1、成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120 分钟总分：150 分一选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求把 答案凃在答题卷上.）1. 直线 y = - x 的倾斜角为（）A. pB.pC. 2 pD. 3 p42342. 平 面 a平 面 b 的 条 件 可 以 是 （）A. a 内 有 无 穷 多 条 直 线 都 与 b平 行B. 直 线 aa , ab , 且 a a , a bC a内 的 任 何 直 线 都 与 b平 行D. 直 线 a a , 直 线 b b ， 且 ab , b a3 . 与
2、 直 线3 x - 4 y - 5 = 0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 方 程 为 （）A. 3 x - 4 y + 5 = 0B. 3 x + 4 y - 5 = 0C. 3 x + 4 y + 5 = 0D. 3 x - 4 y - 5 = 04 . D A B C 中 ， A ( 4 ，0 ) , B ( 8 ，7 ) , C ( 0 ，3 ) ， 则 B C边 上 的 高 所 在 直 线 的 方 程 （）来源:学科网A. 2 x + y + 8 = 0B. 2 x + y - 8 = 0C. x - 2 y - 4 = 0D. x - 2 y + 4 = 05 . 棱 长 为
3、2 ， 各 面 均 为 等 边 三 角 形 的 四 面 体 的 表 面 积 为 （）A. 4B. 4 2C. 4 3D. 4 66 .三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 互 相 垂 直 ，三 条 侧 棱 的 长 分 别 为 3 、4 、5 ， 则 它 的 外 接 球 的 体 积 为 （）A.1 2 5 2 pB. 1 2 5 2 pC. 1 2 5 2 pD. 2 5 0 2327 . 过 点 P ( 2 ，3 ) ， 并 且 在 两 轴 上 的 截 距 为 相 反 数 的 直 线 方 程 为 （）A 3 x - 2 y = 0 或 x - y + 1 = 0B. x - y + 1 = 0C 3
4、 x - 2 y = 0 或 x + y - 5 = 0D. 3 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y + 1 = 08 . 在 一 个 平 面 上 ， 机 器 人 甲 到 与 点 C ( 2 ， - 3 ) 距 离 为 5 的 地 方 绕 C 点 顺 时 针 而 行 ， 在 行 进 过 程 中 保 持 与 点 C 的 距 离 不 变 ， 机 器 人 乙 在 过 点 A ( - 8 ，0 ) 与 B ( 0 ，6 ) 的 直 线 上 行 进 ， 机 器 人 甲 与 机 器 人 乙 的 最 近 距 离 是 （）A. 67 5524217 B. C.D.5559 . 直 线 ( m +
5、2 ) x + (1 - m ) y - 6 = 0 与 圆 ( x - 2 )2 + y 2= 1 的 位 置 关 系 是 （）A. 相交B.相离C. 相切D. 以上都有可能D1C来源:学科网ZXXK1 1 1 11 0 . 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C D - A B C D 中 ， M 为 A B 的 中 点 ， 经 过 点A1B1A 作 D M 的 垂 面 ， 该 垂 面 被 正 方 体 截 得 部 分 的 面 积 是 （）DC224AMB1 1 . 已 知 长 度 为 4 的 线 段 A B 在 平 面 a 内 ， 线 段 A C 、 B D 不 在 平 面 内 ，
6、 A C = B D = 3 ， C A 平 面 a 且 与 平 面 a 交 于 A , B D A B , B D 与 它 在 a 内 的 射 影 成 30 角 ， 则 C D 的 长 度 为 （）A. 5B. 5 或3 4C. 5 或4 3D. 3 4 或4 31 2 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 ， 且 对 于 任 意 的 x 都 有 f (1 - x ) +f (1 + x ) = 0 恒 成 立 ， 如 果 实 数2222 f ( a a、 b 满 足 不 等 式 组 - 6 a + 2 3 ) +f ( b- 8 b ) 0那 么 a+ b 的 取
7、 值 范 围 是 （） f ( b + 1) f ( 5 )A. (1 7 , 4 9 B. 9 , 4 9 C. (1 7 , 4 1D.9 , 4 1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卷的横线上。）13 .一 个 腰 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 绕 着 斜 边 上 的 高 所 在 直 线 旋 转 180 形 成 的 封 闭 曲 面 所 围 成 的 图 形 的 体 积 为1 4 . 一 根 弹 簧 ， 挂 4 N 的 物 体 时 ， 长 2 0 c m . 在 弹 性 限 度 内 ， 所 挂 物 体 的 重 量 每 增 加 1 N ，
