1、第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是1(教材习题改编)若过两点A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m_答案：22(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_答案：x13y503已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_解析：令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为
2、1依题意2a1，解得a1或a2答案：1或21点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零3求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论1经过点A(2，3)，倾斜角等于直线yx的2倍的直线方程为_解析：直线yx的斜率k1，故倾斜角为，所以所求的直线的倾斜角为，则所求的直线方程为x2答案：x22过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，
3、所以yx，即4x3y0若直线不过原点设1，即xya则a3(4)1，所以直线的方程为xy10答案：4x3y0或xy101(2016绥化一模)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A1倾斜角与斜率k的关系当且由0增大到时，k的值由0增大到当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)2斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5,2
4、)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0故所求直线方程为2x5y0或x2y10求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判
5、断截距是否为零)已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a若a0，即直线过点(0,0)及(3,4)直线的方程为yx，即4x3y0若a0，设所求直线的方程为1，又点(3,4)在直线上，1，a7直线的方程为xy70综合可知所求直线的方程为4x3y0或xy70(2)由题意可知，所求直线的斜率为1又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)故所求直线的方程为xy10或xy70直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有：
6、(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程的问题 角度一：与基本不等式相结合的最值问题1过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解：设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所
7、以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()ABC D解析：选A由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021，故1x0角度三：与圆相结合求直线方程的问题3在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_解析：直线OA的方程为yx，代入半圆方程
8、得A(1,1)，H(1,0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B所以直线AB的方程为，即xy10答案：xy10处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|PA
9、|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5答案：52(2017衡阳一模)已知点P在直线x3y20上，点Q在直线x3y60上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，则的取值范围是_解析：依题意可得，化简得x03y020，又y00，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM0且k20，所以6k0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：由直线l：1(a0，b0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，
10、即求ab的最小值由直线经过点(1,2)得1于是ab(ab)3，因为22当且仅当时取等号，所以ab32，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为32答案：329已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2故直线l的方程为2x3y60或8x3y120(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1直线l的方程为x6y60或x6y6010如图，射线
11、OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex0，所以ex22(当且仅当
12、ex，即x0时取等号)，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S2答案：2已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k
13、1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k0，故k的取值范围是(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0，k0故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40第二节两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21当其中一条直线的
14、斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l22两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d1(教材习题改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()AB2C1 D1解析：选C由题意知1，|a1|，又a0，a12已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0若l1l2，则实数a的值为_解析：由题意，得2，解得a2答案：21在判断两
15、条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错1已知P：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，Q：a1，则P是Q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1a(1)10，即a1所以P是Q的充要条件2已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析：，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2答案：2(
16、基础送分型考点自主练透)1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选A依题意，设所求的直线方程为x2ya0，由于点(1,0)在所求直线上，则1a0，即a1，则所求的直线方程为x2y102已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2C0 D8解析：选Al1l2，2(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)，l2l3，211n0，解得n2，mn103已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1
17、与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1解：(1)由题意得解得m1，n7即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2， 解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2又1，n8即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为11已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB
18、2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2解：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50点P(a，b)在直线xy50上，ab50又点P(
19、a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA|PB|这一条件的转化处理1已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P(a，b)，则解得a3，b4P点的坐标为(3,4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由解得则P点的坐标为(3,4)答案：(3
20、,4)2已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：因为l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0(b1)又因为l1与l2的距离是，所以，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30答案：xy10或xy303已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围为_解析：由题意得，点P到直线的距离为又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是答案：对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称 角度一：点关于点对称1过点P(
21、0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40答案：x4y40角度二：点关于线对称2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_解析：设A(x，y)，由已知得解得故A答案：A角度三：线关于线对称3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 D
22、x2y10解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y301中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x
23、2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A(x，y)在直线3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直线方程为3x4y50答案：3x4y502已知点A(1,3)关于直线ykxb对称的点是B(2,1)，则直线ykxb在x轴上的截距是_解析：由题意得线段AB的中点在直线ykxb上，故解得k，b，所以直线方程为
24、yx令y0，即x0，解得x，故直线ykxb在x轴上的截距为答案：3已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60答案：6xy60一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D不能确定解析：选C由可得3x2mn0，由于3x2mn0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为2，斜率之积不
