1、第九章解析几何第一节 直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为，则斜率ktan_.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3两条直线平行与
2、垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线的倾斜角与斜率1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kktan 0k0ktan 0不存在倾斜角锐角0钝角902.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，如图所示：当取值在内，由0增大到时，k
3、由0增大并趋向于正无穷大；当取值在内，由增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，)B.C. D.(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，)，故倾斜角的取值范围是.(2)如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0，b0)，因为
4、直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12 ，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，SAOBab最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为x2y60.方法技巧1给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性2与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示
5、x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选D直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.2.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析：选D由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜
6、式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.3.若直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8解析：选C直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)222 4，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.4.若ab0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或
7、4，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.答案：165.ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标
8、为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.突破点(三)直线的交点、距离与对称问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1两条直线的交点2三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两平行直线间的距离两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线的交点问题例1(1)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)已知直线l经过点P(3,1)，且
9、被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，则直线l的方程为_解析(1)由得又0k，x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组得A，解方程组得B.由|AB|5，得2252.解得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求直线l的方程为x3或y1.答案(1)B(2)x3或y1方法技巧1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成
10、的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程距离问题例2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_解析(1)因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线
11、间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.答案(1)C(2)(1，4)或易错提醒(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为相等对称问题1中心对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于
12、点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解
13、若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解例3(1)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()A(1,6)B(6,1)C(1，6) D(1,6)(2)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10(3)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析(1)设M(x，y)，则x1，y6，M(1,6)(2)设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy3
14、0上，2(y2)(x2)30，即x2y30.(3)设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案(1)D(2)A(3)6xy60方法技巧解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.(2016
15、东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选A因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.选A.2.若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0 B1 C1 D2解析：选A直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.3.已知定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是()
16、A. B.C. D.解析：选A因为定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线xy0垂直，设直线AB的方程为xym0，将A点代入，解得m1，所以直线AB的方程为xy10，它与xy0联立解得x，y，所以B的坐标是.4.若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)则1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当m，n时等号成立答案：5.经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_解析：由方程
17、组得即P(0,2)ll3，直线l3的斜率为，直线l的斜率k1，直线l的方程为y2x，即4x3y60.答案：4x3y606.已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可
18、得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，因为kOP，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2解析：选A因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy1
19、0的距离d1，解得a.2(2013新课标全国卷)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D. 解析：选B法一：(1)当直线yaxb与AB，BC相交时，如图所示易求得：xM，yN.由已知条件得：1，a.点M在线段OA上，10，0ba.点N在线段BC上，01，b1.由解得b.(2)当直线yaxb与AC，BC相交时，如图所示设MCm，NCn，则SMCNmn，mn1.显然，0n.又0m且mn.m且m1.设D到AC，BC的距离为t，则，1.t，m.而f(m)m的值域为，即2，t.b1CD1t，1b.综
20、合(1)、(2)可得：1bkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)三、解答题11正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.12已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求
21、满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立，解得或a2，
22、b2或a，b2.第二节圆的方程本节主要包括2个知识点：1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一)圆的方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：半径：r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0a)2(y0b)2r2点在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆外(x0a)2(y0b)20)，又由圆与直线4x3y0相切可得
23、1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.3.已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A将圆的方程化成标准形式得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，则圆心(1,2)在直线上，代入整理得ab1，故aba(1a)2，故选A.4.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：根据题意得，点(1,0)关于直线yx对称的点(0,1)为圆心，又半径r1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)215.若圆(x1)2(y3)29上的相异两点P，Q关于直线kx2
24、y40对称，则k的值为_解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线kx2y40过圆心，则k(1)2340，解得k2.答案：26.求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程解：设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查
25、的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 与圆有关的轨迹问题例1已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|
26、PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的四种方法与圆有关的最值问题处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题例2已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点(1)求m2n的最大值
27、；(2)求的最大值和最小值解(1)法一：因为x2y24x14y450的圆心C(2，7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解上式得：162t162，所以m2n的最大值为162.法二：由x2y24x14y450，得(x2)2(y7)28.因为点M(m，n)为圆上任意一点，故可设即m2n22cos 2(72sin )162cos 4sin 16sin()162sin()，故m2n的最大值为162.(2)记点Q(2,3)因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有公共点，所以2.可得
28、2k2，所以的最大值为2，最小值为2.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x3，y4)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和.2.已知实数x，y满足方程x2y24x10，(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和
29、最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看成是直线yxb在y轴上的截距当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A，B处分别取得最小值，最大值因为圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.
