1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
2、弧度记作 rad.(2)公式角 的弧度数公式|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180 rad；1 rad180 弧长公式弧长 l|r扇形面积公式S12lr12|r2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos yx叫做 的正切，记作 tan 各象限符号三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)
3、小于 90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30.()(4)若 0，2，则 tan sin.()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2下列与94 的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)解析 与94 的终边相同的角可以写成 2k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！答案 C3(2014新课标全国卷)若 tan 0，则()Asin 20 Bcos 0
4、 Csin 0 Dcos 20 解析 由 tan 0 可得 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin 与 cos 同号，故 sin 22sin cos 0，故选 A.答案 A4(2014大纲全国卷)已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos()A.45B.35C35D45解析 由三角函数的定义知 cos 4（4）23245.故选 D.答案 D5(人教 A 必修 4P10A6 改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案 3考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例 1】(1)若角 是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)若 sin
5、 tan 0，且 cos tan 0，则角 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1)是第二象限角，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2 2k2k，kZ，4 k2 2 k，kZ.深度思考 象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角2 的判断结论为：当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角(2)由 sin tan 0 可知 sin，tan 异号，从而 为第二或第三象限的角，由cos tan 0，可知 cos，tan 异号从而 为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)C(2)C规律方法(1)已知 所在的象限，求n
6、 或 n(nN*)所在的象限的方法是：将 的范围用不等式(含有 k)表示，然后两边同除以 n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到n 或 n(nN*)所在的象限(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为 k360(0360，kZ)的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角 终边所在的象限来判断此角是第几象限角(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解【训练 1】(1)设 是第三象限角，且cos 2 cos 2，则2 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)sin 2c
7、os 3tan 4 的值()A小于 0 B大于 0C等于 0 D不存在高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析(1)由 是第三象限角，知2 为第二或第四象限角，cos 2 cos 2，cos 2 0，综上知2 为第二象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)B(2)A考点二 三角函数的定义【例 2】已知角 的终边经过点 P(3，m)(m0)且 sin 24 m，试判断角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值解 由题意得，r 3m2，sin m3m2 24 m.m0，m 5.故角 是第二或第三象限角当 m 5时
8、，r2 2，点 P 的坐标为(3，5)，cos xr 32 2 64，tan yx5 3 153.当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为(3，5)cos xr 32 2 64，tan yx 5 3 153.综上可知，cos 64，tan 153 或 cos 64，tan 153.规律方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练 2】已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin，cos，tan 的值解 角
9、的终边在直线 3x4y0 上，在角 的终边上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！r x2y2（4t）2（3t）25|t|，当 t0 时，r5t，sin yr3t5t 35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t 34；当 t0)，所在圆的半径为 R.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则603，R10，l3 10103(cm)，S 弓S 扇S12103 1012
10、102sin 3503 50 32503 32(cm2)(2)扇形周长 C2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22 144C216.当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值C216.规律方法 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S12|R212lR.【训练 3】已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为_ cm 和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2.解析 设扇
11、形圆心角为，半径为 r，则 2r|r4，|4r2.S 扇形12|r22rr2(r1)21，当 r1 时，(S 扇形)max1，此时|2.答案 1 2 1微型专题 三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质【例 4】函数 ylg(2sin x1)12cos x的定义域为_点拨 依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可解析
12、 要使原函数有意义，必须有：2sin x10，12cos x0，即sin x12，cos x12.如图，在单 位 圆 中 作 出 相 应 三 角 函 数 线，由 图 可 知，原 函 数 的 定 义 域 为2k3，2k56(kZ)答案 2k3，2k56(kZ)点评 利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握 0 到 2范围内的特殊高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！角的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在思想方法1任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关，而与角终边上点 P 的位置无关若角 已经给出，则无论点 P 选择在
13、终边上的什么位置，角 的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r 一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1若 sin 0 且 tan
14、0，则 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 sin 0，则 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴；又 tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限 答案 C2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A.3B.2C.3D2 解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3rr，3.答案 C3若 是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析 是第三象限角，sin 0，cos 0
15、，tan 0，则可排除 A，C，D，故选 B.答案 B4(2014南阳一模)已知锐角 的终边上一点 P(sin 40，1cos 40)，则锐角()A80B70C20D10解析 根据三角函数定义知，tan 1cos 40sin 402cos2202sin 20cos 20cos 20sin 20sin 70cos 70tan 70，故锐角 70.答案 B5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若 sin sin，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角高考资源网（）您身边
16、的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析 由于第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；当三角形的内角为 90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于 sin 6 sin 56，但6 与56 的终边不相同，故错；当 cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案 A二、填空题6已知 是第二象限的角，则 180 是第_象限的角解析 由 是第二象限的角可得 90k360180k360(kZ)，则 180(180k360)180180(90k360)，即k36018090k360(kZ)，所以 18
