1、第2课时 空间图形的公理4和等角定理考 纲 定 位重 难 突 破1.了解公理 4 及等角定理2.会用公理 4 和等角定理进行简单的推理论证3.了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角.重点：公理 4 和等角定理的应用难点：异面直线所成的角的定义及求法疑点：异面直线所成角的范围易出错.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理一、公理 4文字语言图形表示符号语言平行于同一条直线的两条直线若 ab，bc，则 平行ac二、等角定理空间中，如果两个角的两条边分别，那么这两个角三、异面直线所成的角 1定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线
2、 l1a，l2b，我们把 l1与 l2 所成的(或)叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)2范围：.3当 时，a 与 b 互相垂直，记作 .对应平行相等或互补锐角直角09090 ab双基自测1两条异面直线是指()A分别位于两个不同平面的直线B空间内不相交的直线C某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线D空间两条既不平行也不相交的直线解析：根据异面直线的定义可知 D 正确答案：D2空间两个角，的两边分别对应平行且方向相同，若 50，则 等于()A50 B130C40 D50或 130解析：由等角定理可以判断 与 相等，50，选 A.答案：A3如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中
3、，判断下列直线的位置关系：(1)直线 A1B 与 D1C 的位置关系是_；(2)直线 A1B 与 B1C 的位置关系是_；(3)直线 D1D 与 D1C 的位置关系是_；(4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是_答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面4如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 AB1与 BC1 所成角为_度解析：连接 AD1，B1D1，AB 綊 D1C1，AD1BC1，则D1AB1即为异面直线 AB1与 BC1 所成的角，由题意知，AB1B1D1AD1，即AB1D1 为等边三角形，所以D1AB160.答案：60探究一 公理 4 的应用典例 1 如图，已知 E，
4、F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：ACBD.解析(1)如题图，在ABD 中，EH 是ABD 的中位线，EHBD，EH12BD.又 FG 是CBD 的中位线，FGBD，FG12BD，FGEH，E，F，G，H 四点共面，又 FGEH，四边形 EFGH 是平行四边形(2)由(1)知 EHBD，同理 ACGH.又四边形 EFGH 是矩形，EHGH，ACBD.空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等(2)利用
5、公理 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行1.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，M，N 分别为CD，AD 的中点求证：四边形 MNAC是梯形证明：连接 AC.M，N 为 CD，AD 的中点，MN 綊12AC.由正方体性质可知 AC 綊 AC，MN 綊12AC.四边形 MNAC是梯形探究二 等角定理的应用典例 2 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，M1分别是棱 AD和 A1D1 的中点求证：(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形；(2)BMCB1M1C1.证明(1)在正方形 ADD1A1中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，MM1AA1，MM1AA1
6、，又AA1BB1，AA1BB1，MM1BB1，且 MM1BB1.四边形 BB1M1M 为平行四边形(2)证法一 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC 和B1M1C1 都是锐角，BMCB1M1C1.证法二 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.1要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可2空间中证明两个角相等，可
7、以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系2空间中角 A 的两边和角 B 的两边分别平行，若A70，则B_.解析：由于角 A 的两边和角 B 的两边分别平行，所以有AB 或AB180.因为A70，所以B70或B110.答案：70或 110探究三 求两异面直线所成的角典例 3 如图，正方体 AC1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点，求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小 解析 解法一(直接平移法)如图，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取 DD1的中点 G，连接 OG.则 OGB1D
8、，EFA1C1，GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角GA1GC1，O 为 A1C1 的中点，GOA1C1.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.解法二(中位线平移法)如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接HE，则 HEDB1 且 HE12DB1.于是HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角连接 HF，设正方体的棱长为 1，则 EF 22，HE 32，取 A1D1 的中点 I，连接 IF，HI，则 HIIF.HF2HI2IF254.HF2EF2HE2.HEF90.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.1求两条异面直线所成的角，一般是
9、根据其定义求解，步骤如下：(1)平移；(2)构造三角形；(3)解三角形；(4)作答2在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时，一般是选取其中一条直线上的特殊点，诸如：顶点、棱的中点等3.如图，在长方体 ABCD-ABCD中，AB2 3，AD2 3，AA2.求：(1)BC 和 AC所成角的大小；(2)AA和 BC所成角的大小解析：(1)因为 BCBC，所以BCA就是 AC与 BC 所成的角在 RtABC中，AB2 3，BC2 3，所以BCA45，即 BC 和 AC所成角的大小为 45.(2)因为 AABB，所以BBC就是 AA和 BC所成的角在 RtBBC中，BCAD2 3，BBAA2，所以
10、BBC60，即 AA和 BC所成角的大小为 60.求异面直线上两点间的距离典例(本题满分 12 分)四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点若 BD，AC所成的角为 60，且 BDAC1.求 EF 的长度规范解答 如图，取 BC 的中点 O，连接 OE，OF，因为 OEAC，OFBD，所以 OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角，而AC，BD 所成的角为 60，4 分所以EOF60或EOF120.6 分当 EOF60时，EFOEOF12.9 分当EOF120时，取 EF 的中点 M，则 OMEF，EF2EM2 34 32.12 分规范与警示(1)解题
11、时，首先在处利用中位线作出异面直线 AC 和 BD 所成的角是关键，也是失分点(2)在处，因为作出的EOF 不一定就是 60，也可能是 120，此处容易出错，造成后面解答不全面，而出现漏解，失分点(3)求异面直线上两点间的距离，其重点还是在考查对异面直线所成角的理解和应用，其步骤是：一、作图；二、确定三角形中的已知条件；三、解三角形，求出长度随堂训练 1空间两条不同的直线 a，b 与直线 l 都成异面直线，则 a，b 的位置关系是()A平行或相交 B异面或平行C异面或相交D平行或异面或相交解析：直线 a，b 与直线 l 都成异面直线，a 与 b 之间并没有任何限制，所以直线 a 与 b 平行或
12、异面或相交，故选 D.答案：D2在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是平面 AA1D1D、平面 CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段 AB，BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是()A相交 B异面C平行D垂直解析：连接 AD1，CD1，AC(图略)，则 E，F 分别为 AD1，CD1 的中点由三角形的中位线定理，知 EFAC，GHAC，所以 EFGH，故选 C.答案：C3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为()A30 B45C60 D90解析：CC1BB1，A1BB1 即为 BA1 与 CC1 所成的角A1BB
13、145，BA1与 CC1 所成的角为 45.答案：B4如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个说法：BM 与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；CN 与 BM 成 60角；DM 与 BN 垂直其中正确的是_解析：如图，BM 与 ED 垂直，故不正确；CNBE，故不正确；CNBE，而EBM 是正三角形，EBM60，CN 与 BM 成 60角，故正确；BN 在平面 DCMN 的射影 CN与 DM 垂直，DM 与 BN 垂直，故正确答案：5在三棱锥 A-BCD 中，E、F、G 分别是棱 AB、AC、AD 的中点，求证：EFG BCD.证明：EF 是ABC 的中位线，EFBC.同理，GFDC.又EFG 与BCD 的方向相同，EFGBCD.同理，EGFBDC.EFG BCD.课时作业
