1、2020年高考数学一模试卷一、选择题1已知集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则AB（）A2，3，4B2，4，5C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D2，42i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3双曲线1（a0）的一条渐进线与直线yx垂直，则a的值为（）A5B25CD14已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A若，m，则lmB若，m，则lmC若1m，则mD若lm，m，则5对于非零向量、，“2”是“，共线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知函数f（x
2、）为定义在3，3的奇函数，且f（2）f（1）f（3）0，则下列各式一定正确的是（）Af（1）f（log2）f（0）f（log9）Bf（log9）+f（1）f（log2）+f（0）Cf（log9）+f（1）f（1）f（log28）Df（log 9）+f（1）f（log2）+f（0）7三角形ABC中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，A，b3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（）ABC7D498已知实数a、b，ab0，则的最大值为（）ABCD69已知函数f（x）sin（4x）（x0，），函数g（x）f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A，B，C0，）D，）
3、二、填空题10在（）5的展开式中，xy3的系数是 11已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离 12已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为 14已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则 ，若线段BC上一点D，BDDC， 15函数f（x）x，g（x）x2x+3，若存在x1，x2，xn0，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则n的最大值为
4、三、解答题16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等比数列，bnan+cn，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn17“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：（2）李军抽
5、取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；（3）若PA2，线段PC上是否存在一点F，使AF平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由19已知椭圆1（ab0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，BFC120（1）求椭圆离心率；（2）点F到直线
6、BC的距离为，求椭圆方程；（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明20已知函数f（x）x2x+klnx，k0（1）函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为2，求k的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）f（x2）|2k参考答案一.选择题1已知集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则AB（）A2，3，4B2，4，5C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D2，4【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可解：集合A
7、2，3，4，4，5，Bx|x1|（+1，+1）AB2，4，故选：D2i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】设Zx+yi，（x，yR）由2Z+|Z|2i，可得2（x+yi）2i，可得：2x0，2y2，解出即可得出解：设Zx+yi，（x，yR）2Z+|Z|2i，2（x+yi）2i，可得：2x0，2y2，解得y1，x复数Z在复平面的坐标为（，1）在第二象限故选：B3双曲线1（a0）的一条渐进线与直线yx垂直，则a的值为（）A5B25CD1【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a0，进而可得其渐近线的方程；再求得直
8、线yx的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可解：根据题意，双曲线1（a0）的一条渐进线为yx；直线yx的斜率为，双曲线1（a0）的一条渐进线与直线yx垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为；即 a5，故选：A4已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A若，m，则lmB若，m，则lmC若1m，则mD若lm，m，则【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案解：对于A，若，m，则lm或l与m异面，故A错误；对于B，若，m，则m，又l，则lm，故B正确；对于C，若1m，则m或m，故C错误；对于D，若lm，m，则或与相交，故D错误故选：B5对于非
9、零向量、，“2”是“，共线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】对于非零向量、，“2”“，共线”，反之不一定成立，可举例说明解：对于非零向量、，“2”“，共线”，反之不一定成立，可能：2等“2”是“，共线”的充分不必要条件故选：B6已知函数f（x）为定义在3，3的奇函数，且f（2）f（1）f（3）0，则下列各式一定正确的是（）Af（1）f（log2）f（0）f（log9）Bf（log9）+f（1）f（log2）+f（0）Cf（log9）+f（1）f（1）f（log28）Df（log 9）+f（1）f（log2）+f（0）【分析】根据题意，由奇函数的性质
