1、立体几何中的向量方法 直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角1空间角及向量求法角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos|cosa，b|ab|a|b|(0，2 例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.1010BCAMxzyB1C1D1A1CDA B10103C510D3015 解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则 M(1,0,0),C(2,2,0),B
2、1(2,0,2),D(0,2,0),于是,cos=)0,2,1(CM)2,2,2(1DBCM1DB30153452444041042练习E1D1C1B1A1CBA斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影AOB当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则sin|cosa，n|an|a|n|0，2(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量 AB；(3)求平面的法向量 n；(4)计算：设线面角为，则 sin|n AB|n
3、|AB|.步骤：例2：正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO2 解:建立如图示的直角坐标系,则 A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由得 取y=,得n=(3,0)而 212322121)2,0,0(),0,23,21(1 AAAB02002321zyx03zyx33)2,0,1(1AC2133231*201039|003|,cos|sin221ACn.30C1A1B1CAOBxyz答案：C从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的
4、棱从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，O这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（3）二面角 设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2角的分类向量求法范围二面角设二面角 l 的平面角为，平面、的法向量为
5、n1，n2，则|cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|0，例3：在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BzxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为.)0,1,1(),1,1,1(CDSC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,666100
6、14111,coscos21nn66arccos如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值练习3：21ADSBACDzxyABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,0),(0,1)22CDSDC(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：0202yxyz 22yxyz 2(1,2,1)n 任取ADBCSababocosnm,cosnmababo
7、nmcosnm,cosmnnm课堂小结1.异面直线所成角：cos|cos,|a b2.直线与平面所成角：sincos,n AB|ABOnn3.二面角：ll1n1n2n2ncos 12cos,n ncos 12cos,n n4、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）1.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 A
8、BCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1夹角的余弦值为()A.55 B.53C.2 55D.35链接高考解析：设 CB1，则 A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，1BC(0,2，1)，1AB(2,2,1).cos1BC，1AB 1BC 1AB|1BC|1AB|353 55.答案：A2.(新课标全国卷)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC12AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角 A1BDC1 的大小.解：(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于 D 为 AA1 的中点，故
9、DCDC1.又 AC12AA1，可得 DC21DC2CC21，所以 DC1DC.而 DC1BD，DCBDD，所以 DC1平面 BCD.BC平面 BCD，故 DC1BC.(2)由(1)知 BCDC1，且 BCCC1，则 BC平面 ACC1，所以 CA，CB，CC1 两两相互垂直.以 C 为坐标原点，CA的方向为 x 轴的正方向，|CA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.由题意知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2).则1A D(0,0，1)，BD(1，1,1)，1DC(1,0,1).设 n(x，y，z)是平面 A1B1BD 的法向量，则n BD0，n1A D0，即xyz0，z0.可取 n(1,1,0).同理，设 m 是平面 C 1BD 的法向量，则m BD0，m1DC 0.可取m(1,2,1).从而 cos nm|n|m|32.故二面角 A1BDC1 的大小为 30.作业布置：见学案