1、21空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面平面导入新知1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图所示(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图所示3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.化解疑难几何中的平面有以下几个特点(1)平面是平的(2)平面是没有厚度的(3)平面是无限延展而没有边界的平面的基本性质导入新知平面的基本性质公理内容图形符号公理
2、1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl化解疑难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1如
3、右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点M与平面AC.(4)点A1与平面AC.(5)直线AB与直线BC.(6)直线AB与平面AC.(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的
4、图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图所示；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图所示；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图所示点、线共面问题例2证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内法一：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C
5、.又Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内法二：(辅助平面法)l1l2A，l1，l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”活学
6、活用下列说法正确的是()任意3点确定一个平面；圆上的3点确定一个平面；任意4点确定一个平面；两条平行线确定一个平面ABCD答案：C共线问题例3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如右图所示求证：P，Q，R 3点共线证明法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R 3点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点
7、共线类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上活学活用如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1 3点共线证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三点共
8、线2.证明三线共点问题典例(12分)如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD交于一点解题流程活学活用如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.点P在直线BD上.一、选择题1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl
9、，lDAl，l答案：B2下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面答案：D3空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是()A1B2C3D1或3答案：D4下列推断中，错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，重合答案：C5在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上DM既不在直线AC上，也不在直线BD上答案
10、：A二、填空题6线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_答案：直线AB平面7把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，abcO_.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8平面平面l，点A，B，点C平面且Cl，ABlR，设过点A，B，C 3点的平面为平面，则_.答案：CR三、解答题9求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面解：已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：如图所示，因为ab，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为.因为laA，lbB，所以A
11、a，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面10已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 4点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线证明：如图(1)连接B1D1，EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD确
12、定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ.故P，Q，R 3点共线21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系导入新知1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法：2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点化解疑难1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注
13、意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线例如，如右图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线2空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线平行公理及等角定理导入新知1平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
14、3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.化解疑难对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补两直线位置关系的判定例1如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线
15、A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_. 答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如右图)活学活用如右图所示，正方体ABCDA1B1C
16、1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由：M，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1DC1C，A1AC1C.四边形A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC.A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1，BC 平面CC1D1.而BC平面CC1D1，BC平面CC1D1，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线平行公理及等角定理
17、的应用例2如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，MM1AA1.又AA1BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线定理、平行四边形性
18、质等(3)公理4.2空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点求证：BFED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.F为CC1的中点，BGC1F.四边形BGC1F为平行四边形BFGC1.又EGA1B1，A1B1C1D1，EGD1C1，四边形EGC1D1为平行四边形，ED1GC1，BFED1.两异面直线所成的角例3如右图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D
19、1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小解取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角(2)证：证明作出的角就是要求的角
20、(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值范围是090.活学活用已知ABCDA1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小解：如右图所示，连接A1D和C1D.B1CA1D，DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，A1DA1C1C1D，A1C1D为等边三角形即C1A1D60.异面直线A1C1与B1C所成的角为60.2.探究空间中四边形的形状问题典例在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明如右图所示，连接