25、等于1，故不垂直2过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选C因为直线x2y20的斜率为，所以所求直线的斜率k2所以所求直线的方程为y02(x1)，即2xy20故选C3直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1,1)又直线x2y10上的点(1,0)关于直线x1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y304与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_解析：l2：6x4y30
26、化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则|c6|，解得c，所以l的方程为12x8y150答案：12x8y1505若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_解析：解方程组可得所以直线2xy10与yx1的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8a(9)2，所以a答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知A(2,3)，B(4,0)，P(3,1)，Q(m，m1)，若直线ABPQ，则m的值为()A1 B0C1 D2解析：选CABPQ，kABkPQ，即，解得m1，故选C2若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的
27、距离为()A B4C D2解析：选Cl1l2，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d3(2016浙江温州第二次适应性)已知直线l1：mxy10与直线l2：(m2)xmy10，则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由l1l2，得m(m2)m0，解得m0或m1，所以“m1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)解析：选B由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4
28、,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)5已知直线l：xy10，l1：2xy20若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析：选B因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y106已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_
29、解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或答案：或7以点A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)，D(0，2)为顶点的四边形ABCD的面积为_解析：因为kAB，kDCkAD，kBC则kABkDC，kADkBC，所以四边形ABCD为平行四边形又kADkAB1，即ADAB，故四边形ABCD为矩形故S|AB|AD|25答案：258l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为
30、k，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30答案：x2y309已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l2时，求a的值解：(1)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2可得解得a1综上可知，a1法二：由l1l2知即a1(2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由l
31、1l2，得1a法二：l1l2，A1A2B1B20，即a2(a1)0，得a10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解：依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC的方程为2xy110，联立得C(4,3)设B(x0，y0)，则AB的中点M，代入2xy50，得2x0y010，联立得B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平
32、行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D因为P(x0，y0)是直线l1：AxByC0外一点，所以Ax0By0Ck，k0若方程AxByC(Ax0By0C)0，则AxByCk0因为直线AxByCk0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线AxByCk0和直线l平行因为Ax0By0Ck，而k0，所以Ax0By0Ck0，所以直线AxByCk0不过点P2已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所
33、以直线l恒过定点(2,3)(2)由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，所以直线l的斜率kl5故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70第三节圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：，半径：2点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(
34、y0b)2r2(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r21(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC D2解析：选A因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a2(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为_解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a0，b3，故圆心C(0,3)半径r|AB|圆C的标准方程为x2(y3)22答案：x2(y3)223若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1,1)
35、在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24即a21，故1a1答案：(1,1)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一成立条件(2016浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5答案：(2，4)51(2017石家庄质检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于
36、点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()Ax2y21B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：选A因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y212圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，所以圆的方程为x2(yb)2b2因为点(3,1)在圆上，所以9(1b)2b2，解得b5所以圆的方程为x2y210y03(2015全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，
37、7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10解析：选C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C4(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29答案：(x2)2y291求圆的方程的2种方法(1)直接法：根
38、据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；
39、(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题 角度一：斜率型最值问题1(2016抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k所以的最大值为，最小值为角度二：截距型最值问题2已知实数x，y满足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2所以yx的最大值为2，最小值为2角
40、度三：距离型最值问题3已知实数x，y满足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值解：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274与圆有关的最值问题的3种常见转化法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题1设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(a
41、R)，则|PQ|的最小值为_解析：函数y的图象表示圆(x1)2y24的下半圆令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2答案：22已知m0，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_解析：因为m0，n0，直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以1，即|mn|两边平方并整理得mnmn1由基本不等式mn2可得mn12，即(mn)24(mn)40，解得mn
42、22当且仅当mn时等号成立答案：已知A(2,0)为圆x2y24上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2x
43、y10与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，点O是坐标原点，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求动点P的轨迹解：四边形MONP为平行四边形，设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则(x，y)(3,4)(x3，y4)(x0，y0)，x0x3，y0y4又点N在圆x2y24上运动，xy4，即(x3)2(y4)24又当OM与ON共线时，O，M，N，P构不成平行四边形，故动点P
44、的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆且除去两点和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1经过点(1,0)，且圆心是两直线x1与xy2的交点的圆的方程为()A(x1)2y21B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2(y1)22解析：选B由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x1)2(y1)212若圆x2y22axb20的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为()A1B2C D4解析：选B由半径r2得，2点(a，b)到原点的距离d2，故选B3点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)
45、2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：选A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)214若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：根据题意得点(1,0)关于直线yx对称的点(0,1)为圆心，又半径r1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21答案：x2(y1)215已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为_解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|CB|，得
