1、1 简单几何体考 纲 定 位重 难 突 破1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.掌握简单几何体的分类3.在描述和判断简单几何体结构特征的过程中，培养学生的观察能力和空间想象能力.重点：简单旋转体、简单多面体的结构特征及有关概念的识别与判断难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、简单几何体1简单几何体包括：、2简单旋转体：一条绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；的旋转面围成的几何体叫作旋转体3简单多面体：若干个平面围成的几何体叫作多面体围成多面
2、体的各个多边形叫作多面体的；相邻两个面的叫作多面体的棱；棱与棱的叫作多面体的顶点简单旋转体简单多面体平面曲线封闭多边形面公共边公共点二、几种简单旋转体名称定义图形表示相关概念球以半圆的所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的；球的半径：连接球心和球面上任意一点的；球的直径：连接球面上两点并且过的线段直径球面圆心线段球心名称定义图形表示相关概念圆柱以所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在上这条边的长度；底面：垂直于的边旋转而成的矩形的一边旋转轴旋转轴圆面名称定义图形表示相关概念圆锥以直角三角形的所在的直线为旋
3、转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台以直角梯形所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台侧面：的边旋转而成的曲面；母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线一条直角边垂直于底边的腰 不垂直于旋转轴 三、几种简单多面体名称图形表示结构特征侧面的形状棱柱两个面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行平行四边形正棱柱底面是的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)矩形互相平行正多边形名称图形表示结构特征侧面的形状棱锥有一个面是，其余各面是的三角形三角形正棱锥底面是，且各侧面的棱锥全等的棱台用一个棱锥底面的平面去截棱锥，
4、底面与截面之间的几何体梯形正棱台用截得的棱台全等的多边形有一个公共顶点 正多边形全等等腰三角形平行于正棱锥等腰梯形双基自测1下列关于棱柱的说法中正确的是()A棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形B棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高C棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行解析：由棱柱的定义，知 A 不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项 B，故 B 不正确，C 不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D 显然正确故选 D.答案：D2下列图形中，不能折成三棱柱的是()解析：C 项中两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱答案：C3.下列说法中正确的
5、是()A圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C圆柱不是旋转体D圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转而成的，故 A 错误；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，故 B 错误；圆柱是旋转体，故C 错误，D 正确答案：D4有下列说法：球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；球的直径是球面上任意两点间的线段；用一个平面截一个球，得到的是一个圆；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球其中正确的有.解析：球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭
6、的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此正确；如果球面上两点的连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以错误答案：探究一 旋转体概念及其结构特征的理解典例 1 判断下列说法是否正确，请说明理由：(1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；(2)圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的；(3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(4)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆
7、面旋转一周形成的旋转体；(5)球的半径是球面上任意一点与球心的连线；(6)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线解析(1)正确由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所以分别绕两条直角边旋转得到的两个圆锥的底面大小及母线长度、高等都相等，所以是两个相同的圆锥(2)正确由圆柱母线的定义知，圆柱的任意两条母线是平行的(3)错误用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不能得到一个圆锥和一个圆台(4)正确由球的定义易知该说法正确(5)正确由球的定义可知，球面上任意一点与球心的连线都是半径(6)正确由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点