30、全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2015新课标全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8 C4 D10解析：选C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C.2(2015新课标全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0
31、，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.答案：2y23(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.课时达标检测 重点保分课
32、时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1方程x2y22x4y60表示的图形是()A以(1，2)为圆心，为半径的圆B以(1,2)为圆心，为半径的圆C以(1，2)为圆心，为半径的圆D以(1,2)为圆心，为半径的圆解析：选D由x2y22x4y60得(x1)2(y2)211，故圆心为(1,2)，半径为.2圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，故圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x
33、2y210y0.3若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()Ax2y21 B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：选A因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.4已知(22cos ，22sin )，R，O为坐标原点，向量满足0，则动点Q的轨迹方程是_解析：设Q(x，y)，(22cos x,22sin y)(0,0)，(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)245设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线 x3上的动点，则|PQ|的最小值为_解析：如
34、图所示，圆心M(3，1)到定直线x3上点的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：4练常考题点检验高考能力一、选择题1方程y表示的曲线是()A上半圆 B下半圆C圆 D抛物线解析：选A由方程可得x2y21(y0)，即此曲线为圆x2y21的上半圆2圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()Ax2(y2)25 B(x2)2y25Cx2(y2)25 D(x1)2y25解析：选B因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.3已知圆C与直线yx及xy40
35、都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D由题意知xy0 和xy40之间的距离为2，所以r.又因为yx与xy0，xy40均垂直，所以由yx和xy0联立得交点坐标为(0,0)，由yx 和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.4已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.解析：选C圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点
36、N到点M的距离的最小值为d1.5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)若圆C 上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为()A7 B6 C5 D4解析：选B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m 的最大值为6.6已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()
37、A54 B.1 C62 D.解析：选A圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|5，则|PM|PN|的最小值为54.二、填空题7在平面直角坐标系内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_解析：圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2，故由题意知解得a0，b0)关于直线
38、xy10对称，则ab的最大值是_解析：由圆x2y24ax2byb20(a0，b0)关于直线xy10对称，可得圆心(2a，b)在直线xy10上，故有2ab10，即2ab12，解得ab，故ab的最大值为.答案：10已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为 _.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案：x22三、解答题11已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程解：因为圆C和直线x6y10
39、0相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y，即5x7y500上，由解得圆心为(3,5)，所以半径为，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.12已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，
40、y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.第三节直线与圆、圆与圆的位置关系本节主要包括2个知识点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.突破点(一)直线与圆的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种研究方法考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线与圆的位置关系问题例1(1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定(2)若直线xmy2m与圆x2y22x2y10相交，则实数m的
41、取值范围为()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)(0，)解析(1)法一：由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为16m2200，所以直线l与圆相交法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆相交(2)圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心C(1,1)，半径r1.因为直线与圆相交，所以d0或m4，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d2r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的
42、斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC| ，过点M的圆C的切线长为1.易错提醒求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心解析：选D将圆C的方程化为标准方程得C
43、：(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为0，m0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 圆与圆的位置关系例1分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切解将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2
44、：(x1)2(y7)250k，则圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2，k50.从而|C1C2|5.当|1|51，即46，即14k34时，两圆相交当15，即k34时，两圆外切；当|1|5，即k14时，两圆内切所以当k14或k34时，两圆相切易错提醒圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，
45、若两圆相交，则有一条公共弦，由，得(D1D2)x(E1E2)yF1F20.方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求例2已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的
46、圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和C2相交(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x3y230，两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22.方法技巧两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相离解析：选B两圆心距离d，Rr235，dRr，两圆
47、相交2.若圆C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0外切，则 m()A21 B19 C9 D11解析：选C圆C1的圆心是原点(0,0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)225m，圆心C2(3,4)，半径r2，由两圆相外切，得|C1C2|r1r215，所以m9.3.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线xy0上，则mc的值等于_解析：由题意可知线段AB的中点在直线xy0上，代入得mc3.答案：34.过圆x2y24xy10与圆x2y22x2y10的相交弦端点的圆中周长最小的圆的方程是_解析：联立圆方程得解得或两圆的两个交点分别为A，B(1，2)过两交点的圆中，以A
48、B为直径的圆的周长最小该圆圆心为，半径为，所求圆的方程为22.答案：225.过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_解析：将圆的方程化为标准方程(x3)2(y4)25，则圆心为(3,4)，半径为.由题意可设切线方程为ykx，则圆心(3,4)到直线ykx的距离等于半径，即，解得k或k，则切线方程为yx或yx.联立切线方程与圆的方程，解得两切点P、Q的坐标分别为(4,2)，由两点间的距离公式得|PQ|4.答案：4全国卷5年真题集中演练明规律 1(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析
49、：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案：42(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.解析：由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l 的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE，|CE|AB|.在RtCDE中
50、，可得|CD|24.答案：43(2014新课标全国卷)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00，即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1答案：1,14(2015新课标全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于
51、M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是(
52、)A相切 B相交C相离 D随a的变化而变化解析：选B因为直线yax1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x1)2y24的内部，故直线与圆相交2(2017西安模拟)直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定解析：选Bx2y22x2y70化为圆的标准方程为(x1)2(y1)29，故圆心坐标为(1，1)，半径r3，圆心到直线的距离d .则r2d29，而7a24a70的判别式161961800恒成立，故有r2d2，即d0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段(3)若ab0)上一点P(x0，
53、y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin ，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(ac)例1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D12解析由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA
54、|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.答案C求椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤是：例2(1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1
55、解析(1)由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又e，所以c1，则b22，故C的方程为1.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，则，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.答案(1)A(2)A方法技巧待定系数法求椭圆方程的思路求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式
56、能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知椭圆C：1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|()A4 B8 C12 D16解析：选B设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是MAN的中位线，则|DF1|AN|，同理|DF2|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8.2.(2017浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：1的焦点为F1，F2，
57、点P在椭圆C上，且|PF1|4，则F2PF1()A. B.C. D.解析：选C由题意得a3，c，则|PF2|2a|PF1|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又F2PF1(0，)，F2PF1.3.已知中心在原点，焦点坐标为(0，2)的椭圆被直线3xy20截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为_解析：根据题意可设椭圆的方程为1(ab0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b2a2)x212b2x4b2a2b20，则可得弦的中点的横坐标为，即，又a2b224，解得a227，b23，所以椭圆的方程为1.答案：14.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，1)，其右焦点到直线xy20的
58、距离为3，则椭圆的方程为_解析：据题意知b1，故可设椭圆方程为y21.设右焦点为(c,0)(c0)，它到已知直线的距离为3，解得c，所以a2b2c23，故椭圆的方程为y21.答案：y215.已知椭圆的两焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解：(1)依题意得，c1，|F1F2|2.2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a，a2，则b23.椭圆焦点在x轴上，所求椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x，y)，x0，F2F1P120，PF1所在直线的方程
