1、2.1.2数列的递推公式(选学)课时过关能力提升1已知数列an满足a1=1,an=an-1+n(n2),则a5为()A.13B.14C.15D.16解析由an=an-1+n(n2),得an-an-1=n,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加得a5-a1=2+3+4+5=14,所以a5=14+a1=14+1=15.答案C2在数列an中,已知a1=1,an+1=an2-1(n1),则a1+a2+a3+a4+a5等于()A.-1B.1C.0D.2解析由已知an+1=an2-1=(an+1)(an-1),得a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1,故a1+a2
2、+a3+a4+a5=-1.答案A3已知数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12an1.若a1=67,则a2 016的值为()A.67B.57C.37D.17解析因为a1=67,所以a2=2a1-1=57,a3=2a2-1=37,a4=2a3=67.故an是以3为周期的周期数列,即a2 016=a3672=a3=37.答案C4已知在数列an中,a1=2,an=an-1+2(n2),则an的通项公式为()A.an=3nB.an=2nC.an=nD.an=12n答案B5已知a1=1,an+1=2anan+2(nN+),依次写出an的前5项为,归纳出an=.解析已知题中已给出an的第
3、1项即a1=1,根据递推公式:an+1=2anan+2,将n=1,2,3,4依次代入可得这个数列的前5项,所以a2=23,a3=12=24,a4=25,a5=13=26.所以an=2n+1.答案1,23,12,25,132n+16已知在数列an中,an=2n+1.在数列bn中,b1=a1,当n2时,bn=abn-1,则b4=,b5=.解析题目中的关系式也是递推关系式,不同的是两个不同数列中的项的关系,可以逐个推导.an=2n+1,bn=abn-1(n2),b1=a1=3,b2=ab1=a3=7,b3=ab2=a7=15,b4=ab3=a15=31,b5=ab4=a31=63.答案31637设数
4、列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,nN+,则an=.解析a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,当n2时,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=n-13,则由-,得3n-1an=13.an=13n(n2).当n=1时,a1=13符合题意,an=13n.答案13n8在数列an中,a1=2,an+1=an+3n+2,求an.解an+1-an=3n+2,an-an-1=3n-1(n2),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n(3n+1)2(n2).当n=1时,a1=12(31+1)=2符合上式,an=32n2+n2.9已知数列an满足a
5、1=2,an+1=an+ln1+1n,写出该数列的前四项并求数列的通项公式.解a1=2,an+1=an+ln1+1n,a2=a1+ln(1+1)=2+ln 2,a3=a2+ln1+12=2+ln 2+ln32=2+ln 3,a4=a3+ln1+13=2+ln 3+ln43=2+ln 4.由an+1=an+ln1+1n可得,an+1-an=ln1+1n=lnn+1n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=lnnn-1+lnn-1n-2+lnn-2n-3+ln32+ln21+2=lnnn-1n-1n-2n-2n-33221+
6、2=ln n+2(n2).当n=1时,a1=ln 1+2=2符合上式,an=ln n+2.故该数列的通项公式为an=ln n+2(nN+).10对于任意定义域为D的函数f(x),按如图所示的程序框图构造一个数列发生器.定义f(x)=x-1x+3,xn+1=f(xn).(1)若输入x1=-53,则由此数列发生器产生一个数列xn,请写出数列xn的所有项.(2)若输入的初始数据x1=1,试猜想此数列发生器产生的数列xn的通项公式.解(1)x1=-53,x2=-53-1-53+3=-2,x3=-2-1-2+3=-3,x3D,数列xn的所有项为-53,-2,-3.(2)将x1=1=21-1代入得,x2=1-11+3=0=22-1,x3=0-10+3=-13=23-1,x4=-13-1-13+3=-12=24-1,x5=-12-1-12+3=-35=25-1,猜想:xn=2n-1.