8、 弹 簧 就 伸 长1 .5 c m , 则 弹 簧 的 长 度 l ( c m )与 所 挂 物 体 重 量 G ( N )的 关 系 方 程 为1 5 . D A B C 中 ， B C = 4， A B = 2 A C , 则 SD ABC 的 最 大 值 为16.已知O : x + y = 4 （注：横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,）22O 上只有四个有理点；O 上有无数个有理点； O 上只有有限个无理点；以O 上点 (1 ,3 ) 为圆心，半径为 4 的圆上最多只有两个有理点。 以上结论正确的序号为三.解答题（17-21 每小题 12 分， 22 题 14 分，共 74 分. 在
9、答题卷上解答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.）1 7 . 已 知 直 线 l: 2 x + y + 2 = 0， l : m x + 4 y + n = 012( 1 ) 若 l l ，求 m 的 值 ;1212( 2 ) 若 ll，且 它 们 的 距 离 为5 ， 求 m 、 n 的 值 .18.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等 腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四 棱锥）形容器。（1）试把容器的容积 V 表示为 x 的函数（2）若 x=6， 求图 2 的主视图的面积；求异面直线 EB
10、 与 DC 所成角的正切值.Ey5DCOxAB图1图21 9 . 已 知O 的 方 程 为 x 2 + y 2 = 4 , A (1 , 1 ) ， B ( - 2 , 6 ) .22( 1 ) 若 点 P 为O 上 动 点 ， 求 P A+ P B的 最 大 值 ；( 2 ) 直 线 l 过 点 A ， 被O 截 得 弦 长 为 23 ， 求 直 线 l 的 方 程 .20.A B 是O 的 直 径 ， P A 垂 直 于O 所 在 的 平 面 ， C 是 圆 周 上 不 同 于 A , B 的 任 意 一 点 .( 1 ) 求 证 ： 平 面 P A C 平 面 P B CP( 2 ) 若
11、 P A = 4， A B = 6， A B C = 3 0 ,C 求 A C 与 P B 所 成 角 的 正 切 值 ; 求 直 线 A C 与 平 面 P C B 所 成 角 的 余 弦 值 .AOB21. 如图（1）ABCD 为矩形，其中 BC 边长度为 2，AB 边长度为 1，E 为 AD 的中点，将D ABE 延 BE 折叠使得平面 A B E 平 面 B E D C，连结 AC、AD(见图 2)AEDA AM来源:学科网DNDEEBBB CC图1图2图3C( 1 )求 图 2 的 侧 视 图 的 面 积 ;( 2 ) 求 二 面 角 A - C D - B 所 成 角 的 正 切
12、值 ;( 3 )点 M 在 A D 上 ， 且 A M: M D = 5 ：2， 点 N 在 棱 A C 上 ， B N平 面 E M C ， 求 A N 的 值 .22. 已知圆 C 的周长被 y 轴平分，且经过点 A (3 , 0 ) , B ( 0 , 3 ) .（1）求圆 C 的方程；（2）过原点 O 作直线 l1 : y = k1 x 交圆 C 于点 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,作直线 l2 : y = k 2 x 交圆C 于点 G ( x 3 , y 3 ), H ( x 4 , y 4 ), (其中 y 2 0 , y 4 0 ) ,设 EH 交
13、 x 轴于点 Q ，GF 交 x 轴于点R （如图）。 求证：k x x1 1 2yk x xH=2 3 4 ;Fx + xx + x1234求证： O Qx 轴的情形) = O R.(证明过程不考虑 EH 或 GF 垂直于QORxEG成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷(参考答案)（理科） 考试时间：120 分钟总分：150 分一选择题1-5DCABC6-10BADDB11-12CA二、填空题13. 2 2p14. l =1.5G +143三、解答题15. 16316. 17.解： 设直线l 、l 的斜率分别为k 、k ，则k= -2、k= - m .2分121
14、2124m(1) 若l1 l2 ，则k1k2 = -1，m = -2 .6分2m(2) 若l1l2 ，则 - 2 = -， m = 8 ,4n2 - n4 l2 可以化简为2x + y += 0 , l1与l2的距离为4=5 .5n = 28 或-12 .12分18.解：（1）由图 2，可知 OF = x , EO =25 - x ,24V = 1 S EO = 1 x225 - x(0 x 10) .4分3ABCD34（2）取 AD 中点 G，联结 GO，GE.E主视图为DEGF .GF = 6 , EO = 4 ,DCGOABSDEGF= 1 GF EO = 1 6 4 = 12 .8分2
15、2取 AB 中点 H，联结 EH，则 EH AB，HB = 3 .EABCD为正方形, AB CD .EB与CD所成角为EBH ,DC tan EBH = EHHB= 5 .312分GOAHB19.解：（1） 设P (x, y)，则x2 + y2 = 4 ,则 PA 2 + PB 2 = (x -1)2 + ( y -1)2 + (x + 2)2 + ( y - 6)2= 2x2 + 2x + 2 y2 -14 y + 42= 2 ( x - 7 y ) + 50令x = 2 cosq , y = 2sinq ,则 PA 2 + PB 2 = 4(cosq - 7 sinq ) + 50 =