59、为y(x1)则解方程组可得SPF1F2|F1F2|.突破点(二)椭圆的几何性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 标准方程1(ab0)1(ab0)图形性 质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率
60、的取值范围求解方法有以下三种：(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率例1(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，ca，.因为BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍
61、去)答案易错提醒在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根依据椭圆性质求值或范围(最值)与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种：(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围例2已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点的坐标为(3,0)，M为平面内一点，|1，且0，则|的最小值为_解析由|1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动
62、，PMAM，即PM为圆A的切线，连接PA(如图)，则|，当|minac532时，|min.答案易错提醒求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：选A如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2
63、|PF2|，|F1F2|PF2|.由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即a，2c|F1F2|PF2|，即c，则e.2. 考点一设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M为直线y2b上的一点，F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.解析：选C因为F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|F1F2|，即2c，即4b2c24c2，又b2a2c2，所以4(a2c2)c24c2，即4a27c2，则e2，故e(负值舍去)，故选C.3.已知点F1，F2分别是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C
64、2 D2解析：选C设P(x0，y0)，由题可知F1(1,0)，F2(1,0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值为2.4.如图，圆O与离心率为的椭圆T：1(ab0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则dd的最大值是()A4 B5 C. D.解析：选C易知椭圆C的方程为y21，圆O的方程为x2y21，设P(x0，y0)，因为l1l2，则ddPM2x(y01)2，因为y1，所以dd44y(y
65、01)232，因为1y01，所以当y0时，dd取得最大值，此时点P.5.已知焦点在x轴上的椭圆C：y21(a0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_解析：因为椭圆y21(a0)的焦点在x轴上，所以c，又过右焦点且垂直于x轴的直线为xc，将其代入椭圆方程中，得y21，则y ，又|AB|1，所以21，得，所以该椭圆的离心率e(负值舍去)答案：全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0
66、，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，又a2b2c2，所以，即e.故选B.2(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：选A如图所示，由题意得A(a，0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故选A.3(2013新课标全国卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦
67、点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以b29，a218，即E的方程为1.4(2012新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.解析：选C由题意可得|PF2|F1F2|，PF2x2PF1F260，所以22c，
68、所以3a4c，所以e.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3 C4 D9解析：选B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，所以25m216，解得m3或3.又m0，故m3.2在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(1,0)的距离与P到定直线x4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设点P(x，y)，由题意知，化简得3x24y212，所以动点P的轨迹C的方程为1，故选B.3已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭
69、圆C于M，N两点，且MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为()A4 B2 C2 D2解析：选C由题意得|MF1|NF1|MN|MF1|NF1|MF2|NF2|(|MF1|MF2|)(|NF1|NF2|)2a2a8，解得a2，又e，故c，即椭圆C的焦距为2，故选C.4如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2 B3 C4 D5解析：选B由题可知b22，则c，故|F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，则|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3，故选B.5椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4
70、，则椭圆的方程为_解析：由题意可知e，2b4，得b2，解得椭圆的标准方程为1.答案：1练常考题点检验高考能力一、选择题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是() A.1 B.1C.1 D.1解析：选D依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a29，b28.故椭圆C的方程为1.2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2解析：选A由题意可得2|F1F2|AF1|F1B|，即4cacac2a，故e.3已知圆C1：x22cxy20，圆C2
71、：x22cxy20，椭圆C：1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需又b2a2c2，0.即椭圆离心率的取值范围是4已知椭圆1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.y21 D.1解析：选C由题意知ac1，又b1，由得a22，b21，故c21，椭圆C的方程为y21，故选C.5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆
72、E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e .因为1b2，所以0e.6已知F1，F2为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， 的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7 C9,8 D17,8解析：选B由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1，0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，x21y2x218x2x27(3x3)，所以当x0时，有最小值7，
73、当x3时，有最大值8，故选B.二、填空题7若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.解析：由题可知c2.当焦点在x轴上时，10a(a2)22，解得a4.当焦点在y轴上时，a2(10a)22，解得a8.故实数a4或8.答案：4或88点P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_解析：由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)1|F1F2|yP3yP8，所以yP.答案：9已知椭圆1(ab0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的
74、值等于_解析：在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.答案：310.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_ 解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即b2ac，则a2c2ac，故210，即e2e10，e或e，又0e1，所以e1.答案：三、解答题11如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0
75、，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解：设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a，即a22.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.结合b2a2c2，整理得a
76、25c2.故e2.因此e(负值舍去)12.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率e.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(
77、x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x1x2| 由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为x24y212，即1.第五节双 曲 线本节主要包括2个知识点：1.双曲线的定义和标准方程；2.双曲线的几何性质.突破点(一)双曲线的定义和标准方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c
78、0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 双曲线定义的应用例1(1)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2B4C6D8(2)已知圆C：(x3)2y24，定点A(3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_解析(1)由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|P
79、F1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|.解得|PF1|PF2|4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)答案(1)B(2)x21(x1)方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1
80、|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系双曲线的标准方程双曲线的标准方程的求法1定义法根据双曲线定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.2待定系数法(1)其一般步骤为：(2)待定系数法求双曲线方程的五种类型类型一与双曲线1有公共渐近线的双曲线方程可设为(0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为yx或yx，则可设双曲线方程为(0)类型三与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2k0)或者1(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b20，b0)，因为双曲线过点P(2,1
81、)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.法二：设所求双曲线方程为1(14)，将点P(2,1)的坐标代入可得1，解得2(2舍去)，所以所求双曲线方程为y21.答案(1)A(2)B方法技巧求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置
82、，可以设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 双曲线的渐近线求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0
83、，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0)例1(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)，则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析(1)若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为双曲线的渐近线方程为yx，所以.因为A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为双曲线的渐近线方程为yx，所以.因
84、为A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.所以所求双曲线的标准方程为1.(2)如图所示，连接OA，OB，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a,0)，F(c,0)由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60.因为FA与圆O切于点A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以ba，故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.答案(1)B(2)A双曲线的离心率1求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，
85、c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解2双曲线的形状与e的关系k，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔例2(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. B. C. D.(2)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(2
86、,1) D(1,1)解析(1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，即e.(2)若ABE是锐角三角形，只需AEF45，在RtAFE中，|AF|，|FE|ac，则ac，即b2a2ac，即2a2c2ac0，则e2e20，解得1e2，又e1，则1e2，故选B.答案(1)D(2)B易错提醒求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围求参数或变量的取值范围例3已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点
87、若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y0b0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0解析：选A椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是y x，即xy0.4.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率大于，则m的取值范围为_解析：
