1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示基础盘查一函数的有关概念(一)循纲忆知1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(二)小题查验1判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射()(2)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(3)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(5)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教A版教材复习题改编
2、)函数f(x)的定义域是_答案：4,5)(5，)3已知函数yf(n)，满足f(1)2，且f(n1)3f(n)，nN*，则f(4)_.答案：54基础盘查二分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(二)小题查验1判断正误(1)函数f(x)是分段函数()(2)若f(x)则f(x)()答案：(1)(2)2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_答案：并集并集3已知函数f(x)若f(x)2，则x_.答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识1函数的定义设A、B为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集
3、合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)2函数的三要素题组练透1下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lg x与y2lg x2 Dylg x2与ylg答案：D2下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外
4、，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数(常考常新型考点多角探明)多角探明函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求给定函数解析式的定义域1函数f(x)(a0且a1)的定义域为_解析：由0x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,22(2013
5、安徽高考)函数yln的定义域为_解析：要使函数有意义，需即即解得0x1，所以定义域为(0,1答案：(0,1角度二：求抽象函数的定义域3若函数yf(x)的定义域是1,2 014，则函数g(x)的定义域是()A0,2 013B0,1)(1,2 013C(1,2 014 D1,1)(1,2 013解析：选B令tx1，则由已知函数的定义域为1，2 014，可知1t2 014.要使函数f(x1)有意义，则有1x12 014，解得0x2 013，故函数f(x1)的定义域为0,2 013所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.(3)设f(x)ax2bxc
6、(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).类题通法求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次
7、函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)演练冲关1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)
8、0有两个相等实根，44c0，解得c1.故f(x)x22x1.(重点保分型考点师生共研)必备知识若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数提醒分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数典题例析1已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()A2B2C3 D3解析：选B由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.2已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：当a0时，1a1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2
9、a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1,1a0，即(x1)(x1)0，解得1x1，即M(1,1)，全集为R，RM(，11，)2已知函数f(x)若f(f(1)4a，则实数a等于()A. B.C2 D4解析：选Cf(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得a2.故选C.3若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23x Bg(x)3x22xCg(x)3x22x Dg(x)3x22x解析：选B(待定系数法)设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x，选B.
10、4函数f(x)的定义域为()A1,10 B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10解析：选D要使函数f(x)有意义，则x需满足即所以不等式组的解集为(1,2)(2,10故选D.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16解析：选D因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y的单调递减区间是
11、(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教A版教材习题改编)函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案：2,43若函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围是_答案：基础盘查二函数的最值(一)循纲忆知1理解函数最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的最值(二)小题查验1判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y在1,3上的最小值为()答案：(1)(2)2(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)(x2,6)，则函数的最大值为_答案：2(基础送分型考点自主练透)必备
12、知识1定义法设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2导数法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递减题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.2判断函
13、数g(x)在(1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，因为1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以f (x)故f (x)的单调递增区间为(，1)(常考常新型考点多角探明)必备知识函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，
14、在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最小值f(b)多角探明高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：2角度二：比较两个函数值或两个
15、自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)解析：选B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0
16、，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B.C(，2 D.解析：选B由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是 .类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或
17、单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.一、选择题1(2014北京高考)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3 Cyln x Dy|x|解析：选B因为对数函数yln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数yex，即yx，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y|x|，当x(，0)时，函数变为yx，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数yx3在定义域R上为增函数故选B.2函数f(x)|x2|x的单调
18、减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则()AfffBfffCfffDfff解析：选B由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，ffff，又f，即fff.4.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)
19、x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由于c1c1，但c1/ c1，所以“c1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件故选A.6(2015长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x20且x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0 B恒大于0C恒小于0 D可正可负解析：选C由x1x20不妨设x10.x1
20、x20，x1x20.由f(x)f(x)0知f(x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.故选C.二、填空题7已知函数f(x)为R上的减函数，若ff(1)，则实数x的取值范围是_解析：由题意知f(x)为R上的减函数且f1，即|x|1，且x0.故1x1且x0.答案：(1,0)(0,1)8已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，
21、只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)9设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)10使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f
22、(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,112已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9
23、上的最小值为2.第三节函数的奇偶性及周期性基础盘查一函数的奇偶性(一)循纲忆知1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性(二)小题查验1判断正误(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0)的周期函数()答案：(
24、1)(2)2若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：1(基础送分型考点自主练透)必备知识函数的奇偶性的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)提醒定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件题组练透判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定
25、义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0)提醒应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1
26、)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1(2015洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递增的是()Ayx2By2|x|Cylog2 Dysin x解：选C函数yx2在(，0)上是减函数；函数y2|x|在(，0)上是减函数；函数ylog2log2|x|是偶函数，且在(，0)上是增函数；函数ysin x不是偶函数综上所述，选C.2已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解：f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(