10、可得f（0）0，据此结合不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案解：根据题意，函数f（x）为定义在3，3的奇函数，则有f（0）0，据此分析选项：对于A，f（1）f（log2）f（0）f（log9），即f（1）f（3）f（0）f（2），变形可得f（1）+f（3）f（2），不一定正确；对于B，f（log9）+f（1）f（log2）+f（0），即f（2）+f（1）f（3）+f（0），变形可得f（2）+f（1）f（3），不正确；对于C，f（log9）+f（1）f（1）f（log28），即f（2）+f（1）f（1）f（3），变形可得f（2）2f（1）+f（3）0，不一定正确；对于D，f（log 9）+f
11、（1）f（log2）+f（0），即f（2）+f（1）f（3），变形可得f（2）+f（1）f（3），又由f（2）f（1）f（3）0，则必有f（2）+f（1）f（3），故D一定正确；故选：D7三角形ABC中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，A，b3，三角形ABC的面积为，则边a的值为（）ABC7D49【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求a的值解：A，b3，三角形ABC的面积为bcsinA，解得：c5，由余弦定理可得：a7故选：C8已知实数a、b，ab0，则的最大值为（）ABCD6【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果解：由于a2+b22a
12、b0，所以，故：，（当且仅当ab时，等号成立）故选：A9已知函数f（x）sin（4x）（x0，），函数g（x）f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A，B，C0，）D，）【分析】根据题意画出函数f（x）的图象，函数g（x）f（x）+a有三个零点，等价于函数yf（x）与函数ya有三个交点，利用数形结合法即可求出x1+x2+x3的取值范围解：根据题意画出函数f（x）的图象，如图所示：，函数g（x）f（x）+a有三个零点，等价于函数yf（x）与函数ya有三个交点，当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意，由图象可知：，所以，故选：D二、填空题10在（）5的展
13、开式中，xy3的系数是【分析】写出二项展开式的通项，得到r值，则答案可求解：（）5的展开式的通项为取r3，可得（）5的展开式xy3的系数为故答案为：11已知抛物线的焦点为F（0，），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离1【分析】先通过焦点坐标，求出p和抛物线的方程，再把点P的坐标代入，可求得t，然后利用抛物线的定义即可得解解：设抛物线的方程为x22py（p0），抛物线的焦点为F（0，），p1，抛物线的方程为x22y，把点P（1，t）代入x22y，得12t，t，由抛物线的定义可知，点P到F的距离为故答案为：112已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的
14、点最小距离为【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f0，圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），求得，故圆的方程为 x2+y2+2x4y0，即 （x+1）2+（y2）25，表示圆心为（1，2）、半径为的圆|DO|2，故点D（3，4）到圆O上的点最小距离为2，故答案为：13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为6【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，而球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心
15、的长方体的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球O的半径，进而求出球O的表面积解：设正四棱锥的底面边长为a，则高也是a，所以正四棱锥的体积为：，解得：a2，设底面中心为点O，则O为球心，易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，如图所示：，因为球O经过四棱锥四条侧棱中点，所以球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，显然长方体的高为2，所以球O的半径R，所以球O的表面积为：4R246，故答案为：614已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则，若线段BC上一点D，BDDC，【分析】先根据正弦定理求得半径R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求得第二个
16、空解：因为ABC是半径为R的O的内接正三角形所以2R，解得R显然OBC是等腰三角形，且OBOCR，BOC120R2cos120，线段BC上一点D，BDDC，（）（）（）（）（）（2222cos6022）；故答案为：，15函数f（x）x，g（x）x2x+3，若存在x1，x2，xn0，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则n的最大值为8【分析】因为f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2有解，又
17、左边的最小值为2（n1），右边的最大值为，所以2（n1）且n为正整数，从而可得n的最大值为8解：因为f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2有解，（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+22（n1），（xn1）2+2，根据题意得2（n1）且n为正整数，n，n的最大值为8，故答案为：8三、解答题16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等比数列，bnan+cn，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求
18、数列cn的前n项和Sn【分析】（1）设等差数列的公差为d，d0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到an；再由b1a1+c1，可得bn的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进而得到bn；（2）求得cnbnan2n（2n1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和解：（1）递增等差数列an的公差设为d，d0，a1、a2、a5成等比数列，可得a22a1a5，即（a1+d）2a1（a1+4d），即为（1+d）21+4d，解得d2（0舍去），则an2n1，nN*；等比数列bn的公比设为q，b1a1+c12，bn2qn1，b4a4+c416，即有q38，解得q2，则