88、由双曲线方程可得m0，所以e，解得m4或m0，故可得m的取值范围为(0,1)(4，)答案：(0,1)(4，)5.过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案：2 全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点
89、，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2解析：选A作出示意图，如图，离心率e，由正弦定理得e.故选A.2(2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.4(2014新课标全国卷)已知F是双曲线C：x2my23m
90、(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m解析：选A双曲线C的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为y xx，即yx，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.5(2015新课标全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|
91、AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案：126(2015新课标全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.答案：y21课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力1已知双曲线1(a0
92、)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1解析：选D因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.2若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选B在双曲线中离心率e ，可得，故双曲线的渐近线方程是yx.3双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()A2 B. C. D.解析：选C由渐近线互相垂直可知1，即a2b2，即c22a2，即ca，所以e.4(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：选A由焦距为2，得c.因为双曲线的
93、一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.5(2016北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab.又a2b2c28，a2.答案：2练常考题点检验高考能力一、选择题1若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B虚半轴长相等C实半轴长相等 D焦距相等解析：选D由0k0，
94、b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A B C1 D解析：选C由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，Bc，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1.5(2017江南十校联考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若0，则点P到x轴的距离为()A. B. C2 D.解析：选C由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，点P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故点P到x轴的
95、距离为|x0|2，故选C.6已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1， C(，) D，)解析：选C双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e .即双曲线离心率的取值范围为(，)二、填空题7已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲线C的方程为_解析：易得椭圆的焦点为(，0)，(，0)，a21，b24，双曲线C的方程为x21.答案：x218过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v，则双曲线的渐近线方程为_解析：由得x，由解得x，不妨设xA，x
96、B，由可得c，整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy0.答案：3xy09设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意可得|AF2|2，|AF1|4，则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245，所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|BF1|2，所以其面积为224.答案：410(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是
97、_解析：如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：2三、解答题11已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26
98、，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.12中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1，双曲线方程为1，则解得a7，m3.则b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|
99、F1F2|2，所以cosF1PF2.第六节抛 物 线本节主要包括2个知识点：1.抛物线的定义及其应用；2.抛物线的标准方程及性质.突破点(一)抛物线的定义及其应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用抛物线的定义求解距离问题例1(1)(2017赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)(2)已知
100、M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_(3)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析(1)过M点作准线的垂线，垂足是N(图略)，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)(2)依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1，5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小
101、值是5.(3)由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.答案(1)D(2)5(3)2焦点弦问题焦点弦的常用结论：以抛物线y22px(p0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径
102、长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)SAOB(其中为直线AB的倾斜角)；(5)为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，A1FB190；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线例2已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yA
103、yBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C.则kOCkOA.直线AC经过原点O.突破点(二)抛物线的标准方程及性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点坐标准线方程xxyy离心率e1焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求抛物线的标准方程1定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程标准方程有四种形式，要注意选择2待定系数
104、法(1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解另一种是设成y2mx(m0)，若m0，开口向右；若m0)，则3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y22px(p0)，则4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所以所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.抛物线的几
105、何性质例2(1)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.B(1,0)C. D(0,1)(2)若抛物线y2x的准线经过椭圆1的左焦点，则实数m的值为_解析(1)抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)(2)抛物线y2x的准线方程为x，椭圆1的左焦点坐标为(2,0)，由题意知2，所以实数m.答案(1)B(2)方法技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性抛物线方程的实际应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛
106、，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题例3一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由解建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(3，3)，B(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将B点坐标代入得92p(3)，所以p.所以抛物线方程为x23y(3y0)因为车与箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶
107、0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，则x，所以|x0| ，所以2|x0|0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y.当y3时，x.水位下降1米后，水面宽为2米答案：2全国卷5年真题集中演练明规律 1(2016全国甲卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1 C. D2解析：选Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2.故选D.2(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2
108、，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.3(2015新课标全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12解析：选B抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可
109、得|yA|3，由图象的对称性可知|AB|2|yA|6.故选B.4(2014新课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A. B. C3 D2解析：选C如图所示，过点Q作QQl交l于点Q，设l与x轴交点为M，因为4，所以|QQ|MF|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离|MF|4，所以|QF|QQ|3.故选C.5(2014新课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析：选D易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故
110、直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线2设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A3 B4 C7 D13
111、解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3的距离，即等于314.3若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则MFO的面积为()A. B. C. D.解析：选B由题意知，抛物线的准线方程为x.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b，所以SMFO.4设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1 B2 C3 D4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则|x3(x1x2x3)3.5直线l过
112、抛物线x22py(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p2p6，p4.即抛物线方程为x28y.答案：x28y练常考题点检验高考能力一、选择题1抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得弦长为2，则p()A1 B2 C4 D6解析：选B抛物线y22px(p0)的准线为x，而圆化成标准方程为x2(y1)22，圆心M(0,1)，半径r，圆心到准线的距离为，所以22()2，解得p2.2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则
113、x0()A1 B2 C4 D8解析：选A由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.3已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A. B1 C2 D4解析：选A设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线yk(x2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|x12，|QF|x22，则.联立直线与抛物线方程消去y，得k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x
114、或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：选C由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，5，又p0，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.5(2017长春模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A. B. C. D.解析：选A记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cosABB1，即cos 60，由
115、此得.6已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则()Arap BrapCrap Drap解析：选B当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.二、填空题7抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为_解析：设抛物线的准线方程为x(p0)，则根据抛物线的性质有610，解得p8，所以抛
116、物线的焦点到准线的距离为8.答案：88(2017邢台模拟)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_解析：由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，则|AA1|BB1|6，即2|MM1|6，所以|MM1|3，故M到x轴的最短距离为312.答案：29(2015荆门质检)已知F是抛物线y24x的焦点，A，B是抛物线上两点，若AFB是正三角形，则AFB的边长为_解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF
