1、第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 第四章 平面向量考纲解读 1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点预测 2021 年会从以下几点进行命题：向量的坐标运算及线性表示；根据向量共线求参数值；共线向量与其他知识综合题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主1 基础知识过关 PART ONE 1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个 01 _向量，那么对于这一平面
2、内的任意向量 a，02 _一对实数 1，2，使 a 03 _.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 04 _把一个向量分解为两个 05 _的向量，叫做把向量正交分解2.平面向量的坐标运算设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 01 _，ab02 _，a 03 _，|a|x21y21，|ab|x2x12y2y12.3.平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 01 _.不共线有且只有1e12e2基底互相垂直(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x1y2x2y101.概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组
3、基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2 满足 1a1b2a2b，则 12，12.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)设平面向量 a(1,0)，b(0,2)，则 2a3b 等于()A.(6,3)B(2，6)C.(2,1)D(7,2)解析 2a3b2(1,0)3(0,2)(2,0)(0,6)(2，6).答案解析(2)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0,0
4、)，e2(1，2)B.e1(1,2)，e2(5,7)C.e1(3,5)，e2(6,10)D.e1(2，3)，e212，34解析 对于 A，e1e2，不能作为基底；对于 B，17250，所以 e1 与 e2 不共线，可以作为基底；对于 C，e22e1，所以 e1e2，不能作为基底；对于 D，e14e2，所以 e1e2，不能作为基底.答案解析(3)如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若AEABAC，则 的值为()A.12B12C.1 D1解析 由题意得AEACCEAC12AB 12ABAC，又AEABAC，由平面向量基本定理得 12，1，所以 12.答案解析(4)设 e1，e2 是不
5、共线的两个向量，且 e1e20，则 22_.解析 解法一：假设 0，则由 e1e20 得 e1e2，则 e1，e2共线，与 e1，e2 不共线矛盾，所以 0，同理可得 0，所以 220.解法二：因为 0e10e20，e1，e2 不共线，又因为 e1e20，所以由平面向量基本定理得 0，所以 220.解析02 经典题型冲关 PART TWO 1.如图，有 5 个全等的小正方形，BD xAEyAF，则 xy 的值是_题型一 平面向量基本定理及其应用1解析 由平面向量的运算可知BD AD AB，AD 2AE，ABAH HB2AFAE，所以BD AD AB2AE(2AFAE)3AE2AF，注意到AE，
6、AF不共线，且BD xAEyAF，即 xAEyAF3AE2AF，所以 x3，y2，所以 xy1.解析2(2019西安调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，若AEmABAD，则实数 m 的值为_13解析 由 N 是 OD 的中点，得AN12AD 12AO 12AD 14(AD AB)34AD 14AB，又因为 A，N，E 三点共线，故AEAN，即 mABAD 34AD 14AB，又AB与AD 不共线，所以m14，134，解得m13，43，故实数 m13.解析1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(
7、1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要注意运用平面几何的一些性质定理2.运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算(3)利用“唯一性”建立方程组如举例说明 2.1如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB211AC，则实数 m 的值为_311解析 设BPBN，P 是 BN 上的一点，AN13NC
8、，则APABBPABBNAB(ANAB)(1)ABAN(1)AB4ACmAB 211AC.m1，4 211，解得 811，m 311.解析2(2019衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若 c 与 xayb(x，y 为非零实数)共线，则xy的值为_65解析 设 e1，e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由 c 与 xayb 共线，得 c(xayb)，所以 e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以2xy1，x2y2，所以x3，y 52，则xy的值为65.解析1.已知