27、x)在2,2上递减，f(1m)m21，解得2m1.综合可知，1m1.即实数m的取值范围是1,1)角度二：周期性与奇偶性结合3(2015石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0)C(1,0) D(1,2)解：选Af(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(
28、11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)10设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：10三、解答题11已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x
29、)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x1)的图象的大致形状是()答案：A基础盘查二利用图象变换法作函数图象(一)循纲忆知能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质(二)小题查验1判断正误(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知图中
30、的图象对应的函数为yf(x)，则图中的图象对应的函数为()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案：C(基础送分型考点自主练透)必备知识描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线题组练透分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)y图象如图1.(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图2.(3)y图象如图3.类题通法画函数图象的一般方法1直接
31、法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；2图象变换法变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换(1)平移变换：yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yAf(x)(3)对称变换：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换：yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.(重点保分型考点师生共研)典题例析1(2015海淀区期中测试)函数f(x)2xsin x的部分图象可能是()解析：选A因为xR，f(x)2xsin xf(x)，所以函数图象关于原点对
32、称，又f(x)2cos x0，所以函数单调递增，因此选A.2.已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()解：选B法一：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选B.类题通法识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题演练冲
33、关1已知f(x)则下列函数的图象错误的是()解析：选D先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，如图所示，再将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确综上所述，选D.2.如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线
34、段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()解析：选C当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选C.3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于_解析：由图象知f(3)1，1.ff(1)2.答案：2(常考常新型考点多角探明)多角探明函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图象的应用常见的命题角度有：(1)研
35、究函数的性质；(2)确定方程根的个数；(3)求参数的取值范围；(4)求不等式的解集.角度一：研究函数的性质1已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：选C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减角度二：确定方程根的个数2(2015日照一模)已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_解
36、析：方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案：5角度三：求参数的取值范围3(2014山东高考)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.B.C(1,2) D(2，)解析：选B在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意，故k1.角度四：求不等式的解集4.函数f(x)是定义在4,
37、4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，在上ycos x0.由f(x)的图象知在上0，因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.答案：类题通法1利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性2有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值3有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解一、选择题1函数ye1x2的图象大致是()解析：选C易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)e1x2
38、0，故排除D，因此选C.2为了得到函数y2x31的图象，只需把函数y2x的图象上所有的点()A向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解析：选Ay2xy2x3y2x31.故选A.3(2015海淀区期中测试)下列函数f(x)图象中，满足ff(3)f(2)的只可能是()解析：选D因为ff(3)f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，ff(0)1，f(3)f(0)，即ff(3)，排除C，选D.4设函数F(x)f(x)f(x)，xR，且是函数F(
39、x)的一个单调递增区间将函数F(x)的图象向右平移个单位，得到一个新的函数G( x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是()A. B.C. D.解析：选DF(x)f(x)f(x)，xR，F(x)f(x)f(x)F(x)，F(x)为偶函数，为函数F(x)的一个单调递减区间将F(x)的图象向右平移个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是.5(2015成都模拟)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)解析：选Df(x)为奇函数，所以不等式0化为0，即x
40、f(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以xf(x)0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0的x(2,8答案：(2,88函数f(x)的图象的对称中心为_解析：因为f(x)1，故f(x)的对称中心为(0,1)答案：(0,1)9如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当1x0时，设解析式为ykxb，则得yx1.当x0时，设解析式为ya(x2)21，图象过点(4,0)，0a(42)21，得a.答案：f(x)10设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的
41、取值范围是_解析：如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)答案：1，)三、解答题11已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值解：(1)函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1,0，2,5(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3.12已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(
42、x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.g(x)在(0,2上为减函数，10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，a14，即a3，故a的取值范围是3，)1(2014山东高考)函数f(x) 的定义域为()A(0,2)B(0,2C(2，) D2，) 解析：选C由题意可知x满足log2x10，即log2xlog22，根据对数函数的性质得x2，即函数f(x)的定
43、义域是(2，)2(2014江西高考)已知函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)，若fg(1)1，则a()A1 B2C3 D1解析：选A因为fg(1)1，且f(x)5|x|，所以g(1)0，即a1210，解得a1.3(2012安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x解析：选C对于选项A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于选项B，f(x)x|x|，当x0时，f(2x)02f(x)，当x0时，f(2x)4x22x2f(x)，恒有f(2x)2f(x)；对于选项D，f(2x)2x2(x)2f(x)；对于选项C
44、，f(2x)2x12f(x)1.4(2014浙江高考)设函数f(x) 若f(f(a)2，则 a_.解析：当a0时，f(a)a22a20，f(f(a)0时，f(a)a2，f(f(a)a42a222，则a或a0，故a.答案：1(2014湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间 (，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x解析：选A因为yx2在(，0)上是单调递减的，故y在(，0)上是单调递增的，又y为偶函数，故A对；yx21在(，0)上是单调递减的，故B错；yx3为奇函数，故C错；y2x为非奇非偶函数，故D错选A.2(2014湖南高考)已知f(x)，g(x)
45、分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C1 D3解析：选C用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，化简得f(x)g(x)x3x21，令x1，得f(1)g(1)1，故选C.3(2014陕西高考)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x Bf(x)x3Cf(x)x Df(x)3x解析：选D根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(xy)f(x)f(y)又f(x)3x是增函数，所以D正确4(2014新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函
46、数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选Cf(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.5(2014四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时， f(x)则f_.解析：fff4221.答案：16(2014新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_解析：由题可知，当2x0，f(x1)的图象是由
47、f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x1)0，则1xg(2)1，f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.4(2013四川高考)函数y的图象大致是()解析：选C因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x0，所以B错；当x时，y0，所以D错，故选C.5(2012天津高考)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_解析：因为函数y又函数ykx2的图象恒过点(0，2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0k1或1k4.答案：(0,1)(1,4)第五节二次函数与幂函数基础盘查一幂函数(一)循纲忆知1了解幂函数的概念(f(x)x)2结合函数yx，y