117、与x轴夹角均为30，由于y24x的焦点为(1,0)，由化简得y24y40，解得y24或y24，所以AFB的边长为84或84.答案：84或8410经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1为_解析：由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1.答案：三、解答题11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离
118、等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，联立解方程组得x，y，点N的坐标为.12.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂
119、直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值解：(1)设直线AM的方程为xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值第七节曲线与方程本节重点突破1个知识点：轨迹方程的求法.突破点轨迹方程的求法基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y
120、)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点考点贯通
121、 抓高考命题的“形”与“神” 直接法求轨迹方程例1(1)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24x(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.则动点P的轨迹方程为_解析(1)设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.(2)因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为
122、(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)答案(1)A(2)x23y24(x1)方法技巧直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性定义法求轨迹方程例2(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程(2)如图，已知ABC的两顶点坐标A(1，0)，B(
123、1,0)，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程解(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.又|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2|C1C2|6，|MC2|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a2，所以a1.又c3，则b2c2a28.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(
124、x1)(2)由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)设曲线M：1(ab0，y0)，则a24，b2a223，所以曲线M的方程为：1(y0)方法技巧定义法求轨迹方程的思路应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解代入法求轨迹方程例3设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)
125、(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.方法技巧代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，y)(2)寻找所求动点P(x，y)与已知动点Q(x，y)的关系(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x，y.(4)将x，y代入已知曲线方程中化简求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50解析：选D由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，
126、则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.即Q点的轨迹方程为2xy50.2.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21解析：选A由题意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支c7，a1，b248，点F的轨迹方程为y21(y1)3.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是_解析：由，知x2y
127、5，即点P的轨迹方程为x2y50.答案：x2y504.设过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB的中点为M，求点M的轨迹方程解：由题意知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则y1y22y ，y4x1，y4x2，式相减并将式代入，得(y1y2)y2(x1x2)当x1x2时，y2，又A，B，M，F四点共线，所以，将式代入式，得y22(x1)；当x1x2时，M(1,0)也满足这个方程，即y22(x1)是所求的轨迹方程 全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于
128、C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解：(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y
129、2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)2(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR
130、FQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解：由题意知F，设直线l1的方程为ya，直线l2的方程为yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ab|FD|ab|，SPQF.由题意可得|ab|，所以x11或x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合
131、，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以所求的轨迹方程为y2x1.3(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为
132、2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)，由l与圆M相切得1，解得k.当k时，yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.课时达标检测 重点保分课时一练小
133、题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力1已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则P点的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：选A设P点的坐标为(x，y)，则3，整理得8x28y22x4y50.2方程(x2y22x)0表示的曲线是()A一个圆和一条直线 B一个圆和一条射线C一个圆 D一条直线解析：选D依题意，题中的方程等价于xy30或注意到圆x2y22x0上的点均位于直线xy30的左下方区域，即圆x2y22x0上的点均不满足xy30，不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直
134、线xy30.3设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D如图，M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆a，c1，则b2a2c2，M的轨迹方程为1.4平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1，3)，若点C满足12 (O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆C圆 D双曲线解析：选A设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又1
135、21，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹是直线，故选A.5已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y1练常考题点检验高考能力一、选择题1已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选B设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|MF2|2a2c，所以|PF1|PO|(|MF1|MF2|)ac，所以点
136、P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆2已知A(1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2，当0时，动点M的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：选C设M(x，y)，则N(x,0)，所以2y2，(x1,0)(1x,0)(1x2)，所以y2(1x2)，即x2y2，变形为x21.又因为0，所以动点M的轨迹为双曲线3已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()Ayx(1x)(0x1)Bxy(1y)(0y1)Cyx2(0x1)Dy1x2(0x1)解
137、析：选A设D(0，)，E(1,1)，01，所以线段AD的方程为x1(0x1)，线段OE的方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点G的轨迹方程为yx(1x)(0x1)4(2017洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得
138、(x，y)(a，b)1，即axby1.将ax，b3y代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)5已知F1，F2分别为椭圆C：1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) Dx21(y0)解析：选C依题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入1得重心G的轨迹方程为3y21(y0)6.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P
139、(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是()解析：选D当P沿AB运动时，x1，设P(x，y)，则(0y1)，故y1(0x2,0y1)当P沿BC运动时，y1，则(0x1)，所以y1(0x2，1y0)，由此可知P的轨迹如D所示，故选D.二、填空题7已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，MPN为直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N，P不共线，x2，顶点P的轨迹方程为x2y24(x2)答案：x2y24(x2)8已知定点A(4
140、,0)和圆x2y24上的动点B，动点P(x，y)满足2，则点P的轨迹方程为_解析：设B(x0，y0)，由2，得即代入圆方程得(2x4)24y24，即(x2)2y21.答案：(x2)2y219设F1，F2为椭圆1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证RtABDRtAF1D，则|F1D|BD|，|F1A|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则ODF2B，从而可知|DO|F2B|(|AF1|AF2|)2，设点D的坐标为(x，y)，则x2y24.答案：x2y2410ABC的顶点A(5
141、,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故方程为1(x3)答案：1(x3)三、解答题11已知长为1的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，求点P的轨迹C的方程解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则(xx0，y)，(x，y0y)，因为，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因为|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化简得y21.所
142、以点P的轨迹方程为y21.12已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解：(1)依题意得，c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是
143、有k1k21，即1，即xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.第八节直线与圆锥曲线本节主要包括2个知识点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.圆锥曲线中弦的问题.突破点(一)直线与圆锥曲线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的根的判别式为，
144、则(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线与圆锥曲线位置关系的判定例1(1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切 C相离 D不确定(2)直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0解析(1)直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交(2)因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点答案(1)A(2)A由直线与圆锥
145、曲线的位置关系求参数例2若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合解因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10.(1)当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解(2)当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程，判别式(3a2)24(a1)2a(5a4)，令0，解得a0或a.当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24
146、x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条解析：选C结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线y1，以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线yx1.2.若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2 C1 D0解析：选B直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，圆心到直线的距离d 2，m2n24.1m21，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个3.若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. B.C.