46、(a1)212(a1)232，解得a2半径r|CA|故圆C的方程为(x2)2y210由题意知(m2)2()210，解得0m4答案：(0,4)二保高考，全练题型做到高考达标1方程y表示的曲线是()A上半圆B下半圆C圆 D抛物线解析：选A由方程可得x2y21(y0)，即此曲线为圆x2y21的上半圆2以M(1,0)为圆心，且与直线xy30相切的圆的方程是()A(x1)2y28 B(x1)2y28C(x1)2y216 D(x1)2y216解析：选A因为所求圆与直线xy30相切，所以圆心M(1,0)到直线xy30的距离即为该圆的半径r，即r2所以所求圆的方程为：(x1)2y28故选A3已知圆C的圆心是直
47、线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：选A直线xy10与x轴的交点(1,0)根据题意，圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22故选A4已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D由题意知xy0 和xy40之间的距离为2，所以r又因为xy0与xy0，xy40均垂直，所以由xy
48、0和xy0联立得交点坐标为(0,0)，由xy0和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C的标准方程为(x1)2(y1)225已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A2 B2C1 D1解析：选D因为曲线x2y22x6y10是圆(x1)2(y3)29，若圆(x1)2(y3)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(1,3)，所以13m40，解得m16设A(3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为12，则点P的轨迹图形所围成的面积是_解析：设P(x，y)，则由题意有
49、，整理得x2y210x90，即(x5)2y216，所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16答案：167(2016东城区调研)当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时，直线y(k1)x2的倾斜角_解析：由题意知，圆的半径r 1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k0，r1，所以直线方程为yx2，则有tan 1，又1圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切 D相离解析：选B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d32d1，解得k(，)答案：k(，)判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半
50、径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系这种方法的特点是计算量较小(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：(1)求圆的切线方程(切线长)；(2)求弦长；(3)由弦长及切线问题求参数 角度一：求圆的切线方程(切线长)1已知圆的方程为x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为()AyxByxCyx或yxDx1或yx解析：选C在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是
51、切线，故设切线方程为ykx，则1，所以k1，故所求切线方程为yx或yx角度二：求弦长2若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()AB1C D解析：选D因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦长为角度三：由弦长及切线问题求参数3(2017重庆适应性测试)已知圆C：(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等，则b()A BC D解析：选D记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|CB|可知，圆心C(1,2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是1
52、，解得b，选D1圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0xy0yr22弦长的2种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l21(2017湖南四地联考)若圆C：x2y22x4y
53、30关于直线2axby60对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A2 B3C4 D6解析：选C圆C的标准方程为(x1)2(y2)22，所以圆心为点(1,2)，半径为因为圆C关于直线2axby60对称，所以圆心C在直线2axby60上，所以2a2b60，即ba3，点(a，b)到圆心的距离d所以当a2时，d取最小值3，此时切线长最小，为4，所以选C2(2017山西三地五校联考)过原点且与直线xy10平行的直线l被圆x2(y)27所截得的弦长为_解析：由题意可得l的方程为xy0，圆心(0，)到l的距离d1，所求弦长l222答案：2(2016山东高考)已知圆M：x2y22ay0(a0)
54、截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离解析：选B法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2又a0，a2圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|r1r21，r1r23,1|MN|3，两圆相交法二：由题知圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，故两圆相交解决圆与圆位置关系问题的2大通法(1)处理两圆位置
55、关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到1(2017山西太原模拟)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m25)从而|C1C2|5由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故选C2若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_解析：方程x2y22ay60与x2y24两式相减得：2ay2，则y
56、由已知条件，即a1答案：1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线kxy20(kR)与圆x2y22x2y10的位置关系是()A相交B相切C相离 D与k值有关解析：选D圆心为(1,1)，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D2已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4C6 D8解析：选B圆的标准方程为(x1)2(y1)22a(a2)，圆心C(1,1)，半径r满足r22a，则圆心C到直线xy20的距离d，所以r222()22aa43已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A
57、 B1C D解析：选C圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的最小值为d14已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：因为点A(1,2)在圆x2y25上，故过点A的圆的切线方程为x2y5，令x0，得y令y0，得x5，故所求三角形的面积S5答案：5若圆x2y2mx0与直线y1相切，其圆心在y轴的左侧，则m_解析：圆的标准方程为2y22，圆心到直线y1的距离|0(1)|，解得m，因为圆心在y轴的左侧，所以m答案：二保高考，全练题型做到高考达标1若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y3
58、0相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为，因为直线l与圆C相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10圆心D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交2若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()A，4 B，4C，4 D，4解析：选A因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，所以直线ykx与直线2xyb0垂直，且直线2xyb0过圆心，所以所以3(2017大连模拟)圆
59、x2y22y30被直线xyk0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为13，则k()A1或1 B1或3C1或 D解析：选B由题意知，圆的标准方程为x2(y1)24较短弧所对圆周角是90，所以圆心(0，1)到直线xyk0的距离为r即，解得k1或34(2015重庆高考)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4C6 D2解析：选C由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1)|AC|236440又r2，|AB|240436|AB|65
60、已知直线3x4y150与圆O：x2y225交于A，B两点，点C在圆O上，且SABC8，则满足条件的点C的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C圆心O到已知直线的距离为d3，因此|AB|28，设点C到直线AB的距离为h，则SABC8h8，h2，由于dh325r(圆的半径)，因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个6若直线yx2与圆x2y22x15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方程的斜截式为_解析：圆的方程可整理为(x1)2y216，所以圆心坐标为(1,0)，半径r4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB，所以kl2由点斜式
61、方程可得直线l的方程为y02(x1)，即y2x2答案：y2x27已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_解析：由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为3，由ACBC，可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线xya0的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得a0或a6答案：0或68在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为_解析：联立解得所以圆心C(3,2)设切线方程为y
62、kx3，可得圆心到切线的距离dr，即1，解得k0或k则所求的切线方程为y3或3x4y120答案：y3或3x4y1209已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则化简，得a22a10，解得a1C(1，2)，半径r|AC|圆C的方程为(x1)2(y2)22(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，直线l的方程为yx综上所述，直线l的方程
63、为x0或3x4y010如图，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程解：(1)设圆A的半径为r由于圆A与直线l1：x2y70相切，r2圆A的方程为(x1)2(y2)220(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)即kxy2k0连接AQ，则AQMN|MN|2，|AQ|1，则由|AQ|1，得k，直线l：3x4y60故直线l的方程为x2或3x4y60三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知AC