21、BD.因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD.同理，FGBD，且FGBD.因此EHFG.又EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EHBD，同理EFAC，又BDAC，因此EHEF，所以四边形EFGH为矩形2菱形的判断本例中，若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题知EHBD，且EHBD，同理EFAC，且EFAC.又ACBD，所以EHEF.又四边形EFGH为平行四边形，所以四边形EFGH为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ACBD，且ACBD”，则四边形EFGH是
22、什么形状？证明：由探究1与2可知，四边形EFGH为正方形4梯形的判断若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CFFBCGGD12，则四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知EH是ABD的中位线，则EHBD且EHBD.又，FGBD，FGBD，FGEH且FGEH，四边形EFGH是梯形方法感悟根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法一、选择题1若a，b，c是空间3条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是()A异面B相交C平行D异面或相交答案：D2.如
23、右图所示，在三棱锥SMNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或异面答案：A3如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直答案：D4下列命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行其中正确的结论有()A1个B2个C3个D4个答案：B5
24、若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B二、填空题6直线a，b平面，且a，b成的角为40，经过外一点A与a，b都成30角的直线有且只有_条答案：27已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为_答案：8如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_答案：三、解答题9.如右图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1A
25、BCD的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.E是AA1的中点，EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，EQB1C1(平行公理)四边形EQC1B1为平行四边形B1EC1Q.又Q，F是DD1，C1C两边的中点，QDC1F.四边形QDFC1为平行四边形C1QDF.又B1EC1Q，B1EDF. 四边形B1EDF为平行四边形10.已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所
26、以PMAB，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN，若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上可知：AB与MN所成角为60或30.21.3 & 2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系导入新知直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与
27、平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示化解疑难1利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内2直线在平面外包括两种情形：a与aA.空间中平面与平面的位置关系导入新知两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两平面相交l有无数个公共点(在一条直线上)化解疑难1判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型2画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平
28、行四边形的对应边平行直线与平面的位置关系例1下列说法：若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中说法正确的个数为()A0B1C2D3答案B类题通法空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断活学活用下列说法中，正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行
29、，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行A0B1C2D3答案：C平面与平面的位置关系例2(1)平面内有无数条直线与平面平行，问：是否正确？为什么？(2)平面内的所有直线与平面都平行，问：是否正确？为什么？解(1)不正确如图所示，设l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行(因为a1，a2，an，与平面无交点)，但此时与不平行，l.(2)正确平面内所有直线与平面平行，则平面与平面无交点，符合平面与平面平行的
30、定义类题通法两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一条公共直线若平面与平行，记作；若平面与相交，且交线为l，记作l.活学活用1在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有_组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有_个答案：462.如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：平面ABC与平面A1B1C1无公共点，平面ABC与
31、平面A1B1C1平行平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，平面ABC与平面ABB1A1相交同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交3.有关截面图形的形状问题典例(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状解题流程规范解答由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图所示(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图所示(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图所示(12分)活学活用如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的
32、棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点G及AC；(2)过3点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示一、选择题1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行B相交
33、C平行或相交D不能确定答案：C2如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A平行B相交C直线在平面内D平行或直线在平面内答案：D3若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案：B4已知直线m，n和平面，mn，m，过m的平面与相交于直线a，则n与a的位置关系是()A平行B相交C异面D以上均有可能答案：A5给出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面
34、平行其中正确说法的个数为()A0B1C2D3答案：B二、填空题6下列命题：两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若l，m是异面直线，l，m，则.其中错误命题的序号为_答案：7与空间四边形ABCD 4个顶点距离相等的平面共有_个答案：78下列命题正确的有_(填序号)若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.答案：三、解答题9.如右图所示，在正
35、方体ABCD A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交10已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论解：平面ABC与
36、的交线与l相交证明：AB与l不平行，且AB，l，AB与l一定相交，设ABlP，则PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与的交线即平面ABCPC，而PClP，平面ABC与的交线与l相交22直线、平面平行的判定及其性质22.1 & 2.2.2直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定导入新知表示图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行a化解疑难1用该定理判断直线a和平面平行时，必须同时具备3个条件：(