48、x2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况(二)小题查验1判断正误(1)函数f(x)x2与函数f(x)2x2都是幂函数()(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(3)幂函数的图象不经过第四象限()(4)当0时，幂函数yx是定义域上的减函数()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知幂函数yf(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为_答案：f(x)x (x0)基础盘查二二次函数(一)循纲忆知1理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；会求二次函数在闭区间上的最值2能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(二)小题查验1判断正误(1)二次函数yax2b
49、xc，xa，b的最值一定是()(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)2(北师大版教材习题改编)二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x3，与y轴交于点(0,3)则它的解析式为_答案：yx22x33已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_答案：(，2(基础送分型考点自主练透)必备知识1幂函数的概念形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数提醒幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变量2
50、幂函数的性质(1)幂函数在(0，)上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)；(3)当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；(4)当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减题组练透1幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：选C令f(x)x，则42，f(x)x.2已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或2解析：选B由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意，故选B.3(2015安徽安庆
51、三模)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1) 32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a.答案：(，1)类题通法幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0，01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较(重点保分型考点师生共研)必备知识二次函数解析式的三种表示方法(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标；(3)零点式：ya(
52、xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标典题例析已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a
53、1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.类题通法二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式演练冲关已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x
54、)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.(常考常新型考点多角探明)多角探明二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题归纳起来常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题.角度一：二次函数的最值问题1已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：函数f(x)x22ax1a(xa)2
55、a2a1，对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.2设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(x)角度二：二次函数中恒成立问题3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解：2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范
56、围是.角度三：二次函数的零点问题4已知关于x的二次函数f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意tR，方程f(x)1必有实数根；(2)若t，求证：函数f(x)在区间(1,0)及上各有一个零点证明：(1)f(x)x2(2t1)x12t，f(x)1(x2t)(x1)0，(*)x1是方程(*)的根，即f(1)1.因此x1是f(x)1的实根，即f(x)1必有实根(2)当t时，f(1)34t0，f(0)12t20，f(2t1)12tt0.又函数f(x)的图象连续不间断因此f(x)在区间(1,0)及上各有一个零点类题通法二次函数图象与性质问题解题策略1对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式
57、问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系2当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况3求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求一、选择题1(2015湖北孝感调研)函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1B2C3 D1或2解析：选Bf(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又x(0，)上是增函数，所以m2.2(2015阿克苏3月模拟)已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表，则不等式f(|x|)2的解集是()x1f(x)1Ax|4x4
58、Bx|0x4Cx|x Dx|0x解析：选A由题意知，f(x)x，由|x|2，得|x|4，故4x4.3(2015洛阳统考)设函数f(x)x223x60，g(x)f(x)|f(x)|，则g(1)g(2)g(20)()A56 B112C0 D38解析：选B由二次函数图象的性质得，当3x20时，f(x)|f(x)|0，g(1)g(2)g(20)g(1)g(2)112.4(2015北京西城期末)定义域为R的函数f(x)满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x2x，则当x2，1时，f(x)的最小值为()A BC D0解析：选A设x2，1，则x20,1，则f(x2)(x2)2(x2)，又f(x
59、2)f(x1)12f(x1)4f(x)，f(x)(x23x2)，当x时，取最小值为.5(2015吉林松原月考)设函数f(x)x2xa(a0)，已知f(m)0，则()Af(m1)0 Bf(m1)0Cf(m1)0 Df(m1)0解析：选Cf(x)的对称轴为x，f(0)a0，f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，m10，f(m1)f(0)0.6已知函数f(x)则“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当a1时，f(x)作出图象可知，函数f(x)在R上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f(x)在
60、R上是单调递增函数，则当a0时满足，当a0时，1，a0且1，解得a0，即a0.所以能够推出2a0，故“2a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件二、填空题7二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_解析：依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a.f(x)(x2)21.答案：f(x)(x2)218对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_解析：由题意可得解得4a4.答案：(4,4)9已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_解析：f(x)x(x0)，易知x(0，)
61、时为减函数，又f(a1)f(102a)，解得3a5.答案：(3,5)10已知函数f(x)2x2(4m)x4m，g(x)mx，若存在实数x，使f(x)与g(x)均不是正数，则实数m的取值范围是_解析：当m0时，函数f(x)2x2(4m)x4m的对称轴为x11，且f(0)4，直线g(x)mx过原点且过二、四象限，不符合题意；当m0时，函数f(x)2x2(4m)x4m的对称轴x11，直线g(x)mx过原点且过一、三象限，由题意得或f(0)0，解得m4.综上所述，m4.答案：4，)三、解答题11已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2
62、)若该函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，m2m为偶数，函数f(x)x(m2m)1 (mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)函数f(x)的图象经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.又mN*，m1，f(x)x.又f(2a)f(a1)，解得1a，故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m1.满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为.12已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最
63、大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a0时，f(x)在2,3上为减函数，故(2)b0，b0)的结果为_答案：ab1基础盘查二有理数指数幂(一)循纲忆知理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(二)小题查验1判断正误(1)分数指数幂a可以理解为个a相乘()(2)(1)(1)()答案：(1)(2)2(人教A版教材习题改编)(1)2_.(2)(2ab)(6ab)(3ab)_.答案：(1)6(2)4a基础盘查三指数函数的图象与性质(一)循纲忆知1理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点2知道指数函数是一类重要的函数模
64、型(二)小题查验1判断正误(1)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(2)若am0且a1)，则m1)的值域是(0，)()(5)函数yax1(a0且a1)恒过点(1,1)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教A版教材习题改编)已知0.2m”或“3指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_答案：(1,2)(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sar s
65、(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)提醒有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算题组练透求值与化简：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2(3ab1)(4ab3)；(3)解：(1)原式111.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.(3)原式ab.类题通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答
66、提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1时，指数函数的图象“下降”(2)指数函数yax(a0，且a1)的图象过定点(0,1)，且函数图象经过第一、二象限典题例析1函数yax(a0，且a1)的图象可能是()解析：选D法一：当0a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以选D.2(2015衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案：1,1类题通
