1、1.1.2余弦定理课时过关能力提升1已知在ABC中,abc=113,则cos C的值为()A.23B.-23C.12D.-12答案D2在ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由2cos Bsin A=sin C,得a2+c2-b2aca=c,所以a=b.所以ABC为等腰三角形.答案C3已知在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高是()A.322B.332C.32D.33解析由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=9+16-13234=12.sin A=32.S
2、ABC=12ABACsin A=123432=33.设边AC上的高为h,则SABC=12ACh=124h=33.h=332.答案B4已知在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,则sinBAC=()A.1010B.105C.31010D.55解析在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=2+9-22322=5,即得AC=5.由正弦定理ACsinABC=BCsinBAC,即522=3sinBAC,所以sinBAC=31010.答案C5已知在ABC中,B=60,b2=ac,则ABC一定是三角形.解析因为B=60,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2acc
3、os B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又B=60,所以ABC是等边三角形.答案等边6已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=42bc,则sin A=.答案137设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B=.解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=1+4-21214=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=1-142=154.答案1548如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.解析ADA
4、C,DAC=2.sinBAC=223,sinBAD+2=223,cosBAD=223.由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=(32)2+32-2323223=3.BD=3.答案39在ABC中,已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解在ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=100+36-1962106=-12,ADC=120,ADB=60.在ABD中,AD=10,B=45,ADB=60,由正弦定理,得ABsinADB=ADsinB,AB=ADsinADBsinB=
5、10sin60sin45=103222=56.10在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2bcos A.(1)求证:A=B;(2)若ABC的面积S=152,cos C=45,求c的值.(1)证明因为c=2bcos A,由正弦定理,得sin C=2sin Bcos A,所以sin(A+B)=2sin Bcos A,所以sin(A-B)=0.在ABC中,因为0A,0B,所以-A-B,所以A=B.(2)解由(1)知a=b.因为cos C=45,又0C,所以sin C=35.又因为ABC的面积S=152,所以S=12absin C=152,可得a=b=5.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=10.所以c=10.11设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,并且sin2A=sin3+Bsin3-B+sin2B.(1)求A的值;(2)若ABAC=12,a=27,求b,c(其中bb知c=6,b=4.