64、，BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为()A5 B10C15 D20解析：选A如图，作OPAC于P，OQBD于Q，则|OP|2|OQ|2|OM|23，|AC|2|BD|24(4|OP|2)4(4|OQ|2)20又|AC|2|BD|22|AC|BD|，则|AC|BD|10，S四边形ABCD|AC|BD|105，当且仅当|AC|BD|时等号成立，四边形ABCD面积的最大值为5故选A2(2017湖南省东部六校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线
65、与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a,0)，则2，解得a0或a5(舍)所以圆C：x2y24(2)如图，当直线ABx轴时，x轴平分ANB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立 命题点一直线的方程、两条直线的位置关系命题
66、指数：难度：低题型：选择题1(2013天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2 D解析：选C由切线与直线axy10垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线axy10平行，所以a，解得a22(2014福建高考)已知直线l 过圆x2(y3)2 4的圆心，且与直线xy10 垂直，则l 的方程是 () Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析：选D依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y3x0，即xy30故选D 命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系命题指数：难度：中题型：选择题、填空题、解答题1
67、(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D圆的半径r，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)222(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A BC D解析：选BA(1,0)，B(0，)，C(2，)，ABBCAC2，ABC为等边三角形，故ABC的外接圆圆心是ABC的中心，又等边ABC的高为，故中心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为3(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在
68、x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2答案：2y24(2015山东高考)过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_解析：如图所示，可知OAAP，OBBP，|OP|2，又|OA|OB|1，可以求得|AP|BP|，APB60，故cos 60答案：5(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C
69、的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224答案：46(2013江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析：如图所示，圆心在直线x2上，所以切点A为(2,1)设圆心C为(2，t)，由题意，可得|OC|CA|，故4t2(1t)2，所以t，半径r2所以圆C的方程为(x2)22答案：(x2)227(2014湖北高考)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度
70、相等的四段弧，则a2b2_解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即a21，同理可得b21，则a2b22答案：28(2015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_解析：由题意，圆心与点P的连线的斜率kOP2，切线的斜率k由点斜式可得切线方程为y2(x1)，即x2y50答案：x2y509(2016全国丙卷)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析：如图所示，直线AB的方程为xy60，kAB，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD
71、|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.答案：410(2014北京高考)已知椭圆C：x22y24(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1所以a24，b22，从而c2a2b22因此a2，c故椭圆C的离心率e(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x00因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t当x0t时，y0，代入椭圆C
72、的方程，得t，故直线AB的方程为x圆心O到直线AB的距离d此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00d 又x2y4，t，故d此时直线AB与圆x2y22相切11(2015全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|解：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得kb0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1答案：11椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条
73、件，当2a|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|不存在轨迹2求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|a，|y|b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因1已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为()A BC D解析：选B由椭圆方程知c1，所以F1(1,0)，F2(1,0)因为椭圆C上点A满足AF2F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y，所以y0设P(x1，y1
74、)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以y1y0因为点P是椭圆C上的动点，所以y1，故的最大值为2若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得解得3k0，B0，AB)1设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12B8,11C8,12 D10,12解析：选C如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知|PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值为|PF1|PF2|2122F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭
75、圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 BC D解析：选C由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8|AF1|AF1F2的面积S2椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可
76、联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A1 By21C1 D1解析：选A由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，选A2已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b_解析：由题意知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以2|P
77、F1|PF2|4a24c24b2所以|PF1|PF2|2b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29所以b3答案：3椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：(1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围 角度一：求离心率的值或范围1(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C又因为F(c,0)，所以，因为BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以
78、e2，所以e(负值舍去)答案：角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2(2017泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6 D5解析：选A椭圆1的长轴在x轴上， 解得6m10焦距为4，c2m210m4，解得m81应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系2求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b
79、2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解1已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D或21解析：选D当94k0，即5kb0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A BC D解析：选B由题意，可设P因为在RtPF1F2中，|PF1|，|F1F2|2c，F1PF260，所以又因为b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因为e(0,1)，所以e3已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(
80、)A BC D解析：选C如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|2cac2cace(2017贵州省适应性考试)已知椭圆G：1(ab0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，F1MF2120，MF1F2的面积为(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2y21相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点若|AQ|BP|，求实数t的值解：(1)由椭圆性质，知|MF2|a，于是casin 60a，bacos 60a所以MF1F2的面积S(2c)b(a)，解得a2，b1所以椭圆G的方程为y21(
81、2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为yk(xt)由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d1，即k2t2k21，联立化简得(14k2)x28tk2x4(t2k21)0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2设Q(x0，y0)，有解得x0由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1x2tx0因此t，化简得k2，将其代入式，可得t1直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1
