR3判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都
2、是三角形的几何体是棱锥()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)圆柱的侧面展开图是矩形()(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算()1(2015新课标卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放
3、的米约有(B)A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析：设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr255(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)故选B.2(2015北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(C) A2 B4C22 D5解析：作出三棱锥的示意图如图，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥SABC中，SC底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，ADBD1，斜高SD，ACBC. S表SABCSSACSSBCSSAB2211222.3(2014全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4
4、，底面边长为2，则该球的表面积是(A)A. B16 C9 D.解析：由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为E，则OE垂直棱锥底面，OE4R，所以(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面积S4R2.4(2015安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(B)A1 B2C12 D2解析：根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积2212()22.故选B.一、选择题1(2014浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(D)A. 90 cm2 B. 12
5、9 cm2C. 132 cm2 D. 138 cm2解析：由三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为S24623436333435234138.故选D.2(2014福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(A)A2 B C2 D1解析：由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为1，所以圆柱的侧面积为2.故选A.3(2015新课标卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(C)A36 B64 C144 D256解析：如图，设球的半径为R， AOB90， SAOBR2. VO
6、ABCVCAOB，而AOB面积为定值， 当点C到平面AOB的距离最大时，VO ABC最大， 当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO ABC最大为R2R36， R6， 球O的表面积为4R2462144.故选C.4(2015福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(D)A82 B112C142 D15解析：由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，所以该几何体的表面积为823112.5. (2015新课标卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成
7、一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r(B)A1 B2 C4 D8解析：如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620， (54)r21620， r24，r2，故选B.二、填空题6已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为127如图所示的两组立体图形，都是由相同的小正方体拼成的(1)图的正(主)视图与图的俯视图相同(2)图的正(主)视图与图的正(主)视图不同解析：对第一组的两个立体图形，图的正(主)视图与图的俯视图相同对第二组的两个立体图
8、形，图的正(主)视图与图的正(主)视图不同，而侧(左)视图和俯视图都是相同的8. (2014天津卷)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为m3.解析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为124222(m3)三、解答题9一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论解析：(1)几何体的直观图如下图所示：四边形BB1C1C是矩
9、形，BB1CC1，BC1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，其体积V1.(2)ACB90，BCAC.三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1.ACCC1C，BC平面ACC1A1.BCA1C.B1C1BC，B1C1A1C.四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1.(3)当E 为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，EFAB1.AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.FDB1C1，B1C1平面AB1C1，FD平面A
10、B1C1，FD平面AB1C1，又EFFDF，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.10如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解析：(1)由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.