67、法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解演练冲关1(2015北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：选Ayx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称2若将典例2中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线yb有两个公共点，求b的取值范围解：曲线y|2x1|与
68、直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)(常考常新型考点多角探明)必备知识指数函数的性质(1)定义域是R；(2)值域是(0，)；(3)过定点(0,1)，即x0时，y1；(4)当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数多角探明高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单的指数方程或不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质.角度一：比较指数式的大小1设a，b，c，则a，b，c的大小关系是_解析：yx (x0)为增函数，ac.yx(x
69、R)为减函数，cb，acb.答案：acb角度二：简单的指数方程或不等式的应用2设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)解析：选C当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为01，所以a3，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)，故选C.角度三：探究指数型函数的性质3已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3
70、，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.类题通法指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数
71、的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论一、选择题1函数f(x)2|x1|的图象是()解析：选Bf(x)故选B.2已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域()A9,81B3,9C1,9 D1，)解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(
72、x)maxf(4)9.可知C正确3已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()Aabc BacbCcab Dbca解析：选A由0.20.6,0.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.4(2015太原一模)函数y2x2x是()A奇函数，在区间(0，)上单调递增B奇函数，在区间(0，)上单调递减C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减解析：选A令f(x)2x2x，则f(x)2x2xf(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y2x，y2x均是R上的增函数，故y2x2x在R上为增函数5(2015丽水模拟)当x(，1时
73、，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2,1) B(4,3)C(1,2) D(3,4)解析：选C原不等式变形为m2mx，函数yx在(，1上是减函数，x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.6(2015济宁三模)已知函数f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2a2c D2a2c2解析：选D作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知00的解集是(1，)，由10，可得2xa，故xlog2a，由log2a1得a2.答案：28
74、(2015南昌一模)函数y823x(x0)的值域是_解析：x0，x0，3x3，023x238，0823x0，则loga(MN)logaMlogaN()(3)logaxlogayloga(xy)()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材习题改编)计算：(1)log35log315_.(2)log23log34log45log52_.答案：(1)1(2)1基础盘查二对数函数的图象与性质(一)循纲忆知1理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点2知道对数函数是一类重要的函数模型3了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0且a1)(二)小题查验1判断正误(1)函数ylo
75、g2x及ylog3x都是对数函数()(2)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)函数y的定义域为_答案：3函数yloga(3x2)(a0，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是_答案：(1,0)4已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识对数的运算(1)loga(MN)logaMlo
76、gaN(a0，且a1，M0，N0)；(2)logalogaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)；(3)logaMnnlogaM(a0，且a1，M0，nR)；(4)对数换底公式：logbN(a0，a1，b0，b1，N0)；(5)对数恒等式：alogaNN(a0，a1，N0)提醒在应用logaMnnlogaM时，易忽视M 0.题组练透1(2013陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是()AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac解析：选B利用对数的换底公式进行验证，
77、logablogcalogcalogcb，则B对2计算下列各题：(1)lglg 70lg 3；(2)log3log54(3)7log72解：(1)原式lg lg 101|lg 31|lg 3.(2)原式log3 log52log210(3)7log72log5(1032)log55.类题通法对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算(题点多变型考点全面发掘)必备知识对数函数图象的特点(1)当a1时，对数
78、函数的图象呈上升趋势；当0a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限一题多变 典型母题当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg，即2，所以a的取值范围为. 法二：0x，14x1，0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.答案B题点发散1若本例变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解：由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需
79、f1f2，所以有2loga，解得a，a1.即实数a的取值范围是.题点发散2若本例变为：当0x时，logax，求实数a的取值范围解：若logax在x成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，如图所示，由图象知 loga，解得a1.即数a的取值范围是.题点发散3若本例变为：已知不等式loga(2a21)loga(3a)0成立，求实数a的取值范围解：原不等式或解不等式组得a1时，在(0，)上是增函数；当0a0得1xbcBbcaCcba Dbac解析：选Aa31,0bloglog321，clog2bc，故选A.2已知函数f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为lo
80、ga26，则a的值为()A. B.C2 D4解析：选C显然函数yax与ylogax在1,2上的单调性相同，因此函数f(x)axlogax在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)(aloga1)(a2loga2)aa2loga2loga26，故aa26，解得a2或a3(舍去)故选C.3若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2B1，) D2，)解析：选A令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)，故选A.一、选择题1(2015内江三模)lg8()A.BC D4解析：
81、选Blg 8lg 10(23)4.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：选Af(x)logax，f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.3(2014天津高考)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)解析：选D函数yf(x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数yf(x)是由ylogt与tg(x)x24复合而成，又ylogt在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数yf(x)在(，2)上单调递增选D.4(2015福州模拟)函数y
82、lg|x1|的图象是()解析：选A因为ylg|x1|当x1时，函数无意义，故排除B、D.又当x2或0时，y0，所以A项符合题意5(2015长春质检)已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Bf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)6下列区间中，函数f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是()A(，1 B.C. D1,2)解析：选D当2x1，即x1时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)
83、在(，1上单调递减当02x1，即1x2时，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此时函数f(x)在1,2)上单调递增，故选D.二、填空题7函数ylog(x26x17)的值域是_解析：令tx26x17(x3)288，ylogt为减函数，所以有logtlog83.答案：(，38函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_解析：作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)答案：(，1)(1，)9(2015
84、山东莱芜二模)已知函数f(x)则f(f(4)f_.解析：f(f(4)f(24)log4162，log20且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解：(1)要使函数f(x)有意义则解得1x1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以f(x)01，解得0x0的x的解集是(0,1)12设x2,8时，函数f(x)loga(ax)loga(a2x)(a0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解：由题意知f(x)(logax1)(logax2)(logx3logax2)2.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,
85、1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若21，则a2，此时f(x)取得最小值时，x(2)2,8，舍去若21，则a，此时f(x)取得最小值时，x22,8，符合题意，a.第八节函数与方程基础盘查一函数的零点(一)循纲忆知1了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系2掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数(二)小题查验1判断正误(1)函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点()(2)若f(x)在(a，b)上有零点，一定有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系(一)循纲忆知结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(二)小题查验1判断正误
