1、5 平行关系51 平行关系的判定考 纲 定 位重 难 突 破1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.重点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的理解、应用难点：线线平行、线面平行、面面平行的转化方法：平行关系中的分类讨论思想.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、直线与平面的位置关系一条直线与一个平面有三种位置关系(1)直线 a 在平面 内，
2、记作；(2)直线 a 与平面 相交于点 A，记作 ；(3)直线 a 与平面 平行，记作 .a aAa二、直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理 定理表示 线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字语言若一条直线与此的，则该直线与此平面平行一个平面内的直线与另一个平面平行，则这两个平面平行平面外平面内一条直线平行两条相交 定理表示 线面平行的判定定理面面平行的判定定理符号语言a aa b ab图形表示b ababA双基自测1下列选项中，一定能得出直线 m 与平面 平行的是()A直线 m 在平面 外B直线 m 与平面 内的两条直线平行C平面 外的直线 m 与平面 内的一条直线平行D直线
3、m 与平面 内的一条直线平行解析：选项 A 不符合题意，是因为直线 m 在平面 外也包括直线与平面相交；选项 B与 D 不符合题意，是因为缺少条件 m；选项 C 中，由直线与平面平行的判定定理，知直线 m 与平面 平行，故选项 C 符合题意答案：C2直线 a平面，直线 b平面，则 a 与 b 的位置关系()A平行 B相交C异面D不能确定解析：直线 a 与直线 b 可能平行、相交或异面答案：D3如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A平面 BME平面 ACNBAFCNCBM平面 EFDDBE 与 AN 相交解析：作出此正方体易知 ANBM，ACEM，且 ANACA，可得
4、平面 ACN平面 BEM.答案：A4如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 B1O 和C1O 的中点，长方体的各面中与 EF 平行的有_个解析：与 EF 平行的面有面 AC，面 BC1，面 AD1.答案：35在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1C，B1C1，C1D1 的中点，则平面 MNP 与平面 A1BD 的位置关系是_解析：NPB1D1，且 BDB1D1，NPBD.NP面 A1BD，NP面 A1BD，同理 MN面 A1BD.又PNMNN，平面 MNP平面 A1DB.答案：平行探究一 直线与平面平行的判定典例 1 如图，在四棱锥 S-AB
5、CD 中，底面 ABCD 为正方形，E，F分别为 AB，SC 的中点求证：EF平面 SAD.证明 取 SD 的中点 G，连接 GF，AG.又F 为 SC 的中点GF 为SDC 的中位线GF 綊12DC.又 E 为 AB 的中点且底面 ABCD 为正方形AE 綊12CD.GF 綊 AE.四边形 AEFG 为平行四边形EFAG.又 AG 平面 SAD，EF平面 SAD，EF平面 SAD.线面平行的判定方法(1)利用定义，证线面无公共点(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决问题的关键1已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱，D 是 AC 的中点求
6、证：AB1平面 DBC1.证明：A1B1C1-ABC 是正三棱柱，四边形 B1BCC1是矩形连接 B1C 交 BC1于点 E，则 B1EEC，连接 DE.如图所示，在AB1C 中，ADDC，DEAB1.又 AB1平面 DBC1，DE 平面 DBC1，AB1平面 DBC1.探究二 面面平行的判定典例 2 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点，求证：平面 AMN平面 EFDB.证明 连接 MF.M，F 分别是 A1B1，C1D1 的中点，且四边形 A1B1C1D1为正方形，MF 綊 A1D1.又 A1D1 綊 AD
7、，MF 綊 AD，四边形 ADFM 是平行四边形，AMDF.又AM平面 EFDB，DF平面 EFDB.AM平面 EFDB.同理可得 AN平面 EFDB.AM，AN平面 AMN，且 AMANA，平面 AMN平面 EFDB.平面平行的判定方法(1)利用定义，证面面无公共点(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面2如图(甲)，在直角梯形 ABED 中，ABDE，ABBE，ABCD，F，H，G 分别为 AC，AD，DE 的中点，现将ACD 沿 CD 折起，如图(乙)求证：平面 FHG平面 ABE.证明：F，H，G 分别为 AC，AD，DE 的中点，
8、FHCD，HGAE.又 ABCD，ABBE，CDBE，FHBE.BE 平面 ABE，FH 平面 ABE，FH平面 ABE.AE 平面 ABE，HG 平面 ABE，HG平面 ABE.又 FHHGH，平面 FHG平面 ABE.探究三 平行关系的综合应用典例 3 如图，B 为ACD 所在平面外一点，M，N，G 分别为ABC，ABD，BCD 的重心(1)求证：平面 MNG平面 ACD；(2)求 SMNGSADC.解析(1)证明：如图，连接 BM，BN，BG 并延长，分别交 AC，AD，CD 于 P，F，H.M，N，G 分别为ABC，ABD，BCD 的重心，则有BMMPBNNFBGGH2.连接 PF，F