82、，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)2直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验)(2016郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p(x1，y1)，q(x2，y2)，且pq0，若直线MN过点，求直线MN的斜率解：(1)由题可得：解得m4，n1曲线C的方程为y24x21(2)设直线MN的方程为ykx，代入椭圆方程y24x21，得(k24)
83、x2kx0，x1x2，x1x2，pq(2x1，y1)(2x2，y2)4x1x2y1y20，0，即k220，k故直线MN的斜率为一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2017四川遂宁模拟)椭圆1的焦距为2，则m的值是()A6或2B5C1或9 D3或5解析：选D由题意，得c1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m41，解得m5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4m1，解得m3，所以m的值是3或5，故选D2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1解析：选C由题意知e，所以e2，即a2b2以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的
84、方程为x2y2b2，由题意可知b，所以a24，b23故椭圆C的方程为1，故选C3设椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为()A3 B3或C D6或3解析：选C由已知a2，b，c1，则点P为短轴顶点(0，)时，F1PF2，PF1F2是正三角形，若PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|，SPF1F22c故选C4(2017湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是_解析：由n228，得n4，当n4时，曲线为椭圆，其离心率为e；当n4时，曲线为双曲线，其离心率为e答案：
85、或5(2017北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212所以椭圆C的方程为1答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：选Dc225k(9k)16，所以c4，所以两个曲线的焦距相等2若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为()A BC D解析：选D不妨设椭圆C的方程为1(ab0)，则2a2b3，即a3ba29b29(a2c2)即，e，故选D3过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于
86、A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A BC D解析：选B由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2联立解得交点(0，2)，SOAB|OF|yAyB|1，故选B4(2017西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上，且|2，则F1PF2()A BC D解析：选D因为2，O为坐标原点，|2，所以|PO|，又|OF1|OF2|，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以F1PF25如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A1B1C1 D
87、1解析：选B设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为16已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_解析：圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3又b4，a5椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)答案：(5,0)7在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原
88、点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，AB过F1且A，B在椭圆C上，ABF2的周长|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4又离心率e，c2，b2a2c28，椭圆C的方程为1答案：18已知椭圆方程为1(ab0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1k2|，则椭圆的离心率为_解析：设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，|k1k2|，从而e 答案：9已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭
89、圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若AF22F2B，AF1，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc所以ac，e(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由AF22F2B，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2又由AF1(c，b)，得b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22所以椭圆的方程为110设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l
90、与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，设直线l的方程为yxc，其中c设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c
91、3，从而a3，b3故椭圆E的方程为1三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2017石家庄质检)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()ABC D解析：选B设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此椭圆C的离心率e的最大值为2(2017云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点(1)求椭圆E的方程；(2)若
92、3，求m2的取值范围解：(1)根据已知设椭圆E的方程为1(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1椭圆E的方程为x21(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得，(k24)x22mkxm240由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2由3得x13x23(x1x2)24x1x212x12x00，即m2k2m2k240当m21时，m2k2m2k240不成立，k2k2m240，m240，即01m20，c0(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲
93、线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性 质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1双曲线1的焦距为_解析：由双曲线1，易知c2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2答案：22(教材习题改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方
94、程为_解析：设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21答案：x213(2016北京高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_，b_解析：因为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，即y2x，所以2又双曲线的一个焦点为(，0)，所以a2b25由得a1，b2答案：121双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在
95、2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e(，)3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b24易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为1设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于_解析：由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|
96、PF1|817答案：172离心率为，且经过(，2)的双曲线的标准方程为_解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为1则有解得所求双曲线的标准方程为x21当双曲线焦点在y轴上时，设方程为1则有解得所求双曲线的标准方程为1答案：x21或11(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()Ay21Bx21C1 D1解析：选A由焦距为2，得c因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y212已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(
97、)A1(y0) B1(x0)C1(y0) D1(x0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)3(2016广西第一次质量检测)若以F1(，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为_解析：依题意，设题中的双曲线方程是1(a0，b0)，则有解得a22，b21因此该双曲线的标准方程是y21答案：y214焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线x21有相同渐近线的双曲线的标准方程是_解析：设所求双曲线的标准方程为x2(0)，即1，则有425，解得5，所以所求双
98、曲线的标准方程为1答案：1求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12 D6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|
99、PF2|24应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()ABCD解析：选C双曲线方程可化为1，ab，c2由得|PF1|4，|PF2|2，由余弦定理得cosF1PF22设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_解析：由双曲线的标准方
100、程为1，得a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8因为|AF1|BF1|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810答案：10双曲线的几何性质是每年高考命题的热点常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程 角度一：求双曲线的离心率(或范围)1(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：如图，由题意