147、D.解析：选D由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k1.即k的取值范围是.4.已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有
148、两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点突破点(二)圆锥曲线中弦的问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2| .考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 弦长问题求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解(3
149、)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1x2)2，(y1y2)2，代入两点间的距离公式(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长例1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程解(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为0
150、时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.易错提醒(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用中点弦问题处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：考法(一)由中点弦确定直线或曲线方程例2(1)(2017福州质检)抛物线C的顶
151、点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2By22xCx22y Dy22x(2)(2017江西九校联考)已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，所以抛物线C的方程为y22x.(2)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2
152、(k22k1)0，x1x2.又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案(1)B(2)x2y30考法(二)对称问题例3已知抛物线yx2上存在两个不同的点M，N关于直线l：ykx对称，求k的取值范围解法一：由题意知k0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线上关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为yxb(b0)，代入yx2，得x2xb0，所以4b0，x1x2.设MN中
153、点的坐标为(x0，y0)，则x0，y0b，因为(x0，y0)在直线l：ykx上，所以bk，所以b4.将代入，得160.所以，所以k或k2，即42，所以k2，即k或k0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|_.解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得，y0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2p2，根据弦长公式，|FP|FQ| |y1| |y2|y1y2|p2，而|OA|OB| 1p2，所以|FP|F
154、Q|OA|OB|0.答案：04.椭圆C：1(ab0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)当F2AB的面积为时，求直线的方程解：(1)因为椭圆C：1(ab0)过点，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线的倾斜角为时，A，B，SABF2|AB|F1F2|323.当直线的倾斜角不为时，设直线方程为yk(x1)，代入1得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以SABF2|y1y2|F1F2|k|k| ，所以17k4k2180
155、，解得k21，所以k1，所以所求直线的方程为xy10或xy10.5.已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称求实数m的取值范围解：由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点代入直线方程ymx解得b.由得m或m.故m的取值范围为.全国卷5年真题集中演练明规律 1(2013新课标全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)解析：选C法一
156、：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知，即，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，由抛物线的对称性可知AFx120时也符合题意结合选项知选C项法二：由|AF|3|BF|可知3，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(43x0，3y0)因为点A，B都在抛物线上，所以解得x0，y0，所以kl.故直线l的方程为y(x1)或y(x1)2(2016全国甲卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率
157、为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解：设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM
158、|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.因此得或解得k0，解得k，即k的取值范围为.故选B.3过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B通径2p2，|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且只有两条4斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0
159、.则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，故当t0时，|AB|max.5已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析：由题意得解得故椭圆C的方程为1. 答案：1练常考题点检验高考能力一、选择题1椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则()A. B.C. D.解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，1，所以.2经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3
160、D解析：选B依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得.3已知抛物线y22px的焦点F与椭圆16x225y2400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为()A2 B2 C3 D3解析：选D16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3,0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3,0)设A(x，y)，则由|AK|AF|得(x
161、3)2y22(x3)2y2，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x3.4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线上，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，y1y24，又直线的斜率为1，1，2p4，p2，抛物线的准线方程为x1.5抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4
162、 B3 C4 D8解析：选Cy24x，F(1,0)，准线l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24x联立，解得A(3,2)，AK4，SAKF424.6若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线的方程为3x4y50，可求得切点的坐标为，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2，令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(
163、0,2)，故a2b2c25，所以所求椭圆的方程为1.二、填空题7设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：c5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y(x5)，即4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得yB，则S(53).答案：8在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一条直线，与抛物线yx2相交于A，B两点，若2，则c的值为_解析：设过点C的直线为ykxc(c0)，代入yx2得x2kxc，即x2kxc0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，x1x2c，(x1，y1)，(x2，y2)，
164、因为2，所以x1x2y1y22，即x1x2(kx1c)(kx2c)2，即x1x2k2x1x2kc(x1x2)c22，所以ck2ckckc22，即c2c20，所以c2或c1(舍去)答案：29中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为_解析：由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.答案：110已知抛物线C：y28x与点
165、M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.解析：如图所示，设F为焦点，易知F(2，0)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AF|BF|)(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，由|MP|AP|，得GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.答案：2三、解答题11已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于
166、A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程解：(1)由题意可知解得a，b.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在设其方程为yk(x2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x3，y3)，由得(13k2)x212k2x12k260，所以x1x2，则y1y2k(x1x24)，所以AB的中点D的坐标为，因此直线OD的方程为x3ky0(k0)由解得y，x33ky3.因为四边形MF1NF2为矩形，所以F2MF2N0，即(x32，y3)(x32，y3)0，所以4xy0
167、.所以40.解得k.故直线l的方程为x3y20或x3y20.12(2016大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y22px(p0)于A，B两点，直线l2：x2交x轴于点Q.(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，2，求抛物线C的方程解：(1)设直线l1的方程为xmy2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得y22pmy4p0，则y1y22pm，y1y24p.k1k20.(2)设点P(x0，y0)，直线PA：yy1(xx1)，当x2时，yM，同理yN.因为2，所以4yN
168、yM2，即2，故p，所以抛物线C的方程为y2x. 第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题本节主要包括3个知识点：1.圆锥曲线中的最值问题；2.圆锥曲线中的范围问题；3.圆锥曲线中的几何证明问题.突破点(一)圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”利用几
169、何性质求最值例1设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8,12.答案C方法技巧利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法建立目标函数求