86、(1)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(2)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(2,0)()答案：(1)(2)2函数f(x)(x22)(x23x2)的零点为_答案：，1,2(基础送分型考点自主练透)必备知识零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根提醒此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数题组练透1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区
87、间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4) D(4，)解析：选C因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.3函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f
88、(2)2ln 20，f(3)ln 30，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.答案：2类题通法判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数演练冲关1(2015莱芜一模)已知函数f(x)则函数f(x)的零
89、点为()A.，0B2,0C. D0解析：选D当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.2(2015北京丰台二模)函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选B令f(x)0，得xx，在平面直角坐标系中分别画出函数yx与yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.(题点多变型考点全面发掘)一题多变典型母题若函数f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为_解析令g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1
90、，令g(x)0，即ln x1，可解得0x0，即ln x1，可解得x，所以，当0x时，函数g(x)单调递增，由此可知当x时，g(x)min.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得a0.答案题点发散1若本例中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_解析：由本例解析知a或a0.答案：0，)题点发散2若函数变为f(x)ln xxa，其他条件不变，则a的取值范围是_解析：函数f(x)ln xxa的零点，即为关于x的方程ln xxa0的实根，将方程ln xxa0，化为方程ln xxa，令y1ln x，y2xa，由导数知识可知，直线y2xa与曲线y1ln x相切时有a1，所
91、以关于x的方程ln xxa0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(，1)答案：(，1)题点发散3若函数变为f(x)若函数yf(x)有三个零点，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)h(x)a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图由图象知a1.答案：类题通法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一、选择题1(2015温州十校联考)设
92、f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B法一：f(1)ln 11212，f(1)f(2)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)2设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1,1内()A可能有3个实数根 B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选C由f(x)在1,1上是增函数，且ff0
93、，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)0在1,1上有唯一实数根3(2015河北质检)若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点()Ayf(x)ex1 Byf(x)ex1Cyexf(x)1 Dyexf(x)1解析：选C由已知可得f(x0)ex0，则ex0f(x0)1，ex0f(x0)1，故x0一定是yexf(x)1的零点4(2015大连一模)f(x)是R上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5x|的零点个数为()A4 B5C8 D10解析：选B由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共
94、有5个交点，所以共有5个零点5已知函数f(x)x2bxa的图象如图所示，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A.B.C(1,2)D(2,3)解析：选B由题图可知f(x)的对称轴x，则1b2，易知g(x)ln x2xb，则g2ln 2b0，gln 21b0，g(1)2b0，故g(x)的零点所在的区间是.6(2015湖北八校联考)已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A当0x1时，f(x)aa，1x2时，f(x)aa，2x3时，f(x)aa，.f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的
95、，画出y的图象，如图所示，通过数形结合可知a，选A.二、填空题7“函数f(x)ax3在1,2上存在零点”的充要条件是_解析：函数f(x)ax3在1,2上存在零点等价于直线f(x)ax3在1,2上与x轴有交点，则，或答案：a3或a8已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_解析：设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.答案：(，1)9若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或.解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，110已知0a0和k0作出函数f(x
96、)的图象当0k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意答案：(0,1)三、解答题11已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(4)幂函数增长比直线增长更快()(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表
97、示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案：2ln 21 024基础盘查二常见的几种函数模型(一)循纲忆知了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(二)小题查验1判断正误(1)不存在x0，使ax0xlogax0()(2)美缘公司2013年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%()(3)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f
98、(x)g(x)()答案：(1)(2)(3)(4)2已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_只答案：200(基础送分型考点自主练透)必备知识常见的函数模型1正比例函数模型：f(x)kx(k为常数，k0)；2反比例函数模型：f(x)(k为常数，k0)；3一次函数模型：f(x)kxb(k，b为常数，k0)；4二次函数模型：f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)；5指数函数模型：f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，b1)；6对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，a1)；7幂函
99、数模型：f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n1)；8“对勾”函数模型：yx(a0)题组练透1(2013湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.2已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()解析：选D依题意知当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知，
100、选D.类题通法判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案(重点保分型考点师生共研)必备知识在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速
101、度则会越来越慢典题例析某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间解：(1)由题图，设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时)类题通法求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定
102、系数(3)利用该模型求解实际问题提醒解决实际问题时要注意自变量的取值范围演练冲关里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的_倍解析：根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅
103、的10 000倍答案：610 000(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题归纳起来常见的命题角度有：(1)构建二次函数模型；(2)构建分段函数模型；(3)构建“对勾”函数f(x)x(a0)模型；(4)构建高次函数或复杂的分式结构函数模型.角度一：构建二次函数模型1经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)t(1t100，tN)前40天价格为f(t)t22(1
104、t40，tN)，后60天价格为f(t)t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值解：当1t40，tN时，S(t)g(t)f(t)t22t(t12)2，所以768S(40)S(t)S(12).当41t100，tN时，S(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，所以8S(100)S(t)S(41).所以，S(t)的最大值为，最小值为8.角度二：构建分段函数模型2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0
105、千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解：(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb.由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)
106、2.当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值f(x)max3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时角度三：构建“对勾”函数f(x)x(a0)模型3某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可
107、享受八五折优惠(即原价为85%)问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该场x(x N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为 y1.饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)从而有y1(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时，y1有最小值故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少(2)设该场利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2(3x23x300)2001.80.853x3
108、03(x25)令f(x)3x(x25)，f(x)3，当x25时，f(x)0，即函数f(x)与y2在x25时是增函数当x25时，y2取得最小值，最小值为390.3900)当 0，即x4时，L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大答案：49某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_解析：七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销