101、知|AB|，|BC|2c又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2(2017广州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为()A2xy0Bx2y0C4x3y0 D3x4y0解析：选C双曲线的右焦点到左顶点的距离等于ac，右焦点到渐近线yx的距离为b，即ac2b，c2ba，a2b2c2(2ba)2，所以3b4a，所以所求渐近线方程为4x3y0角度三：求双曲线方程3(2016天津高考)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，
102、双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212故双曲线的方程为1故选D与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐
103、近线方程(3)求双曲线的方程依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解1点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)解析：选B如图，由题意知A点的纵坐标为，若ABE是锐角三角形，则必有AEF45，tanAEF1，则c2ac2a20，e2e20，1e1，1e0，b0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_解析：因为e，
104、所以ca，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即axby0，焦点为(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8答案：83(2017广州测试)已知双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且0，则双曲线C的离心率为_解析：依题意，B(0，b)，A(a,0)，F(c,0)，0，(a，b)(c，b)0，b2acc2a2，e2e10，又e1，e答案：4已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析：由题可知A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，(1x)(2x)y2x2x2y2x2
105、x23(x21)4x2x5因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，所以当x1时，取得最小值2答案：2设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使tOD，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x，即bxay0由焦点到渐近线的距离为，得又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，
106、 则x1x216，y1y2(x1x2)412解得t4，点D的坐标为(4，3)直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(7,5)，B(1，1)两点(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：yxm交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2y212xn0(nR)三等分，求实数m，n的值解：(1)设双曲线C的方程是x2y21，依题意有解得所以所求双曲线的方程
107、是2y2x21(2)将l：yxm代入2y2x21，得x24mx(2m21)0，(4m)24(2m21)8m240设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1x24m，x1x22m21，所以x02m，y0x0mm，所以P(2m，m)又圆心E(6,0)，依题意kPE1，故1，即m2将m2代入得x28x70，解得x11，x27，所以|MN|x1x2|6故直线l截圆E所得弦长为|MN|2又E(6,0)到直线l的距离d2，所以圆E的半径R ，所以圆E的方程是x2y212x260所以m2，n26一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
108、m的值是()A4BC D4解析：选C依题意得m0，双曲线方程是x21，于是有 21，m2若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选B由条件e，即，得13，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx故选B3已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足0，|3，|4，则双曲线C的离心率为()A BC D5解析：选D依题意得，2a|PF2|PF1|1，|F1F2|5，因此该双曲线的离心率e54(2017西安质检)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|_解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，
109、过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入x20，得y212，y2，|AB|4答案：45如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若|AB|4，|BC|3，则此双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21答案：x21二保高考，全练题型做到高考达标1“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k9或k25，“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条
110、件，故选A2(2017合肥质检)若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8解析：选B由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B3(2016石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A B1C2 D4解析：选C由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，AB中点坐标为，222，即x1x22，SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22，故选C4(2017河南六市第一次联考)已知点F1，F2
111、分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为()A2 B4C D解析：选C由题意，设|AB|3k，|BF2|4k，|AF2|5k，则BF1BF2，|AF1|AF2|2a5k2a，|BF1|BF2|5k2a3k4k4k2a2a，ak，|BF1|6a，|BF2|4a，又|BF1|2|BF2|2|F1F2|2，即13a2c2，e5(2017长春质检)过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为
112、()A10 B13C16 D19解析：选B由题可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|3136已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意得所以双曲线的标准方程为x21答案：x217若点P是以A(3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2y29的一个交点，则|PA|PB|_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|PB|因为点P是双曲线
113、与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|PB|2，又|PA|2|PB|236， 联立化简得2|PA|PB|16，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|52，所以|PA|PB|2答案：28已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为_解析：由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又已知|PF1|4|PF2|，所以|PF1|a，|PF2|a，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，cosF1PF21，cosF1PF2e21，解得e，即
114、e的最大值为答案：9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等可设双曲线方程为x2y2双曲线过点(4，)，1610，即6双曲线方程为x2y26(2)证明：设(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0(3)F1MF2的底边长|F1F2|4由(2)知mF1MF2的高h|m|，SF1MF24610已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)
115、经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|解：(1)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，解得c3，b，双曲线的方程为1(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2所以|AB| 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2017三明质检)已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的值是()ABC D不能确定解析：选A令点P(x0，y0)，因为该双曲线
116、的渐近线分别是y0，y0，所以可取|PA|，|PB|，又cosAPBcosAOBcos 2AOxcos，所以|cosAPB2已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k21且k2设A(x1，y
117、1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2又2，即x1x2y1y22，2，即0，解得k23由得k21，故k的取值范围为第七节抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，
118、xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01(2016全国甲卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()AB1C D2解析：选Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2故选D2焦点在直线2xy20上的抛物线的标准方程为_答案：y24x或x28y3(教材习题改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y答案：1抛物线的
119、定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义1平面内到点(1,1)与到直线x2y30的距离相等的点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D一条直线答案：D2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y2p，p，焦点为答案：1(2016合肥市第二次质量检测)已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()AB1C D解析：选A设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM2p，解得xM，代入抛物线方
120、程可得yMp，则直线MF的斜率为，选项A正确2已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是()A4 B5C6 D7解析：选B依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5，故选B应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|