170、最值例2已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|PF|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得y02，所以P(2，2)或P(2，2)，由3，得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0得k2m，由0，k20
171、，得f.所以当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以ABP面积的最大值为.方法技巧(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等利用基本不等式求最值例3(2017太原模拟)已知椭圆M：1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)由题意，c1，b23，所以a2
172、4，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，288，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2| .(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|，因为k0，上式当且仅当k时等号成立，所以|S1S2|的最大值为.方法技巧(1)求最值问题
173、时，一定要注意对特殊情况的讨论如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.如图所示，已知直线l：ykx2与抛物线C：x22py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，(4，12)(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求ABP面积的最大值解：(1)由得x22pkx4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因为(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，1
174、2)，所以解得所以直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x22y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点P的切线与l平行时，ABP的面积最大，又yx，所以x02，故x02，y0x2，所以P(2，2)此时点P到直线l的距离d.由得x24x40，故x1x24，x1x24，所以|AB|4.所以ABP面积的最大值为8.2.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射
175、线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值解：(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.设A(x1，y1)，B(x2, y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.(*)则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2 设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可
176、得m214k2.(*)由(*)(*)可知0|FM|，点N的轨迹E为椭圆，且2a4，c，b1，轨迹E的方程为y21.(2)当AB为长轴(或短轴)时，SABC|OC|AB|2.当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为ykx，A(xA，yA)，由题意，C在线段AB的中垂线上，则OC的方程为yx.联立方程得，x，y，|OA|2xy.将上式中的k替换为，可得|OC|2.SABC2SAOC|OA|OC|.，SABC，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积的最小值是.2，ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为yx或yx.突破点(二)圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高
177、考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用判别式构造不等关系求范围例1已知A，B，C是椭圆M：1(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且0，|2|.(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P，Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|，求实数t的取值范围解(1)因为|2|且BC过(0,0)，则|OC|AC|.因为0，所以OCA90，即C(，)又因为a2，设椭圆的方程为1，将C点坐标代入得1，解得c28，b24.所以椭圆的方程
178、为1.(2)由条件D(0，2)，当k0时，显然2t0可得t21，将代入得，1tb0)的离心率为，过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)若，求弦长|AB|的取值范围解(1)由已知e，得，又当直线垂直于x轴时，|AB|，所以椭圆过点，代入椭圆方程得1，a2b2c2，联立方程可得a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，322或320)的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xky1与椭圆E交于不同的两点
179、A，B，且AOB为锐角(O为坐标原点)，求k的取值范围解：(1)易知a2，c，b20，故y1y2，y1y2.又AOB为锐角，故x1x2y1y20，又x1x2(ky11)(ky21)k2y1y2k(y1y2)1，所以x1x2y1y2(1k2)y1y2k(y1y2)1(1k2)10，所以k2，解得k，故k的取值范围是.2.已知圆心为H的圆x2y22x150和定点A(1,0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.(1)求C的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围解：(1)由x2y22x150
180、，得(x1)2y216，所以圆心为H(1,0)，半径为4.连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|MB|，所以|MA|MH|MB|MH|BH|4，又|AH|21，于是上式化简整理可得，9t.由t1，得01，所以0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)|MN|3，r2222，解得r2.r，圆C的方程为(x2)22.(2)证明：把x0代入方程(x2)22，解得y1或y4，即点M(0,1)，N(0,4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程 消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1
181、x2，x1x2.kANkBN.若kANkBN0，则ANMBNM.2kx1x23(x1x2)0，ANMBNM.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足，连接AC交DE于点P，求证：PDPE.解：(1)由e，知，所以ca，因为MF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为：y21.(2)证明：由(1)得A(2,0)，B(2
182、,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得：(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为：.整理得：y(x2)又点P在DE上，将xx0代入直线AC的方程可得：y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以PDPE.2(2017福州模拟)已知点A(4,0)，直线l：x1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线解：(1)设点M(x，y)，依题意，2，化
183、简得x2y24，即轨迹C的方程为x2y24.(2)证明：由(1)知曲线C的方程为x2y24，令y0得x2，不妨设E(2，0)，F(2,0)，如图所示设P(1，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线PE的方程为yy0(x2)，由得(y1)x24yx4y40，所以2x1，即x1，y1.直线PF的方程为y(x2)，由得(y9)x24yx4y360，所以2x2，即x2，y2.所以kAS，kAT，所以kASkAT，所以A，S，T三点共线 全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2014新课标全国卷)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标
184、原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.2(2013新课标全
185、国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因
186、为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.课时达标检测 难点增分课时设计3级训练，考生据自身能力而选一、全员必做题1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22
187、)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3
188、，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r .又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3(2017合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆
189、C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，0，0b0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为：y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不成立设直
190、线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长为 | | .2如图所示，已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q是直线x4上任意一点，求证：直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列解：(1)设直线l的方程为xky4，代入y22px得y22kpy8p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y22kp，y1y28p，而AB为直径，O为圆上一点，所以0，故0x1x2y1y2(
191、ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p，即08k2p8k2p168p，得p2，所以抛物线方程为y24x.(2)设Q(4，t)由(1)知y1y24k，y1y216，所以yy(y1y2)22y1y216k232.因为kQA，kQB，kQM，所以kQAkQB442kQM.所以直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列三、冲刺满分题1.已知椭圆C：1(0b1)，则12(当且仅当t2时取等号)，所以的最大值为.2(2017沈阳质量监测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
192、(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解：(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的方程为1.(2)法一：由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以离
193、心率e.(若设A(x1，y1)，B(x1，y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x8，y1，将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29，解得a212，故e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2.即直线PB的斜率k2的取值范围是.第十节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题本节主要包括2个知识点：1.圆锥曲线中的定点、定值问题；2.圆锥曲线中的存在性问题.突破点(一)圆锥曲线中
194、的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 圆锥曲线中的定点问题例1(2016大庆质检)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0，由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.