109、售总额是3 8605002 500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，则25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.答案：2010一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaeb t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：当t0时，ya；当t8时，yae8ba，故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt
110、(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min容器内沙子只有开始时的八分之一答案：16三、解答题11(2015湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解：(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyx(x10)250，S(x)是关于x的二
111、次函数，且其图象开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增所以当x8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米12一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.即每年砍伐面积的百分比为1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma
112、，即，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年1(2014山东高考)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.Bln(x21)ln(y21)Csin xsin yDx3y3解析：选D因为0a1，axay，所以xy，采用赋值法判断，A中，当x1，y0时，1，A不成立B中，当x0，y1时，ln 1 ln 2，B不成立C中，当x0，y时，sin xsin y0，C不成立D中，因为函数yx3在R上是增函数，故选D.2(2014安微高考)设alo
113、g37，b21.1 ，c0.83.1，则()Abac Bcab C. cba Dacalog371，b21.12，c0.83.11，所以ca1时，函数f(x)xa(x0)单调递增，函数g(x)logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0a0)单调递增，函数g(x)logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.4(2013浙江高考)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(，2上单调递减，则抛物线
114、开口方向朝上，知a0，故选A.5. (2014安微高考)log3log3_.解析：原式log33.答案：6(2014重庆高考)函数f(x)log2log(2x)的最小值为_解析：依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当且仅当log2x，即x时等号成立，因此函数f(x)的最小值为.答案：7(2014湖南高考)若f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则a_.解析：函数f(x)ln(e3x1)ax为偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax
115、3x0，解得a.答案：8(2014天津高考)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_解析：画出函数f(x)|x23x|的大致图象，如图，令g(x)a|x1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4个不同的交点，显然a0.联立消去y，得x2(3a)xa0，由0，解得a9；联立消去y，得x2(3a)xa0，由0，解得a1或a9.综上，实数a的取值范围为(0,1)(9，)答案：(0,1)(9，)1(2014湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x0时， f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合
116、为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3解析：选D当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)3(2014江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_解析：函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3,4与ya的图象有10个不同交点作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)
117、f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0a.答案：1(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1解析：选D设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1p)(1q)aa(1x)2，解得x1.2(2014陕西高考)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A. yx3x2x Byx3x23x Cyx3x D. yx3x22x解析：选A法一：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)
118、，在(0,0)处的切线方程为yx，在(2,0)处的切线方程为y3x6，以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足，又B，C，D选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线yx，y3x6相切，故选A.法二：设该三次函数为f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc，由题设有解得a，b，c1，d0.故该函数的解析式为yx3x2x.第十节变化率与导数、导数的计算基础盘查一导数的概念(一)循纲忆知1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数(二)小
119、题查验1判断正误(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()答案：(1)(2)(3)(4)2曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：选Cysin xex，ycos xex，y|x0cos 0e02，曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.故选C.基础盘查二基本初等函数的导数公式(一)循纲忆知能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的
120、导数(二)小题查验判断正误(1)cos ()(2)若(ln x)，则ln x()(3)(3x)3xln 3()答案：(1)(2)(3)基础盘查三导数四则运算法则(一)循纲忆知能利用导数的四则运算法则求解导函数(二)小题查验1判断正误(1)ex()(2)函数f(x)sin (x)的导数为f(x)cos x()答案：(1)(2)2(人教A版教材习题改编)求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y(基础送分型考点自主练透)必备知识1基本初等函数的导数公式(x)x1，(sin x)cos x，(cos x)sin x，(ax)axln a，(ex)ex，(
121、logax)，(ln x).2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)y.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)y，y.类题通法函数求导的遵循原则(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简
122、，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量(常考常新型考点多角探明)必备知识函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)提醒求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同多角探明导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值.角度一：求切线方程1(2015云南一检)函数f(x)的图
123、象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40B2xy0Cxy30 Dxy10解析：选Cf(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.角度二：求切点坐标2(2014江西高考)若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：设P(x0，y0)，yxln x，yln xx1ln xk1ln x0.又k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点P的坐标是(e，e)答案：(e，e)角度三：求参数的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A
124、1 B3C4 D2解析：选Df(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()答案：(1)(2)2(人教A版教材习题改编)函数f(x)exx的减区间为_答案：(，0)3已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案：3基础盘查二函数的极值与导数(一)循纲忆知了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)
125、(二)小题查验1判断正误(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例题改编)函数f(x)x34x4的极大值为_答案：基础盘查三函数的最值与导数(一)循纲忆知会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)(二)小题查验1判断正误(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间1,1上有最值()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例题改编)函数f(x)x34x4在0,3的最小
126、值为_答案：第一课时导数与函数的单调性(重点保分型考点师生共研)必备知识函数的单调性在区间(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数典题例析(2014大纲全国卷节选)函数f(x)ln(x1)(a1)讨论f(x)的单调性解：f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)内是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)内是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)内是增函数当a2时，若x(1,0)，则f(x
127、)0，f(x)在(1,0)内是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)内是增函数类题通法导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0，当x(ln 2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递减(重点保分型考点师生共研)典题例析(2014重庆高考节选)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调
128、区间解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数类题通法求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间方法二(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)，令f(x)0，解此
129、方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性演练冲关已知函数f(x)ln xax(aR)求函数f(x)的单调区间解：函数f(x)的定义域为(0，)f(x)a，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(题点多变型考点全面发掘)一题多变
130、 典型母题已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数.综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数(2)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即