37、1)直线a在平面外，即a.(2)直线b在平面内，即b.(3)两直线a，b平行，即ab.2该定理的作用：证明线面平行3应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可平面与平面平行的判定导入新知表示图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行化解疑难1平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的2面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行直线与平面平行的判定例1如右图所示，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ.
38、求证：PQ平面CBE.证明作PMAB交BE于点M，作QNAB交BC于点N，连接MN，如图，则PMQN，.EABD，APDQ，EPBQ.又ABCD，PMQN，四边形PMNQ是平行四边形，PQMN.又PQ平面CBE，MN平面CBE，PQ平面CBE.类题通法利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等活学活用如下图所示，已知A1B1C1ABC是三棱柱，D是AC的中点求证：AB1平面DBC1.证明：A1B1C1ABC是三棱柱，四边形B1BCC1是平行四边形，连接B1C交BC1于点E，则B1EEC.连接DE，在AB1C中
39、，ADDC，DEAB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1.面面平行的判定例2如下图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB.证明(1)连接B1D1.E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，EFB1D1.而BDB1D1，BDEF.E，F，B，D四点共面(2)易知MNB1D1，B1D1BD，MNBD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB，MN平面EFDB.连接MF.M，F分别是A1B1，C1D1的中点，MFA1D1，MFA1D1.MFAD，M
40、FAD.四边形ADFM是平行四边形，AMDF.又AM平面BDFE，DF平面BDFE，AM平面BDFE.又AMMNM，平面MAN平面EFDB.类题通法两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行活学活用如右图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点求证：平面AFH平面PCE.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FHPC.因为PC平面PCE，FH平面PCE，所以FH平面PCE.又由已知得AECF且AECF，所以四边形AECF为平行
41、四边形，所以AFCE，而CE平面PCE，AF平面PCE，所以AF平面PCE又FH平面AFH，AF平面AFH，FHAFF，所以平面AFH平面PCE.线线平行与面面平行的综合问题例3如右图所示，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则MEAB.又ABCD，MECD.又ME平面OCD，CD平面OCD，ME平面OCD.又NEOC，且NE平面OCD，OC平面OCD，NE平面OCD.又MENEE，且ME，NE平面MNE，平面MNE平面OCD.MN平面MNE，MN平面OCD.类题通法解决线线平行
42、与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的(2)所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理活学活用如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD.F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面B
43、DD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.4.探索点的位置问题典例(12分)如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解题流程Q为CC1的中点，P为D1D的中点，PQDC.(3分)又DCAB，PQAB且PQAB，四边形ABQP为平行四边形，QBPA.(5分)又PA平面PAO，QB平面PAO，BQ平面PAO.(7分)连接BD，则OBD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，
44、POD1B.(8分)又PO平面PAO，D1B平面PAO，D1B平面PAO.(10分)又D1BBQB，平面D1BQ平面PAO.(12分)活学活用如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：如图，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E四点
45、共面，所以BG平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B.因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.一、选择题1已知两条相交直线a，b，a平面，则b与的位置关系是()Ab平面Bb或bCb平面Db与平面相交，或b平面答案：D2下列说法正确的是()A若直线l平行于平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线ab，b，则aD若直线ab，b，那么直线a平行于内的无数条直线答案：D3在正方体ABCD ABCD中，E，F分别为平面A
46、BCD和平面ABCD的中心，则正方体的6个面中与EF平行的平面有()A1个B2个C3个D4个答案：D4已知直线l，m，平面，下列命题正确的是()Aml，lmBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM答案：D5下图4个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()ABCD答案：B二、填空题6已知a，b，c为3条不重合的直线，为3个不重合的平面，现给出6个命题：ac，bcab; a，bab；c，c； ，；c，aca； a，a.正确命题是_(填序号)答案：7下列说法正确的个数是_若直线l上有两点到平面的距离相等，则l平面；若直线
47、l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行；两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行答案：08.如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.答案：MFH三、解答题9.如右图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1.证明：如图，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.由于FF1BB1CC1，所
48、以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1DC，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.10在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是DA，DC，DD1的中点，试找出过正方体的3个顶点且与平面EFG平行的平面，并给予证明解：过正方体的3个顶点且与平面EFG平行的平面有两个，即平面ACD1和平面A1BC1.证明如下：如图，连接D1A，AC，CD1，再连接A1C1，C1B，BA1，则有EFAC，EGAD1.EF平面ACD1
49、，AC平面ACD1，EF平面ACD1.同理，EG平面ACD1.EF，EG平面EFG，EFEGE，平面EFG平面ACD1.又ACA1C1，AD1BC1，A1C1平面A1BC1，AC平面A1BC1，AC平面A1BC1.同理，AD1平面A1BC1，EF平面A1BC1，EG平面A1BC1.又EFEGE，EF，EG平面EFG，平面EFG平面A1BC1.22.3 & 2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质直线与平面平行的性质导入新知线面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab(4)作用：线面平行
50、线线平行化解疑难对线面平行性质定理的理解(1)如果直线a平面 ，在平面内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线(2)线面平行的性质定理的条件有3个：直线a与平面平行，即a；平面，相交于一条直线，即b；直线a在平面内，即a.3个条件缺一不可(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行面面平行的性质导入新知面面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab(4)作用：面面平行线线平行化解疑难对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有3个：；a；b.3个条件缺一不可(
51、2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义线面平行的性质及应用例1如下图所示，已知三棱锥ABCD被一平面所截，截面为EFGH，求证：CD平面EFGH.证明四边形EFGH为平行四边形，EFGH.又GH平面BCD，EF平面BCD，EF平面BCD.而平面ACD平面BCDCD，EF平面ACD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.类题通法运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行证题过程应