9、点 A(1,3)，B(4，1)，则与AB同方向的单位向量是()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35题型二 平面向量的坐标运算解析 ABOB OA(4，1)(1,3)(3，4)，与AB同方向的单位向量为 AB|AB|35，45.答案解析2.已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42
10、)(2)因为 mbnc(6mn，3m8n)，所以6mn5，3m8n5，解得m1，n1.解(3)设 O 为坐标原点，因为CM OM OC 3c，所以OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，所以 M(0,20)，又因为CN ON OC 2b，所以ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，所以 N(9,2)所以MN(9，18).解平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则1.(2019厦门外国语学校模拟)已知点 A(1,1)，B(0,2)，若向量AC
11、(2,3)，则向量BC()A.(3，2)B(2，2)C.(3，2)D(3,2)解析 由已知，得ABOB OA(1,1)，则BCACAB(2,3)(1,1)(3,2).答案解析2.已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于()A.12a32bB.12a32bC.32a12bD32a12b解析 设 cab.则(1,2)(1,1)(1，1)，所以1，2，解得12，32，所以 c12a32b.答案解析角度 1 利用向量共线求参数的值1.(1)(2018全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _；(2)平面内有三点 A(0，3)，B(3,3)，C(
12、x，1)，且 A，B，C 三点共线，则 x_.题型三 平面向量共线的坐标表示 121解析(1)由题意可得 2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即 12.(2)由题意知AB(3,6)，BC(x3，4)因为 A，B，C 三点共线，所以AB与BC共线，所以 3(4)6(x3)0，解得 x1.解析角度 2 向量共线综合问题2.(2019山东德州一模)已知ABC 的三边分别是 a，b，c，设向量 m(sinBsinA，3ac)，n(sinC，ab)，且 mn，则 B 的大小是()A.6B.56C.3D.23答案解析 因为 mn，所以(ab)(sinBsinA)sinC(3ac)由正弦定理
13、得，(ab)(ba)c(3ac)，整理得 a2c2b2 3ac，由余弦定理得 cosBa2c2b22ac 3ac2ac 32.又 0B，所以 B56.解析1.平面向量共线的充要条件的两种形式(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10.如举例说明 1(1)(2)若 ab(b0)，则 ab.2.利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解.3.向量坐标运算解决综合问题的要点(1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形
14、式，实现问题的转化(3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题.1.(2019绵阳模拟)已知向量 a(sin2，1)，b(cos，1)，若 ab,02，则 _.解析 因为 ab，所以 sin2cos，即 cos(2sin1)0，又 00，所以 sin12，解得 6.解析62.已知向量 a(1,2)，b(2,3)，若 manb 与 2ab 共线(其中 nR，且 n0)，则mn_.解析 由 a(1,2)，b(2,3)，得 manb(m2n,2m3n)，2ab(0,7)，由 manb 与 2ab 共线，可得 7(m2n)0，则mn2.解析23 课时作业 PART THREE 1.向量
15、 a，b 满足 ab(1,5)，ab(5，3)，则 b()A.(3,4)B(3,4)C.(3，4)D(3，4)A组基础关解析 由 ab(1,5)，ab(5，3)，得 2b(1,5)(5，3)(6,8)，所以 b12(6,8)(3,4).答案解析2.已知向量 msinA，12 与向量 n(3，sinA 3cosA)共线，其中 A 是ABC 的内角，则角 A 的大小为()A.6B.4C.3D.2解析 mn，sinA(sinA 3cosA)320，2sin2A2 3sinAcosA3，1cos2A 3sin2A3，sin2A6 1，A(0，)，2A6 6，116，2A62，解得 A3.答案解析3.(
16、2019绍兴模拟)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若MN 3a，则点 N 的坐标为()A.(2,0)B(3,6)C.(6,2)D(2,0)解析 因为ON OM MN OM 3a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以点 N 的坐标为(2,0).答案解析4.已知向量 a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若 a2b3c0，则 c()A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43解析 因为 a2b3c(5，2)2(4，3)3(x，y)(133x,43y)0，所以133x0，43y0，解得x133，y43，所以 c133，43.答案解析5.(2020内蒙古包钢一中月考)已知