16、20 2 sin(q + j) + 50 ,22 PA+ PB的最大值为202+50 .6分（2） 设直线l方程为y -1 = k (x -1)，即kx - y +1- k = 0 ,则点O (0,0)到直线 l 的距离d =1- k.k 2 +11- k又弦长为2 3， O半径为2，则d = 1 , 解得:k=0 ,k 2 +1直线l 方程为: y = 1又直线:x = 1也满足,直线l的方程为：y = 1和x = 1.10分12分20.解：（1） 证明：设PA BC.O所在平面为a，又已知条件有PA a, BC a,AB 为O的直径，C是圆周上不同于A, B的任意一点,BCA = 90O
17、,即BC AC.又因为PA与AC是DPAC 所在平面内的两条相交直线, BC 平面PAC,又BC 平面PBC,平面PAC 平面PBC.4分（2） 过A作AD BC交O于D，连结BD .AB为O直径 ACBD，PBD或其补角为AC与PB所成角.四边形ABCD为平行四边形 .AB = 6，ABC = 30，ACB = 90 BD = AC = 3, BC = AD = 3 3 ,PD =PA2 + AD2 =27 +16 =43 ,同（1），易证BD 平面PAD .PD BD ,tan PBD = PD =BD43 .8分3 设点A到平面PCB的距离为h. .11由VA-PCB = VP- ACB
18、 得SDPCB h =33SDACB PA ,DPCB中，PC = 5，BC = 3 3 ,由（1）知，BC 平面PCA,则BC PC.SDPCB= 1 5 3 3 = 15 3 ,22 h =12 ,5sinq = 4 .5cosq = 3 .512分21.解：（1）由图可知侧视图为三角形，设BE 中点为O, 连结AO.AB = AE = 1 , O为BE中点 , AO BE. .平面ABE 平面BCDE，且AO 平面ABE, , AO 平面BCDE，则AO的长度即为侧视图的高的长度.CD BCCD的长度为侧视图的底边长.S= 1 12 =2.4分D侧224（2） 取CD中点H，连结OH,
19、AH,则OH CD .由（1）知，AO 平面BCDE , AH CD .AHO为二面角A - CD - B的平面角,OH = 1 (ED + BC ) = 3，AO =2 .来源:学科网ZXXK tan AHO =AO =OH2.8分3222（3） 连结BD,交CE于P, 连结PM在梯形BCDE中，ED = 1，BC = 2, DEBC. BP: PD = 2 :1 , 在AM上取Q, 使QM : MD = 2 :1, 连结BQ .QM : MD = 2 :1 = BP : PD , BQ PM .AQMN ED由AM : MD = 5 : 2知，AQ : QM = 1: 4 ,P在AC上取N
20、使AN : NC = 1: 4，连结BN , 则QNMC .BCBQ PM , QNMC,来源:Zxxk.Com又BQ 平面MEC，PM 平面MEC, NQ 平面MEC, MC 平面MEC.平面BQN平面MEC, 又BN 平面BQN, BN平面BQN . AN = 1 AC =3.12分5522. .解（1）由题意可知，圆 C 的圆心在 y 轴上，设圆心 C ( 0, b ) ，半径为 r.圆C的方程为 x2 + ( y - b)2 = r2 .A, B 在圆 C 上,(3 - b)2 = r2b = 1, 解得 ,=3 + b2 = r2r2圆 C 的方程为x2 + ( y -1)2 = 4
21、 .4分22(2) 将直线 EF 的方程 y = k1x 代入圆 C 的方程，整理得 (k1+1)x- 2k1x - 3 = 0 ，则 x + x =2k1, x x = -3，12k 2 +11 2k 2 +1k1x1x2所以11= -3k1 = - 3 ,x1 + x22k12将直线 GH 的方程 y = k2 x 代入圆 C 的方程，同理可得 x + x =2k2, x x = -3，34k 2 +13 4k 2 +1k2 x3 x4所以22= -3k2 = - 3 ,x3 + x4k1x1x2所以x1 + x22k2= k2 x3 x4 x3 + x42.8分x - qx - q（蝴蝶
22、定理）方法一：设点 Q(q, 0), R(r, 0), ，由 E、Q、H 三点共线，得 1= 4，解得 q = (k1 - k2 )x1x4 。同理可得 r = (k1 - k2 )x2 x3 ，k1x1k2 x4k1x1 - k2 x4k1x2 - k2 x3k1x1x2由x1 + x2= k2 x3 x4 x3 + x4变形得x2 x3k1x2 - k2 x3=-x1x4k1x1 - k2 x4(k1 - k2 )x2 x3即k1x2 - k2 x3+ (k1 - k2 )x1x4 = 0 ，k1x1 - k2 x4从而 q + r = 0, 所以 q = r ，即 OQ = OR .14分方法二：直线 EF,GH 的方程可以表示为 (k1x - y)(k2 x - y) = 0,则 过 圆 C和 上 述 方 程 交 点E,F,G,H的 二 次 曲 线 系 为 ：x2 + ( y -1)2- 4 + l(k1x - y)(k2 x - y) = 0,(*)令 y = 0, 得 (1+ lk1k2 )x- 3 = 0, 其两根即为曲线系 (*) 与 x 轴交点 Q,R 的横坐标，由韦达定理得 xQ + xR = 0, 即 OQ = OR .14分