52、认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系活学活用在长方体ABCD ABCD中，点PBB(不与B，B重合)PABAM，PCBCN，求证：MN平面ABCD.证明：如图所示，连接AC，AC，ABCD ABCD是长方体，ACAC.又AC平面BAC，AC平面BAC，AC平面BAC.又平面PAC过AC与平面BAC交于MN，MNAC.MN平面ABCD，AC平面ABCD，MN平面ABCD.面面平行的性质及应用例2如下图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点求证：MN平面.证明过A作AECD交平面于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.A
53、ECD，AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDCDE，平面AEDCAC.，ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，PNDE.PN，DE，PN.又M，P分别为AB，AE的中点，MPBE.又MP，BE，MP.MP，PN平面MPN，且MPPNP，平面MPN.又MN平面MPN，MN平面.类题通法1把握面面平行性质定理的关键(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交(2)定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化2面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两平行平面
54、间的平行线段相等(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被3个平行平面所截，截得的对应线段成比例活学活用如右图所示，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD中点F，若有AF平面PEC，试确定E点的位置解：取PC的中点G，连接GE，GF.如右图由条件知GFCD，EACD，GFEA，则G，E，A，F四点共面AF平面PEC，平面GEAF平面PECGE，AFGE.四边形GEAF为平行四边形GFCD，EACDBA，E为AB的中点线面平行和面面平行的综合问题例3如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中(1)求证：平面AB1
55、D1平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1EEFFC.解证明：(1)因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1BD.又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的
56、交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点下面证明A1EEFFC.因为平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F.在A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1EEF；同理可证OFAE，所以F是CE的中点，即CFFE，所以A1EEFFC.类题通法1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质2要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解
57、决这类问题的最有效的方法活学活用如右图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示连接AC，CD1，P，Q分别是AD1，AC的中点，PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQD1Ca.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，所以EF平面BB1D1D.5.面面平行性质定
58、理的应用典例(12分)如右图所示，已知E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形解题流程活学活用已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.证明：连接AC，设AC交BD于O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点又M是PC的中点，MOPA.又MO平面BDM，PA平面BDM，PA平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，APGH.一、选择题1已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A
59、若m，n，mn，则B若m，n，则mnC若m，n，且m，n共面，则mnD若mn，m，n，则答案：C2已知a，b是两条异面直线，平面过a且与b平行，平面过b且与a平行，则平面与平面的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或相交答案：A3.如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是()A矩形B菱形C平行四边形D正方形答案：C4设平面平面，A，B，C是AB的中点，当A，B分别在，内运动时，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D不论A，
60、B如何移动都共面答案：D5.如右图所示，不同在一个平面内的3条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A相似但不全等的三角形B全等三角形C面积相等的不全等三角形D以上结论都不对答案：B二、填空题6在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ_.答案：a7已知直线m，n及平面，有下列关系：m，n；n；m；mn.现把其中一些关系看作条件，另一些关系看作结论组成一个正确的结论，应是_答案：(答案不唯一)8.如右图所示是正方体的平面展开图：在这个正方体中，BM平面AD
61、E；CN平面BAF；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF，以上说法正确的是_(填序号)答案：三、解答题9.如右图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.求证：CDC1D.证明：如图，连接AB1，设AB1与BA1交于点O，连接OD.PB1平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P平面BDA1OD，ODPB1.又AOB1O，ADPD.又ACC1P，CDC1D.10.如右图所示：三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？证明
62、你的结论解：当点E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，EFAB1.AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1.EFFDF，平面EFD平面AB1C1.DE平面EFD，DE平面AB1C1.2.3直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定直线与平面的垂直导入新知1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的
63、公共点P叫做垂足(2)图形语言：如右图所示画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意a，都有lal.2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如右图所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.化解疑难1关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直
64、”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l.2判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直3要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的直线与平面所成的角导入新知1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角如右图所示，PAO就是斜线AP与平面所成的角2当直线AP与平面
65、垂直时，它们所成的角是2.90.3当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是3.0.4线面角的范围：090.化解疑难关于直线与平面所成的角的认识(1)把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段(2)其定义反映了求线面角的基本思想平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直
66、A0B1C2D3答案D类题通法1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线活学活用下列说法中，正确的是()A若直线l与平面内无数条直线垂直，则lB若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若ab，a，l，则lbD若ab，b，则a答案：C线面垂直的判定例2如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.证明AA1底面ABC，平面A1
67、B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1.而A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B.又AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.类题通法1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法2线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直3解决线面垂直的常用方法：(1)利用勾股定理的逆定理(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线(3)利用线面