195、(2)证明：由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1.联立方程组整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为，同理，点Q的坐标为.所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y，即yx.所以直线l过定点.方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数
196、有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得方法(一)从特殊到一般求定值例2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值解(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，
197、原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.方法技巧定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值解决此类问题常从特征入手，求出定值，再证明这个值与变量无关方法(二)直接消参求定值例3
198、如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)若点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长为定值，并求出该定值解(1)由题意，得解得所以椭圆方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1(|x1|3)，|PF2|2(x11)2y(x11)28(x19)2，所以|PF2|(9x1)3x1.连接OM，OP(图略)，由相切条件知|PM|2|OP|2|OM|2xy8x88x，所以|PM|x1，所以|PF2|PM|3x1x13，同理可求得|QF2|QM|3x2x23，所以|F2P|F2
199、Q|PQ|336为定值方法技巧解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点解：(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，
200、B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky24y4b0.由根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0.即2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)2.如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：1上的任一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2
201、)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解：(1)证明：因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x与圆M相切，所以，化简得：(x2)k2x0y0k1y20，同理：(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是关于k的方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等的实数根，所以k1k2.因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y3x，所以k1k2为定值(2)|OP|2|OQ|2是定值，定值为9.理由如下：当M点坐标为(，)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2|OQ|29.当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为k1k
202、2，所以yyxx，因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以即所以xx，整理得xx6，所以yy3，所以|OP|2|OQ|29.3.椭圆C：1(ab0)的离心率为，P(m,0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点当m0时，.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)因为离心率为，即e，所以.当m0时，l的方程为yx，代入1并整理得x2.设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，xyx.又因为.所以a225，b216，椭圆C的方程为1.(2)证明：l的方程为xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1，y1)，B
203、(x2，y2)则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2为定值突破点(二)圆锥曲线中的存在性问题1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)点的存在性.(2)曲线的存在性.(3)最值的存在性.(4)探索命
204、题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 探究是否存在常数的问题例1 如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k2
205、1)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，2.当1时，3，为定值综上，存在常数1，使得为定值3.方法技巧解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在探究是否存在点的问题例2已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点
206、P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得0？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(x0，y0)，则x0，y0kx0mm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意.探究是否存在直线的问题例3已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F2(2,0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存
207、在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)法一：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a 2，解得a，b2a2c2642.椭圆C的标准方程为1.法二：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，故a2b24，又点P在椭圆C上，则1，故1，化简得3b44b2200，得b22，a26.椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，
208、解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2tb0)经过点P1，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由P在椭圆上得，1.依题设知a2c，则b23c2.代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)
209、由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.由于A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程
210、；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆的左焦点为F1(2,0)，所以a2b24.由题可得椭圆的右焦点为F2(2,0)，已知点B(2，)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a，所以2a34.所以a2，从而b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(2，0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E，F，设点E(x0，y0)(不妨设x00)，则点F(x0，y0)联立方程消去y得x2.所以x0，y0，所以直线AE的方程为y(x2)因为
211、直线AE与y轴交于点M，令x0，得y，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得MPN为直角，则0.即t20，即t240.解得t2或t2.故存在点P(2,0)或P(2,0)，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212.故椭圆C的方程为
212、1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)1443t20，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得4，从而t2.由于24，4 ，所以符合题意的直线l不存在全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2015新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在
213、x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意2(2015新课标全国卷)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过
214、原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k
215、3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP .将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形课时达标检测 难点增分课时设计3级训练，考生据自身能力而选一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别
216、交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x02，则直线QA1的方程为y(x2)，与直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHEkHF1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，
217、y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOAkOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，
218、SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2017河北质量检测)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y
219、2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.二、重点选做题1A为曲线y上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2y21上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存
220、在，请说明理由解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n，所以所求方程为x24y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为ykx1，联立得x24kx40，则切线PM的方程为y(xx1)，将点P(x0，y0)代入化简得x2x1x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的两根，则x1x24y04，所以y01，代入圆的方程得x00，所以存在点P(0，1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线2已知椭圆M：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1
221、)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0，即m230，所以mb0)的离心率为e，过C1的左焦点F1的直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由解：(1)直线l的方程为xy20，令y
222、0，得x2，即F1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，椭圆C1的方程为1.(2)圆心C2(3,3)到直线l：xy20的距离d，又直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2，r 2，故圆C2的方程为(x3)2(y3)24.设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(2,0)，F2(2，0)，则3，整理得2y2，它表示圆心是C，半径是的圆|CC2| ，故有2|CC2|2，故圆C与圆C2相交，有两个公共点圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|PF2|.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F
223、的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.