9、H，PH，有 MNPF，又 PF 平面 ACD，MN 平面 ACD，MN平面 ACD.同理 MG平面 ACD，又 MGMNM.平面 MNG平面 ACD.(2)由(1)可知MGPHBGBH23，MG23PH.又 PH12AD，MG13AD.同理 NG13AC，MN13CD.MNG ACD，其相似比为 13.SMNGSADC19.证明面面平行可转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行线线、线面、面面间的这种相互转化，可以帮助我们找到解题的突破口，同时也是证明平行问题的常用方法3.如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱PAAB，在侧面 PBC 内，有 PBBC，BEPC
10、于点 E，且 BE 63 a.在线段 AB 上是否存在一点 F，使 EF平面 PAD？若存在，求出AFAB的值；若不存在，请说明理由解析：存在满足条件的点 F.在平面 PCD 内，过点 E 作 EGCD 交 PD 于点 G，连接 AG，在 AB 上取点 F，使 AFEG(图略)EGCDAF，EGAF，四边形 FEGA 为平行四边形，FEAG.又 AG 平面 PAD，PE 平面 PAD，EF平面 PAD，F 即为所求的点PBBC，PAAB，PC2BC2PB2BC2AB2PA2，设 PAx，则 PC 2a2x2，由 PBBCBEPC，得 a2x2a 2a2x2 63 a，xa，即 PAa，PC 3
11、a.又 CEa2 63 a2 33 a，PEPC23，GECDPEPC23，即 GE23CD23a，AF23a，即AFAB23.线面平行、面面平行判定中的探索问题典例(本题满分 12 分)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?规范解答 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.1 分因为 Q 为 CC1 的中点，P 为 D1D 的中点，所以 PQDC，2 分又 DCAB，所以 PQAB，且 PQAB.所以四边形 ABQP 为平行四
12、边形，4 分所以 QBPA.又 PA 平面 PAO，QB 平面 PAO，所以 BQ平面 PAO.7 分连接 BD(图略)，则 OBD，又 O 为 DB 的中点，P 为 D1D 的中点，所以 POD1B.9 分又 PO 平面 PAO，D1B 平面 PAO，所以 D1B平面 PAO.11 分又 D1BBQB，所以平面 D1BQ平面 PAO.12 分规范与警示 由 P 是 DD1 的中点，探索知 Q 是 CC1 中点，此为解题关键点利用平行四边形找出两平面中一组直线平行，注意证明过程要严谨由三角形中位线证明两平面中另一组直线平行，切记面面平行的两线一定是相交直线探索型问题是具有开放性和发散性的问题，
13、此类题目的条件或结论不完备，需要自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论常见的有以下两类：a条件探索型：条件探索型问题是针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断b结论探索型：结论探索型是先探索结论然后再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳，进行猜测，得出结论，再就一般情况去验证结论随堂训练 1下列命题中正确的是()若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行A BCD解析：中两个平面还可以相交
14、，故错误；由两个平面平行的定义，知正确故选 D.答案：D2若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A一定平行B一定相交C平行或相交D以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交答案：C3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E，F 分别为棱 PB，PC 的中点，则 EF 与平面 PAD 的位置关系为_解析：由于 E，F 分别是 PB，PC 的中点，所以 EFBC.又因为 ADBC，所以 EFAD.而 EF 平面 PAD，AD 平面 PAD，故 EF平面 PAD.答案：EF
15、平面 PAD4在六棱柱的表面中，互相平行的面最多有_对解析：画出图形(图略)观察可得答案：45.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，S 是 B1D1的中点，E，F，G分别是 BC，DC，SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明：(1)如图，连接 SB，E，G 分别是 BC，SC 的中点，EGSB.又SB 平面 BDD1B1，EG 平面 BDD1B1，直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，F，G 分别是 DC，SC 的中点，FGSD.又SD 平面 BDD1B1，FG 平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，且 EG 平面 EFG，FG 平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1.课时作业