68、垂直的定义(4)利用平行转化，即ab，bc，则ac.活学活用(山东高考)如右图所示，四棱锥PABCD 中， AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC 的中点(1)求证： AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC .证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC 的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD
69、，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.直线与平面所成的角例3如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值解取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3，于是在RtBEM中，
70、sinEBM，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.类题通法求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算活学活用如右图所示，已知BOC在平面内，OA是平面的斜线，且AOBAOC60，OAOBOC1，BC，求OA与平面所成的角的大小解：OAOBOC1，AOBAOC60，AOB，AOC为正三角形，ABAC1，又BC，BAC为直角三角形，同理
71、BOC为直角三角形，取BC中点H，连接AH，则AHBC，易得AHBAOH，AHOH，AH平面，AOH为OA与所成的角，在RtAOH中，AH，sinAOH，AOH45，即AO与平面所成的角为45.6.证明线面垂直典例(12分)如右图所示，已知P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是ABC的垂心求证：PH平面ABC.解题流程规范解答如右图所示，连接CH，PCAP，PCBP，APBPP，AP平面APB，BP平面APB，PC平面APB.(3分)AB平面APB，PCAB.(5分)H为ABC的垂心，CHAB.(7分)PCCHC，PC平面PHC，CH平面PHC，AB平面PHC.PH平面P
72、HC，ABPH.(9分)同理可证PHBC.(10分)AB平面ABC，BC平面ABC且ABBCB，PH平面ABC.(12分)名师批注处易漏掉APBPP，PCCHC和ABBCB的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密虽然写清了的条件，若没有写清楚处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分若漏掉处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的活学活用如右图所示，已知PA圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AEPC于E.求证：AE平面PBC.证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ACBC，ACPAA，BC平面PAC.AE平面PAC，BCAE.又PCAE，BCPCC
73、，PC平面PBC，BC平面PBC，AE平面PBC.一、选择题1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l.A3B2C1D0答案：B2在空间四边形ABCD中，若ABCD，BCAD，则对角线AC与BD的位置关系为()A相交但不垂直B垂直但不相交C不相交也不垂直D无法判断答案：B3.如右图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直答案：C4.如右图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A
74、ACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案：D5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案：D二、填空题6菱形ABCD的对角线交于点O，点P在ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，则PO与平面ABCD的位置关系是_答案：PO平面ABCD7.如右图所示，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，面
75、对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为_答案：30三、解答题9.如右图所示，在直角三角形BMC中，BCM90，MBC60，BM5，MA3且MAAC，AB4，求MC与平面ABC所成角的正弦值解：因为BM5，MA3，AB4，所以AB2AM2BM2，所以MAAB.又因为MAAC，AB，AC平面ABC，且ABACA，所以MA平面ABC，所以MCA即为MC与平面ABC所成的角又因为MBC60，所以MC，所以sinMCA.10.如右图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线BC1 平面EFPQ；(2
76、)直线 AC1平面 PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNB1D1，故MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.23.2平面与平面垂直
77、的判定二面角导入新知二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)直线AB叫做二面角的棱，半平面和半面平叫做二面角的面记法：AB，在，内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作l或PlQ.(2)二面角的平面角：定义：在二面角 l 的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面和半平面内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角化解疑难对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转
78、化的思想(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是0180.平面与平面垂直导入新知1面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：记作：.2两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)图形语言：如下图所示(3)符号语言：AB，ABB，AB.化解疑难对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂
79、直线面垂直面面垂直这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握面面垂直的判定例1如下图所示，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明法一：(利用定义证明)BSACSA60，SASBSC，ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，SBSCa，SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，SD2AD2SA2，ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.
80、法二：(利用判定定理)SASBSC，且BSACSA60，SAABAC，点A在平面SBC上的射影为SBC的外心SBC为直角三角形，点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，AD平面SBC.又AD平面ABC，平面ABC平面SBC.类题通法证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面活学活用如右图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平
81、面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.二面角例2已知D，E分别是正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D
82、2B1EB1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小解如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点于是C1F为这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角DC1FA1.A1DB1E，且A1D2B1E，E，B1分别为DF和A1F的中点A1B1B1C1A1C1B1F，FC1A1C1.又CC1平面A1B1C1，FC1平面A1B1C1，CC1FC1.又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，FC1平面AA1C1C.DC1平面AA1C1C，FC1DC1.DC1A1是二面角DC1FA1的平面角由已知A1DA
83、1C1，则DC1A145.故所求二面角的大小为45.类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如右图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解：E为SC中点，且SBBC，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE，BDSC.又SA平面ABC，可得SABD