8、的连线都是母线圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质如下表所示：圆柱圆锥圆台球底面两底面平行且半径相等的圆面圆面两底面平行且半径不相等的圆面无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无平行于底面的截面与两底面半径相等的圆面与底面半径不相等的圆面与两底面半径不相等的圆面无轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面1.如图，已知一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线 l旋转 180，请说出所得几何体的结构特征解析：正三角形绕直线 l 旋转 180得到的几何体是圆锥，圆面绕直线 l 旋转 180得到的几何体是球体，所以得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体探究
9、二 简单多面体的概念及结构特征的理解典例 2 如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，判断是几棱柱并找出棱柱的底面；如果不是，请说明理由(3)几何体 A1EFD1-ABCD 是棱台吗？解析(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面它们互相平行且都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行(2)截面 BCFE 右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中BEB1 和CFC1 是底面截面 BCFE 左下方部分也是棱柱，且是四
10、棱柱，其中四边形 ABEA1 和 DCFD1 是底面(3)因为 AA1，DD1不相交，所以 AA1，DD1，BE，CF 延长后不交于一点，因此不是棱台判断几何体是否为棱锥、棱台的方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点2观察下列各图的结构特征，指出其中的棱柱、棱锥和棱台，并进行分类和符号表示解析：题图中(1)(2)(3)均为棱柱，其中(1)为四棱柱，记作四棱柱 ABCD-A1B1C1D1；(2)为 六 棱 柱，记 作 六 棱
11、柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1；(3)为 五 棱 柱，记 作 五 棱 柱ABCDE-A1B1C1D1E1.图中(4)(5)(6)均为棱锥，其中(4)为三棱锥，记作三棱锥 P-ABC；(5)为四棱锥，记作四棱锥 P-ABCD；(6)为五棱锥，记作五棱锥 P-ABCDE.图中(7)(8)均为棱台，其中(7)为四棱台，记作四棱台 ABCD-ABCD；(8)为三棱台，记作三棱台 ABC-A1B1C1.探究三 简单几何体的有关计算典例 3 把一个长、宽分别为 8 和 4 的长方形卷成一个圆柱，求圆柱的轴截面的面积解析(1)若以 8 为母线，则高为 8，底面周长为 4，设底面圆的半径为 r，则
12、 2r4.所以 r2，所以轴截面的面积 S8432.(2)若以 4 为母线，则高为 4，底面周长为 8，设底面圆的半径为 r，则有 2r8，所以 r4，所以轴截面的面积 S4832.由(1)(2)，知所求圆柱的轴截面的面积为 32.简单几何体中的计算策略1解决旋转体中有关量的计算问题，关键是作出轴截面，在轴截面中，通过矩形、三角形、梯形构造直角三角形，利用勾股定理进行计算求解2棱锥、棱台的基本量的计算，一般都是转化到棱锥的三个特征直角三角形，棱台的三个特征直角梯形中解决3一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2.(1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的
13、母线长解析：(1)过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为 ABCD，如图所示作 AMBC 于点 M.记圆台的上、下底面的圆心分别为 O1，O，连接 O1O.由已知可得上底面半径 O1A2 cm，下底面半径 OB5 cm，且腰长 AB12 cm，所以 AM 122323 15(cm)，即圆台的高为 3 15 cm.(2)如图，延长 BA，OO1，CD 交于点 S，设截得此圆台的圆锥的母线长为 l.则由SAO1SBO，可得l12l25，解得 l20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.旋转体中的计算问题典例(本题满分 12 分)一个圆锥的底面半径为 2 cm，高为 6 cm，在圆锥内
14、部有一个高为 x cm 的内接圆柱(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S；(2)当 x 为何值时，S 最大？规范解答(1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面半径为 r cm，则r26x6，得 r6x3，3 分所以 S23x24x.6 分(2)S23x24x23(x3)26，10 分所以当 x3 时，Smax6 cm2.12 分规范与警示 处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高是解题的关键点处求 S 最大值时容易失分，一是转化不对造成失分，二是不知如何求而失分随堂训练1下列几何体是棱台的是()解析：A 项中的几何体的四条侧棱延长后不相交于一点；B、C 两项中的几何体的截面与底面不平行；只有 D 项
15、中的几何体符合棱台的定义与特征答案：D2若正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥一定不是()A三棱锥 B四棱锥C五棱锥D六棱锥解析：当棱锥的底面是正六边形时，有且只有底面的中心到正六边形的各顶点的距离与正六边形的边长相等，故正六棱锥的侧棱长与底面边长一定不相等答案：D3将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是_解析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得的几何体为一个圆柱和两个圆锥答案：一个圆柱和两个圆锥4圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 cm2，母线所在直线与轴的夹角是 45，求这个圆台的高、母线长和两底面半径解析：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为 x cm,3x cm，延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S.在 Rt SOA 中，ASO45，则SAO45，所以 SOAO3x，SO1A1O1x，所以 OO12x.又 S 轴截面12(6x2x)2x392，所以 x7.所以圆台的高 OO114 cm，母线长 AA1 2OO114 2 cm，两底面半径分别为 7 cm,21 cm.课时作业