17、在平行四边形 ABCD 中，AD(3,7)，AB(2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则CO 的坐标为()A.12，5B.12，5C.12，5D.12，5解析 CO AO 12(ABAD)12(2,3)(3,7)12(1,10)12，5.答案解析6.(2019宁波模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 p(ac，b)，q(ba，ca)，若 pq，则角 C 的大小为()A.30 B60 C90 D120解析 由题意得(ac)(ca)b(ba)0，得 a2b2c2ab，故 cosC ab2ab12，0C180，故 C60.答案解析7.(2019绵阳模拟)
18、如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得DECD，若点 P 为 CD 的中点，且APABAE，则()A3 B.52C2 D1解析 由题知APABBCCPABAD 12AB12ABAD，又 ABAEAB(AD AB)()ABAD.12，1，32，1，52，故选 B.答案解析8.已知向量 a(1，)，b(，2)，若(ab)(ab)，则 _.解析 ab(1，2)，ab(1，2)因为(ab)(ab)，所以(1)(2)(2)(1)，解得 2.答案解析 29.已知点 A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若APABAC(R)，且点 P 在直线 x2y0 上，则 的值为_解析 设 P
19、(x，y)，则由APABAC，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，所以 x54，y75.又点 P 在直线 x2y0 上，故 542(75)0，解得 23.答案解析2310.在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC，若MN xAByAC，则 x_；y_.解析 如图，在ABC 中，MN MA ABBN23ACAB12BC23ACAB12(ACAB)12AB16AC，所以 x12，y16.答案解析12161.(2019江西师大附中高考模拟)已知 Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1)n(1,1)，nR是两个向量集合，则 PQ 等于()A.(1,1)B(1
20、,1)C.(1,0)D(0,1)B组能力关解析 设 a(x，y)，则 P(x-y)x1，ym，mR，集合 P 是直线 x1 上的点的集合同理，集合 Q 是直线 xy2上的点的集合，即 P(x，y)|x1，yR，Q(x，y)|xy20，PQ(1,1)故选 A.答案解析2.(2019山东师范大学附中模拟)在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO ABBC，则()A.1 B.12C.13D.23解析 在ABD 中，BD12AB1.又 BC3，所以 BD13BC.AD ABBD AB13BC.O 为 AD 的中点，AO 12AD 12AB16BC
21、，AO ABBC，12，16，23.答案解析3.(2020南充摸底)原点 O 是ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，AOB150，BOC90，|OA|2，|OB|1，|OC|3，若OC OA OB，则()A.33B.33C 3D.3答案解析 建立如图所示的直角坐标系，则 A(2，0)，B 32，12，C32，3 32，因为OC OA OB，由向量相等的坐标表示可得2 32 32，23 32，解得3，3 3，即 3.解析4.(2019湖北省武汉市武昌区高考数学模拟)已知点 C 为扇形 AOB 的弧A B 上任意一点，且AOB120，若OC OA OB(，R)，则 的取值范围为()A.2,2
22、B(1，2C.1，2 D1,2答案解析 设半径为 1，由已知可设 OB 为 x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，则 A12，32，B(1,0)，C(cos，sin)其中BOC023，有OC OA OB(，R)，即(cos，sin)12，32(1,0)，整理得12cos，32 sin，解得 2sin3，cossin3，则 2sin3 cossin3 3sincos2sin6其中023，易知 2sin6 在0，3 上单调递增，在3，23 上单调递减，由单调性易得其值域为1,2.解析5.已知梯形 ABCD，其中 ABDC，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)
23、，则点 D 的坐标为_解析 在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABDC，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4x,2y)，AB(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4).解析(2,4)6.(2019安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量AC(1，sin1)，BA(3,1)，BD(2，cos)，若 B，C，D 三点共线，则 tan(2019)_.解析 B，C，D 三点共线，BD xBCx(BAAC)，即(2，cos)x(4，sin)，则24x，cosxsin，得 x12，即 cos12sin，得 tan2，则 tan(2019)tan()tan2.解析2本课结束