84、，SCSAS，BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1，在ABC中，ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC为60.线面、面面垂直的综合问题例3如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD；(3)二面角PBCD是45的二面角证明(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2.则PDDC.同理可证PDAD.又ADDCD，且AD，DC平面ABCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，又AC平面AB
85、CD，PDAC.四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，且PD，BD平面PBD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(3)由(1)知PDBC，又BCDC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，BC平面PDC.PC平面PDC，BCPC.则PCD为二面角PBCD的平面角在RtPDC中，PDDCa，PCD45，即二面角PBCD是45的二面角类题通法本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直活学活用已知ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA
86、；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.证明：(1)设BDa，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA中点，所以DMAE.又ECAEE，所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.7.线、面垂直的综合应用典例(12分)如下图所示，已知三棱
87、锥PABC，ACB90，CB4，AB20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积解题流程活学活用在如下图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比解：(1)证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDCD，因此
88、BC平面PDC.在PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2，所以VPABCDS正方形ABCDPD.由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA的长即为点P到平面MAB的距离三棱锥VPMAB122，所以VPMABVPABCD14一、选择题1有下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角
89、；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()ABCD答案：B2一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A相等B互补C不确定D相等或互补答案：C3.如右图所示，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD答案：C4.如右图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30答案：A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角
90、A1BDA的正切值为()A. B.C. D.答案：C二、填空题6经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个答案：1或无数7正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是_答案：8.如右图所示，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案：a三、解答题9.如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，EF是SAC的中位线，EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABCD.又EF平面EDB，平面EDB平面ABCD.10如下图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点
91、，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MNBC.ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，CDMN，又MNAMM，CD平面AMN.CDAN.DEBC且DEBC，BE必与CD相交又ANBE，ANCD，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.23.3 & 2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质导入新知直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂
92、直于同一个平面的两条直线平行(2)图形语言：如下图所示(3)符号语言：ab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线化解疑难对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据平面与平面垂直的性质导入新知平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(2)图形语言：如下图所示(3)符号语言：a.(4)作用：面面垂直线面垂直；作面的垂线化解疑难对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有3个：两个平面互相垂直；
93、直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.线面垂直性质定理的应用例1如右图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：平面BCE平面CDE.证明取CE的中点G，连接FG，BG，AF.F为CD的中点，GFDE，且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.则GFAB.又ABDE，GFAB.则四边形GFAB为平行四边形于是AFBG.ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD
94、，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.类题通法1此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析2若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质活学活用如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，EFA1D，EFAC，求证：EFBD1.证明：如图，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.ACA1C1，EFAC，
95、EFA1C1.又EFA1D，A1DA1C1A1，EF平面A1C1D.BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1.四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1B1D1，又B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1D，而BD1平面BB1D1D，A1C1BD1.同理DC1BD1，DC1A1C1C1，BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.面面垂直的性质的应用例2如右图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60，且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证
96、明(1)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，则PGAD.又平面PAD平面ABCD，PG平面PAD，PG平面ABCD.BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形，且DAB60，ABD是正三角形则BGAD.又ADPGG，且AD，PG平面PAD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，AD平面PBG.PB平面PBG，ADPB.类题通法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下3点：(1
97、)两个平面垂直(2)直线必须在其中一个平面内(3)直线必须垂直于它们的交线活学活用如右图所示，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB2AD2CD4，ABE60，BADCDA90，点H是线段EF的中点(1)求证：平面AHC平面BCE；(2)求此几何体的体积解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为ABE60，所以AEF是等边三角形又因为H是线段EF的中点，所以AHEF，所以AHAB.因为平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，所以AH平面ABCD，所以AHBC.在直角梯形ABCD中，AB2AD2CD4，BADCDA90，得到ACBC2，从而AC2BC