131、a的取值范围为.题点发散1函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解：因为f(x)3x3a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为.题点发散2函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解：由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数题点发散3函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，
132、求a的值解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.题点发散4函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解：f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3)类题通法已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(
133、a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解A卷夯基保分一、选择题1(2015苏中八校学情调查)函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：选A函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：选Df(x)(x3)ex，则f(x)ex(x2)，令f(x)0，得x2.f(x)的单调递增区间为(2，)3(2015长春调研)已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(
134、x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Af(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Cf(x)(2x2a)ex(x22ax)e2x2(22a)x2aex，由题意当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a.5(2015洛阳统考)已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)exsin
135、 x，则()Af(1)f(2)f(3) Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1) Df(3)f(1)f(2)解析：选D由f(x)f(x)，得f(2)f(2)，f(3)f(3)，由f(x)exsin x得函数在上单调递增，又3120，所以f(x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增9函数f(x)的单调递增区间是_解析：由导函数f(x)0，得cos x，所以2kx2k(kZ)，即函数f(x)的单调递增区间是(kZ)答案：(kZ)10(2015成都一诊)已知函数f(x)2x2ln x(a0)若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_解析：f(x)4x，若函数f(x)在1,2上
136、为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案：1，)三、解答题11(2015武汉武昌区联考)已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1
137、时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)12(2015沈阳质检)已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解：(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故数m的取值范围是(，2B卷增分提能1设函数f(x)x2exxex.(
138、1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)2e2.当m0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：(1)函数的定义域为(，)，f(x)x2axb，由题意得即(2)由(
139、1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0，当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值提醒可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y0，但x0不是极值点多角探明函数的极值是每年高考的必考内
140、容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数.角度一：知图判断函数极值1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在
141、x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度二：已知函数求极值2设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值解：(1)由于f(x)3x22axb，则f(1)32ab2a，解得b3；f(2)124abb，解得a.所以f(x)x3x23x1，f(x)3x23x3，于是有f(1)，f(1)3，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，则g(x)(3x29x)ex，令g(x)0得
142、x0或x3，于是函数g(x)在(，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，)上单调递减所以函数g(x)在x0处取得极小值g(0)3，在x3处取得极大值g(3)15e3.角度三：已知极值求参数3设f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1处取得极值，则a的值为_解析：由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得a，又当a时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a.答案：类题通法利用导数研究函数极值的一般流程(重点保分型考点师生共研)必备知识函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(
143、x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值提醒函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念典题例析(2015洛阳统考)已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解：因f(x)kln x，f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，f(x)在上单调递减f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.若k0，f(x).若k0，则在上恒有0，由ke，则x0，0，f(x)在上单调递减f(x)minf(e)kln ek1，f(x)m
144、axfek1.综上，当k0时，f(x)min，f(x)maxe1；当k0且k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切， (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)得f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解：(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点
145、，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.类题通法求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值演练冲关已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3
146、ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.A卷夯基保分一、选择题1当函数yx2x取极小值时，x()A.BCln 2 Dln 2解析：选B令y2xx2xln 20，x.2(20
147、15济宁一模)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：选Af(x)x，且x0.令f(x)0，得x1; 令f(x)0，得0x0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.5已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B.C. D1解析：选Df(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，02.当0x0，f(x)在上单调递增；当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减，f(x)maxflna1，解得a1.6(2015山东日照月考)如果函
148、数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中正确的是()A B C D解析：选D当x(3，2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(2,3)时，f(x)0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_解析：令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)答案：(1,1)10已知f(x)x
149、36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0.正确结论的序号是.答案：三、解答题11已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值
150、解：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值12(2015衡水中学二调)已知函数f(x)xln x，g(x
151、)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数yg(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间(t0)上的最小值解：(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e.所以切线方程为：ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当t时，在区间上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t.当0tf(x)；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围解：(1)f(
152、x)2axex，令f(x)f(x)ax(x2)0.当a0时，无解；当a0时，解集为x|x2；当a0时，解集为x|0x2(2)设g(x)f(x)2axex，则x1，x2是方程g(x)0的两个根g(x)2aex，当a0时，g(x)0时，由g(x)0，得xln 2a，当x(，ln 2a)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(ln 2a，)时，g(x)0时，方程g(x)0才有两个根，g(x)maxg(ln 2a)2aln 2a2a0，得a.故实数a的取值范围是.2(2014江西高考)已知函数 f(x)(4x24axa2)，其中 a0.则f(x).由f(x)0得0x2.故函数f(x)的单调递增区间为和
153、(2，)(2)f(x)，a0，由f(x)0得x或x.当x时，f(x)单调递增；当x，时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)20，且f0.当1时，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14时，即8a4时，即a8时，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意综上有，a10.3(2015云南第一次检测)已知f(x)ex(x3mx22x2)(1)
154、假设m2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)当m2时，f(x)ex(x32x22x2)，其定义域为(，)则f(x)ex(x32x22x2)ex(3x24x2)xex(x2x6)(x3)x(x2)ex，当x(，3)或x(0,2)时，f(x)0; f(3)f(0)f(2)0，f(x)在(，3)上单调递减，在(3,0)上单调递增；在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，当x3或x2时，f(x)取得极小值；当x0时，f(x)取得极大值，f(x)极小值f(3)37e3，f(x)极小值f(2)2e2，f
155、(x)极大值f(0)2.(2)f(x)ex(x3mx22x2)ex(3x22mx2)xex.f(x)在上单调递增，当x时，f(x)0.又当x时，xex0，当x时，x2(m3)x2m20，解得m4，当m时，f(x)在上单调递增第三课时导数与函数的综合问题(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域