121、1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点D到y轴的距离为()A B1C D解析：选C因为抛物线y2x的准线方程为x如图所示，过点A，B，D分别作直线x的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|BF|3，根据抛物线的定义，|AG|AF|，|BE|BF|，所以|AG|BE|3，所以|MD|，所以线段AB的中点到y轴的距离为2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A B2C D3解析：选B由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距
122、离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现常见的命题角度有：(1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性 角度一：求抛物线方程1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y角度二：抛物线的对称性2已知双曲线1(a0，
123、b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 BC2 D3解析：选B双曲线的渐近线方程为yx，因为双曲线的离心率为2，所以 2，由解得或由曲线的对称性及AOB的面积得，2，解得p2，即p求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题1已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22
124、x By22xCy24x Dy24x解析：选D因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x2(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C
125、：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解：(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4所以抛物线C的方程为y28x(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb证明：由消去x得y22py2pb0(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0
126、方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p因此p的取值范围是解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式如图所示，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B
127、两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y
128、10一抓基础，多练小题做到眼疾手快1以x1为准线的抛物线的标准方程为()Ay22xBy22xCy24x Dy24x解析：选D由准线x1知，抛物线方程为：y22px(p0)且1，p2，抛物线的方程为y24x，故选D2已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 BC D解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，所以x1x23，所以点C的横坐标是3已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析：选C由已知，得准线方程为x2，所以F的坐标为(2,0)又A(2,
129、3)，所以直线AF的斜率为k4已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2答案：25一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故AOx30直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6即得A的坐标为(6,2)|AB|4，正三角形OAB的面积为4612答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1抛物线y4ax2
130、(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a,0)C D解析：选C将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，所以选C2(2016山西高三考前质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，则C1的方程是()Ax22y Bx2yCx2y Dx2y解析：选A由题意得，F，不妨设A，B，SFAB2pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22y，故选A3已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值为()A5 B4C3 D2解析：选
131、C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y，联立得：x2x0，x1x2，x1x2，所以x1，x2，所以34已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|PM|的最小值是()A8 BC10 D解析：选B依题意可知焦点F，准线方程为y，延长PM交准线于点H(图略)则|PF|PH|，|PM|PF|，|PM|PA|PF|PA|，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA| 10所以|PM|PA|10，故选B5如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，
132、则抛物线的方程为()Ay2xBy23xCy2x Dy29x解析：选B如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AF|3，|AC|33a，所以2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1，因为BDFG，所以，求得p，因此抛物线方程为y23x6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B又因为点B在双曲线上，故1，解得p6答案：67(2017广西质检)过点P(2,0)的直线与抛物线C：
133、y24x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1答案：8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为_米解析：由题意，可设抛物线方程为x22py(p0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y当y3时，x水位下降1米后，水面宽为2米答案：29已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作
134、AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2抛物线方程为y24x(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，N的坐标为10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)因为点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，解得p2故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1(2)设直线PA的斜率为kPA，直
135、线PB的斜率为kPB则kPA(x11)，kPB(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y12(y22)所以y1y24由得，yy4(x1x2)，所以kAB1(x1x2)第八节圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直
136、线与圆锥曲线C相切；b0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2则椭圆C的方程为_解析：由题意得解得所以椭圆C的方程为1答案：11直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点1过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线
137、(非直线x0)2直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2C1或2 D0解析：选A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2因此H所以N为OH的中点，即2(2)直线MH与C除H以外没有其他公共
138、点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点1直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数2判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式起着关键性的作用，第一：可以限定所给
139、参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0 D1或0解析：选D由得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，符合题意若k0，则0，即6464k0，解得k1，所以直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点时，k0或12已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：选C因为双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，所以e (2016宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4(1)求椭圆M的
140、方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由得a2，c，b，故椭圆M的方程为1(2)联立方程得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2m2且所以|AB|x1x2|又P到直线AB的距离为d，所以SPAB|AB|d 当且仅当m2(2，2)时取等号，所以(SPAB)max弦长的3种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长(3)弦长公式法：它体现了
141、解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|(2)设直线l的方程为yxc，其中cA(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20则x1x2，x1x2因为直线AB的斜率为1，所以|AB
142、|x2x1|，即|x2x1|则(x1x2)24x1x2，因为0bb0)的离心率为，且经过点P，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1l2(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD的面积S的取值范围解：(1)由，得a2c，a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S6若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为不妨设直线l1的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得
143、，(4k23)x28k2x4k2120，64k44(34k2)(4k212)144k21440，x1x2，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|，同理可得|CD|，S|AB|CD|，令k2t(0，)，S66，S综上可知，四边形ACBD面积的取值范围是一保高考，全练题型做到高考达标1过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2所以符合条件的直线有且只有两条2若直线ykx2