98、2AB2，所以ACBC.又AHACA，所以BC平面AHC.又BC平面BCE，所以平面AHC平面BCE.(2)连接FC，因为VVEACBVFADCVCAEF，又易得SACB4，SADC2，SAEF4，所以VVEACBVFADCVCAEF(242224).线线、线面、面面垂直的综合问题例3已知：如右图所示，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明(1)在平面ABC内任取一点D，作DFAC于点F，作DGAB于点G.平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.PA平面PAC，DFPA
99、.同理可证，DGPA.DGDFD，PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.E是PBC的垂心，PCBH.又AE是平面PBC的垂线，PCAE.BHAEE，PC平面ABE，PCAB.又PA平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面PAC.ABAC，即ABC是直角三角形类题通法线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直活学活用如右图所示，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，求证：平面PEF平面PBC.证明：(1)E，F分别为AC，B
100、C的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区典例已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A3B2C1D0解析如右图所
101、示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对于命题AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60，命题错误；命题正确对于命题，AD1平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于命题，过平面AA1D1D内点D1作D1C.AD平面D1DCC1，D1C平面D1DCC1，ADD1C.但D1C不垂直于平面ABCD，命题错误答案C易错防范对于命题，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内成功破障如果直线
102、l，m与平面，之间满足：l，l，m和m，那么()A且lmB且mCm且lmD且答案：A一、选择题1若l，m，n表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为()lm，mn，ln；lm，m，nln；m，nmn.A1 B2C3D0答案：C2如果直线a与平面不垂直，那么平面内与直线a垂直的直线有()A0条B1条C无数条D任意条答案：C3设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l答案：B4已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案：D5.如右图所示，线段AB
103、的两端在直二面角l的两个面内，并与这两个面都成30角，则异面直线AB与l所成的角是()A30B45C60D75答案：B二、填空题6.如右图所示，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB，则直线a与直线l的位置关系是_答案：平行7.如右图所示，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_.答案：78.如右图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案：三、解答题9.如右图所示，三棱锥
104、PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.证明：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.10.如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求证：EF平面PAD；(2)求三棱锥CPBD的体积解：(1)证明：连接AC，如图所示，则F是AC的
105、中点，又E为PC的中点，EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示PAPD，PNAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PN平面PAD，PN平面ABCD，即PN是三棱锥PBCD的高又PAPDADa，PNADa，VCPBDVPBCDSBCDPNa.第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1直线与平面垂直的性质定理是什么？答案：略2直线与平面垂直的性质定理有什么作用？答案：略3平面与平面垂直的性质定理是什么？答案：略4平面与平面垂直的性质定理有什么作用？答案：略线面、面面垂直的综合问题例1如下图所示，已知直线a
106、，直线b，且ABa，ABb，平面c.求证：ABc.证明过点B作直线aa，a与b确定的平面设为.因为aa，ABa，所以ABa，又ABb，abB，所以AB.因为b，c，所以bc.因为a，c，所以ac，又aa，所以ac.由可得c，又AB，所以ABc.类题通法判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系活学活用如右图所示：平面，直线a，且，AB，a，aAB.求证：a.证明：如图，a，过a作平面交于a，则aa.aAB，aAB.，AB，a，a.求点到面的距离例2已知ABC，ACBC1，AB，又已知S是ABC所在平面
107、外一点，SASB2，SC，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离解法一：如图所示，连接PA，PB.易知SAC，ACB是直角三角形，所以SAAC，BCAC.取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EFBC，PFSA.所以EFAC，PFAC.因为PFEFF，所以AC平面PEF.又PE平面PEF，所以PEAC.易证SACSBC.因为P是SC的中点，所以PAPB.而E是AB的中点，所以PEAB.因为ABACA，所以PE平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离在RtAEP中，APSC，AEAB，所以PE ，即点P到平面ABC的距离为.法二：如图所示，过A作AEBC，交SC于点E，
108、过B作BFAC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形连接SD.因为ACSA，ACAD，SAADA，所以AC平面SDA.所以ACSD.又由题意，可知BCSB.因为BCBD，SBBDB，所以BC平面SDB，所以BCSD.又BCACC，于是SD平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离在RtSDA中易得SD.因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为SD.类题通法求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法活学活用如右图所示，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB
109、，BC的中点，EFBDG.(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离解：(1)证明：连接AC，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACDD1，且BDDD1D，故AC平面BDD1B1.E，F分别为棱AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1，又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.(2)由(1)知平面B1EF平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1HB1G于H，则D1H平面B1EF，即D1H为D1 到平面B1EF的距离B1D1BD，D1B1HB1GB，sinD1B1HsinB1GB .在D1B1H中，D1B14，sin
110、D1B1H，D1H.折叠问题例3如右图所示，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.证明(1)过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，M是DE的中点取BC的中点N，连接MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，BC平面AMN，ANBC.又N是BC的中点，ABAC.(2)取BC的中点N，连接AN.ABAC，ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，MNBC.又ANMNN，BC平面AMN，AMBC.又M是DE的中点，ADAE，AMDE.又DE
111、与BC是平面BCDE内的相交直线，AM平面BCDE.AM平面ADE，平面ADE平面BCDE.类题通法解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况活学活用如图所示，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面M
112、DF；(2)求三棱锥MCDE的体积解：(1)证明：PD平面ABCD，PDAD.又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD.CF平面PCD，ADCF.又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)PD平面ABCD，PDCD.又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF.CF.EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD ，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.一、选择题1已知l，m，n为两两垂直的3条异面直线，过l作平面与直线m垂直