156、；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0
157、，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答演练冲关某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，
158、每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值
159、，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(重点保分型考点师生共研)典题例析(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线
160、ykx2只有一个交点类题通法利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现演练冲关已知函数f(x)(2a)x2(1ln x)a.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间上无零点，求a的最小值解：(1)当a1时，f(x)x12ln x，则f(x)1，定义域x(0，)由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)，(2)f(x)
161、(2a)(x1)2ln x，令m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2ln x，x0，则f(x)m(x)h(x)，当a2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，若f(x)在上无零点，则mh，即(2a)2ln ，a24ln 2，24ln 2a2，当a2时，在上m(x)0，h(x)0，f(x)0，f(x)在上无零点由得a24ln 2，amin24ln 2.(常考常新型考点多角探明)多角探明导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题.角度一：证明不等式
162、1(2015唐山一模)已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1，且x0，证明：g(x)1.解：(1)f(x)xex.当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)的最大值为f(0)0.(2)证明：由(1)知，当x0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)1等价于f(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1,0)时，0x1,0ex1，则0xex1，从而当x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减当1x0时，h(x)h(0)0，即g(x)1.综上，总有g(x)1
163、.角度二：不等式恒成立问题2已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，ln x恒成立解：(1)由题意知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)(x(0，)又f(x)xln x，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf.设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，ln x恒成立角度三：存在型不等式成立问题3(2015新乡调研
164、)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)m
165、in1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以e(a1)，所以a的取值范围为.类题通法导数在不等式问题中的应用问题解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可
166、知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题A卷夯基保分1一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，k
167、，则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100)由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0，f(x)单调递减；当20x100时，f(x)0，f(x)单调递增当x20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少2(2015山西四校联考)已知f(x)ln xxa1.(1)若存在x(0，)使得f(x)0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x1时，在(1)的条件下，x2axaxln x成立解：(1)原题即为存在x0使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.当0x1时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(
168、x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范围是0，)(2)证明：原不等式可化为x2axxln xa0(x1，a0)令G(x)x2axxln xa，则G(1)0.由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立，即x2axax1nx成立3(2014四川高考)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)
169、内有零点证明：e2a0，x1)，所以g(x).设h(x)x1ln x，h(x)1.当x1时，h(x)10，h(x)是增函数，h(x)h(1)0，所以g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，h(x)1h(1)0，所以g(x)0，故g(x)在(0,1)上为增函数；所以g(x)在区间(0,1)和(1，)上都是单调递增的命题点一导数的运算及几何意义命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1(2014大纲卷)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2 D1解析：选C由题意可得yex1xex1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C.2(2014新课
170、标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.3(2013江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：因为f(ex)xex，所以f(x)xln x(x0)，所以f(x)1，所以f(1)2.答案：24(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析：yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案：31(2012辽
171、宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得01时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以01，所以k1.故选D.3(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1 处取到极大值 C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析：选C法一：当k1时，f(x)(ex1)(x1)，0,1是函数f(x)的零点当0x1时，
172、f(x)(ex1)(x1)1时，f(x)(ex1)(x1)0,1不会是极值点当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是0,1，但是当0x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C.法二：当k1时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)0，故A、B错；当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x21)ex2x2(x1)(x1)ex2，故f(x)0有一根为x11，另一根x2(0,1)当x(x2,1)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)在x1处取得极小值故选C.4(2014江西高考)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是()解析
173、：选B分两种情况讨论：当a0时，函数为yx与yx，图象为D，故D有可能；当a0时，函数yax2x的对称轴为x，对函数ya2x32ax2xa求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令y0，则x1，x2，所以对称轴x介于两个极值点x1，x2之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能故选B.5(2014陕西高考)设函数 f(x)ln x，m R.(1)当me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1 恒成立，求 m的取值范围解：(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在
174、(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数
175、g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点(3)对任意的ba0，1恒成立等价于f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减，由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x0)恒成立，m，m的取值范围是.6(2014北京高考)已知函数f(x)xcos xsin x，x.(1)求证：f(x)0；(2)若a0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时，恒有f
176、(x)g(a)4.解：(1)因为a0，1x1，所以()当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a,1)上是增函数；所以g(a)f(a)a3.()当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a)，()当0a1时，g(a)a3.若xa,1，h(x)x33x3aa3，得h(x)3x23，则h(x)在(a,1)上是增函数，所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0a0，知t(a)在(0,1)上是增函数所以t(a)t(1)
177、4，即h(1)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x(1，)时，f(x)0，b1恒成立令g(x)1，可得g(x)，g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，实数b的取值范围是(，02已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b；(2)求证：f(x)g(x)(x0)解：(1)设曲线yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)，依题意得即由x02a，得x0a或x03a(舍去)，则ba22a23a2ln a
178、a23a2ln a.(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x0)，则F(x)x2a(x0)，由F(x)0得xa或x3a(舍去)当x变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，)上的最小值是F(a)f(a)g(a)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)3(2014辽宁高考)已知函数f(x)(xcos x)2sin x2，g(x)(x) 1.证明：(1)存在唯一x0，使 f(x0)0；(2)存在唯一x1，使 g(x1)0，且对(1)中的x0，有 x0x1.证明：(1)当x 时，f(x)sin x2cos x0，所以f(x)在上为增函数，又f(0)20，所以存在唯一x0，使f(x0)0.(2)当x时，化简得g(x)(x)1.令tx，记u(t)g(t)t1，t，则u(t).由(1)得，当t(0，x0)时，u(t)0.在上u(t)为增函数，由u0知，当t时，u(t)0，所以u(t)在上无零点在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)1及u(x0)0知存在唯一t0(0，x0)，使u(t0)0.于是存在唯一t0，使u(t0)0.设x1t0，则g(x1)g(t0)u(t0)0，因此存在唯一的x1，使g(x1)0.由于x1t0，t0.