144、与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A BC D解析：选D由得(1k2)x24kx100设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k1即k的取值范围是3经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得4已知抛物线y22px的焦点F与椭圆16x225y24
145、00的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为()A2 B2C3 D3解析：选D16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3,0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3,0)设A(x，y)，则由|AK|AF|得(x3)2y22，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x35已知双曲线1(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为()A BC2 D3解析：选A由双曲线的
146、定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而x1x2，解得x11，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0，y0，因为中点M在直线yxm上，所以m，解得m6已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减并化简得又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4
147、)，即x2y80答案：x2y807如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则_解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以1答案：18若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为_解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2b24，所以可设椭圆方程为1，联立得(10b24)y214(b24)y9b413b21960，设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2
148、，y2)，由一元二次方程根与系数的关系得：y1y22解得：b28所以a212则椭圆方程为1答案：19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，AB4(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程解：(1)由题意知e，2a4又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆方程为1(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程
149、为y(x1)将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|同理，|CD|所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy1010(2016北京高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值解：(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为y21(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设P(x0，y0)，则x4y4当x00时，直线PA的
150、方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|直线PB的方程为yx1令y0，得xN，从而|AN|2xN|所以|AN|BM|4当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4综上，|AN|BM|为定值二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2017海口调研)已知椭圆C：1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e，点M为椭圆上的一个动点，MAB面积的最大值是2(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当0时，求点P的坐标解：(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程是1(2)由(1)知B(2,0)，设直线B
151、D的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1，整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1x1，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y，得P又0，即0，化简得064k428k2360，解得k故P或2如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4(1)求椭圆C的方程(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由P在椭圆上得，1，依题设知a2c，则a24c2，b2
152、3c2，将代入得c21，a24，b23故椭圆C的方程为1(2)存在理由如下：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理得(4k23)x28k2x4(k23)0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4，得M(4,3k)从而k1，k2，k3k因为A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即k所以k1k22k，将代入得k1k22k2k1又k3k，所以k1k22k3故存在常数2符合题意 命题点一椭圆命题指数：难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1(2015广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4
153、D9解析：选B由左焦点为F1(4,0)知c4又a5，25m216，解得m3或3又m0，故m32(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A BC D解析：选A如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|又由OEMF，得，则|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故选A3(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心
154、率为()A BC D解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0由题意知2b，解得，即e故选B4(2015浙江高考)椭圆1(ab0 )的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|由椭圆的定义得|QF|
155、QF1|2a，整理得bc，ac，故e答案：5(2015全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意得，1，解得a28，b24所以C的方程为1(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值命题点二双曲线命题指数：难度：
156、中题型：选择题、填空题1(2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，点M的坐标为点M在双曲线上，1，解得ab，ca，e故选D3(2016全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A BC D2解析：选A法一：作出示意图，如图，离心率e，由
157、正弦定理得e故选A法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e4(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21答案：y215(2016北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的
158、边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab又a2b2c28，a2答案：2命题点三抛物线命题指数：难度：中题型：选择题、填空题、解答题1(2015全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6C9 D12解析：选B由题意，设椭圆E的方程为1(ab0)，抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，
159、又，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为1抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由椭圆的对称性可知|AB|2|yA|62(2015浙江高考)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()ABC D 解析：选A由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于
160、点N，M由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1在CAN中，BMAN，3(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析：双曲线的两条渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BFOA，即kBFkOA1，又kBF，kOA，所以有1，即，故C1的离心率e 答案：4(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否
161、存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0故所求切线方程为xya0和xya0(2)存在符合题意的点理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0故x1x24k，x1x24a从而k1k2当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互
162、补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意命题点四圆锥曲线中的综合问题命题指数：难度：高题型：解答题1(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k2解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2将xy2代入1得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k212
163、0由x1(2)，得x1，故|AM|x12|由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k22(2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，
164、直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解：(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2所以|MN|x1x2|过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24 故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)