113、，则直线n与平面的关系是()AnBn或nCn或n与不平行Dn答案：A2.如右图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面4个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案：C3已知直线m，n，平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，m，则；若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直其中正确的命题是()ABCD答案：D4.如右图所示，在RtACB中，ACB90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小()A变大B变小C不变D有时变大有时变小答案：C5.如右图
114、所示，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下面结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案：C二、填空题6，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.答案：若，则(或若，则)7如右图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE平面BCDE，得到四棱锥ABCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是_答案：平面ABC平面ACD8
115、.如右图所示，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，则二面角CBDA的平面角的正切值为_答案：三、解答题9.如右图所示几何体中，四边形ABCD为矩形，AB3BC6，BFCFAEDE2，EF4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM2.(1)证明：AF平面BDG；(2)证明：平面BGM平面BFC；(3)求三棱锥FBMC的体积V.解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为CF的中点，所以OG为AFC的中位线，所以OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)证明：连接FM.BFCFBC2，G为CF的中点，B
116、GCF.CM2，DM4.EFAB，四边形ABCD为矩形，EFDM，又EF4，EFMD为平行四边形，FMED2，FCM为正三角形，MGCF.MGBGG，CF平面BGM.CF平面BFC，平面BGM平面BFC.(3)VFBMCVFBMGVCBMGSBMGFCSBMG2，GMBG，BM2，SBMG21，VFBMCSBMG.10.如右图所示，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FBa.(1)证明：EBFD；(2)求点B到平面FED的距离解：(1)证明：FC平面BED，BE平面BED，EBFC.又点E为的中点，B为直径AC的中点
117、，EBBC.又FCBCC，EB平面FBD.FD平面FBD，EBFD.(2)如图，在平面BEC内过C作CHED，连接FH.则由FC平面BED知，ED平面FCH.RtDHCRtDBE，.在RtDBE中，DEa，CHa.FBa，BCa，FC2a.在平面FCH内过C作CKFH，则CK平面FED.FH2FC2CH24a2a2，FHa.CKa.C是BD的中点，B到平面FED的距离为2CKa.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直
118、线垂直，且这些直线都在同一平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n则mD若mn，n，则m答案：C3.如右图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A在直线DB上B在直线AB上C在直线CB上D都不对答案：A4.如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1D1答案：B5给定下列4个命题：若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的
119、两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为正确的命题的是()A和 B和C和 D和答案：D6正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A.BCD答案：C7在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A.BCD答案：C8设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列3个说法：若，则；若，l，则l；若l，m，n，l，则mn.其中正确的说法个数是()A3B2C1D0答案：B9如下图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90
120、，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案：D10已知平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，则CD的长度为()A13BC12D15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如右图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)答案：BMPC(其他合理即可
121、)12设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个说法：若ab，a，b，则b；若a，则a；若a，则a或a；若ab，a，b，则.其中正确的个数为_答案：313在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，EF，则异面直线AD与BC所成角的大小为_答案：6014将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；说法正确的命题序号是_答案：三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如右图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，ABBC1，
122、PA平面ABCD，CDPC，(1)证明：CD平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE平面PAB.证明：(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDPC，PAPCP，CD平面PAC.(2)ADBC，ABBC，ABBC1，BAC45，CAD45，AC.CD平面PAC，CDCA，AD2.又E为AD的中点，AEBC1，AEBC，四边形ABCE是平行四边形，CEAB.又AB平面PAB，CE平面PAB，CE平面PAB.16.(本小题满分12分)如右图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2，AB1.(1)求四棱锥PABCD
123、的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：平面PAC平面AEF.解：(1)在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2.在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4.S四边形ABCDABBCACCD122.又PA平面ABCD，且PA2，V2.(2)证明：PA平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，CD平面PAC.CDPC.E为PD的中点，F为PC的中点，EFCD，则EFPC.PAAC2，F为PC的中点，AFPC.AFEFF，PC平面AEF.PC平面PAC，平面PAC平面AEF.17.(本小题满分12分)如右图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的度数；
124、(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数解：(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BC，OCAB.又ABBOB，OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30.即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图所示，作OEBC于E，连接AE.平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE ，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为
125、90.18(本小题满分14分)如图，在平面四边形ABCD中，A90，B135，C60，ABAD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AMMD,2CNND，如图，将ABD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面BCD，并连接AC，MN(如图)(1)证明：MN平面ABC；(2)证明：ADBC；(3)若BC1，求三棱锥ABCD的体积解：(1)证明：在ACD中，2AMMD,2CNND，MNAC，又MN平面ABC，AC平面ABC，MN平面ABC.(2)证明：在ABD中，ABAD，A90，ABD45.在平面四边形ABCD中，B135，BCBD.又平面ABD平面BCD，且BC平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面ABD，又AD平面ABD，ADBC.(3)在BCD中，BC1，CBD90，BCD60，BD.在ABD中，A90，ABAD，ABAD，SABDABAD，由(2)知BC平面ABD，VABCDVCABD1.