19、bn2n，nN*；（2）cnbnan2n（2n1），前n项和Snc1+c2+cn（2+22+2n）1+3+（2n1）（1+2n1）n2n+12n217“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才50
20、0元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？【分析】（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，利用古典概型概率计算公式能求出周五采访学历型人才不超过2人的概率（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为400，500，600，x，分别求出相应的概率，进而求出E（）484.6+0.018x，由484.6+0.018x500，能求出结果解：（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，则周五采访学历型人才不
21、超过2人的概率为：P（A）（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为400，500，600，x，P（400）25.5%0.255，P（500）53.6%0.536，P（600）19.1%0.191，P（x）1.8%0.018，E（）4000.255+5000.536+6000.191+0.018x484.6+0.018x，484.6+0.018x500，解得x855.56，创业急需型人才最少需要855.56元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方
22、形ABCD边长为2，E是PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度；（3）若PA2，线段PC上是否存在一点F，使AF平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz设PAa（a0），求出平面BDE的一个法向量为与的坐标，利用，结合PC平面BDE，可得PC平面BDE；（2）设平面PCD的法向量为，求出及，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得a值，可得PA的长度是2或4；（3）由PA2，得P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF平面BDE，
23、且，得到F（22，22，2），再由与共线求得，得到的坐标，则|PF|可求【解答】（1）证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz设PAa（a0）则A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0），P（a，2，0），E（），设平面BDE的一个法向量为，由，取y11，得，又PC平面BDE，PC平面BDE；（2）证明：设平面PCD的法向量为，由，令x22，得，由题意，|cos|，解得a2或4，PA的长度是2或4；（3）解：PA2，P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF平面BDE，且，由，得F（22，22，2），又，由，
24、解得|PF|19已知椭圆1（ab0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，BFC120（1）求椭圆离心率；（2）点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明【分析】（1）根据BFC120可知，OFC60，再结合锐角三角函数即可求得离心率；（2）由（1）的结论，先导出b与c的关系，确定B和C的坐标后，写出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式可建立a与c的等量关系，再结合a2c，即可求得a、b、c的值，于是得解；（3）直线AP的斜率一定存在，设其方
25、程为yk（x+2）（k0），点P的坐标为（xP，yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点P的坐标；把x2代入直线AP方程可求出点D的坐标，从而得到以BD为直径的圆的圆心E的坐标；然后分PFx轴和PF不垂直x轴两个类别讨论圆E与直线PF的位置关系即可解：（1）BFC120，OFC60，即故椭圆的离心率为（2）由（1）可知，a2c，B（a，0），C（0，b），直线BC的方程为，点F到直线BC的距离，即ac1，a2，c1，b，故椭圆的方程为（3）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：直线AP的斜率一定存在，设其方程为yk（x+2）（k0），点P的坐标为（xP，yP），联立得，（4k2+
26、3）x2+16k2x+16k2120，即，把x2代入yk（x+2）得，y4k，点D（2，4k），以BD为直径的圆的圆心E的坐标为（2，2k），当PFx轴，即时，点P（），直线PF方程为x1，圆心E（2，1），半径为1，圆E与直线PF相切；当PF不垂直x轴，即时，直线PF方程为，点E到直线PF的距离，为圆E的半径，圆E与直线PF相切综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切20已知函数f（x）x2x+klnx，k0（1）函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为2，求k的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）f（x2
27、）|2k【分析】（1）直接令x1处的导数值为2即可；（2）讨论导数的零点存在情况及大小情况，确定导数的在每个区间上的符号，从而确定原函数的单调性；（3）利用极值点满足的韦达定理，将f（x1）f（x2）转化为关于的函数，然后再结合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题解：（1），f（1）1+k2，k1（2）令f（x）0得：2x2x+k0，18k当时，0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；当时，0，故x1，x20，可知：f（x）在上递增；在上递减（3）证明：由（2）知，f（x2）f（x1）所以f（x1）f（x2）（x1x2）（x1+x21）+kln，令则，只需证明即证：g（t）又，且1t21（18k）8k，g（t）在（0，1）上递增，所以g（t）g（0）0，得证