17、0 是第一象限的角 答案 一7已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_解析 因为 sin y42y22 55，所以 y0，且 y264，所以 y8.答案 88函数 y 2cos x1的定义域为_解析 2cos x10，cos x12.由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x2k3，2k3(kZ)答案 2k3，2k3(kZ)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！三、解答题9已知角 的终边上有一点的坐标是 P(3a，4a)，其中 a0，求 sin，cos，tan.解 r（3a）2（
18、4a）25|a|.当 a0 时，r5a，sin yr4a5a45，cos xr3a5a35，tan yx4a3a43；当 a0 时，r5a，sin 45，cos 35，tan 43.综上可知，sin 45，cos 35，tan 43或 sin 45，cos 35，tan 43.10(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB.解(1)设圆心角是，半径是 r，则2rr10，12r24，解得r4，12或r1，8(舍去)扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm，则12
19、lr1，l2r4，解得r1，l2.圆心角 lr2.如图，过 O 作 OHAB 于 H，则AOH1 rad.AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！能力提升题组(建议用时：25 分钟)11已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a的取值范围是()A(2，3 B(2，3)C2，3)D2，3解析 由 cos 0，sin 0 可知，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有3a90，a20，解得2a3.答案 A12已知圆 O：x2y24 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆
20、O 顺时针运动2弧长到达点 N，以 ON 为终边的角记为，则 tan()A1 B1C2 D2解析 圆的半径为 2，2 的弧长对应的圆心角为4，故以 ON 为终边的角为2k4，kZ，故 tan 1.答案 B13如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为_解析 如图，作 CQx 轴，PQCQ，Q 为垂足 根据题意得劣弧DP 2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ22，|CQ|cos22 sin 2，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！|
21、PQ|sin22 cos 2，所以 P 点的横坐标为 2|CQ|2sin 2，P 点的纵坐标为 1|PQ|1cos 2，所以 P 点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，故OP(2sin 2，1cos 2)答案(2sin 2，1cos 2)14已知 sin 0，tan 0.(1)求 角的集合；(2)求2 终边所在的象限；(3)试判断 tan 2 sin 2 cos2 的符号解(1)由 sin 0，知 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；由 tan 0，知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为（2k1）2k32，kZ.(2)由(2k1)2k32，得 k2 2 k34，kZ，故2 终
22、边在第二、四象限(3)当2 在第二象限时，tan 2 0，sin 2 0，cos 2 0，所以 tan 2 sin 2 cos 2 取正号；当2 在第四象限时，tan 2 0，sin 2 0，cos 2 0，所以 tan 2 sin 2 cos 2 也取正号因此，tan 2 sin 2 cos 2 取正号.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第 2 讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式 知 识 梳 理1同角三角函数的
23、基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：sin cos tan_2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)2 2 正弦sin sin_sin_sin_cos_Cos_ 余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)sin()sin 成立的条件是 为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版
24、权所有，侵权必究！的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若 k2(kZ)，则 cos211tan2.()2tan 300sin 450的值为()A1 3B1 3C1 3D1 3解析 tan 300sin 450tan(36060)sin(36090)tan(60)sin 90tan 6011 3.答案 B3(2015广州调研)已知 sin52 15，那么 cos()A25B15C.15D.25解析 sin52 sin2 cos，cos 15.故选 C.答案 C4已知 sin()log814，且 2，0，则 tan(2)的值为()A2 55B.2 55C2 55D.52解析 sin
25、()sin log81423，又因为 2，0，则 cos 1sin2 53，所以 tan(2)tan()tan sin cos 2 55.答案 B5(人教 A 必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则 sin cos _解析 sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21222125.答案 25高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！考点一 同角三角函数基本关系式及应用【例 1】(1)已知 tan 2，则2sin 3cos 4sin 9cos _.(2)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2()A43B.54C34D.45解析(
26、1)2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 92234291.(2)由 于tan 2，则sin2 sin cos 2cos2 sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan212222221 45.答案(1)1(2)D规律方法 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型【训练 1】若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.103B.53C.23D2解析 3sin co
27、s 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.答案 A【例 2】(1)(2014山东省实验中学诊断)已知 sin cos 18，且4 2，则 cos sin 的值为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2)已知2 0，sin cos 15，则1cos2sin2的值为()A.75B.725C.257D.2425解析(1)当4 2 时，sin cos，cos sin 0，又(cos sin)212sin cos 11434，cos sin 32.深度思考 第(2)小题有两种解
28、法，其一结合平方关系解方程组求 sin 与cos；其二求 cos sin；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测 sin 与 cos.(2)法一 联立sin cos 15，sin2cos21，由得，sin 15cos，将其代入，整理得 25cos25cos 120.因为2 0，所以sin 35，cos 45，于是1cos2sin21452352257.法二 因为 sin cos 15，所以(sin cos)2152，可得 2sin cos 2425.而(cos sin)2sin22sin cos cos2124254925，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵
29、权必究！又2 0，所以 sin 0，cos 0，所以 cos sin 75.于是1cos2sin2 1（cos sin）（cos sin）257.答案(1)32 (2)C规律方法 求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式 sin cos，sin cos，sin cos 之间可建立联系，若令 sin cos t，则sin cos t212，sin cos 2t2(注意根据 的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用【训练 2】已知 sin cos 2，(0，)，则 tan()A1 B 22C.22D1解析 法一 由sin cos 2，sin2cos21，得：2cos
30、22 2cos 10，即()2cos 120，cos 22.又(0，)，34，tan tan 34 1.法二 因为 sin cos 2，所以 2sin4 2，所以 sin4 1.因为(0，)，所以 34，所以 tan 1.法三 因为 sin cos 2，所以(sin cos)22，所以 sin 21.因为(0，)，2(0，2)，所以 232，所以 34，所以 tan 1.答案 A考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例 3】(1)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！_(2)设 f()2sin（）
31、cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)，则f 236_解析(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30 32 32 12121.(2)f()（2sin）（cos）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin co
32、s（12sin）sin（12sin）1tan，f2361tan2361tan46 1tan 6 3.答案(1)1(2)3规律方法 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【训练 3】(1)sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)tan(1 089)tan(540)_(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，
33、侵权必究！解析(1)原式(sin 1 071)sin 99sin 171 sin 261tan 1 089tan 540 sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)tan(33609)tan(360180)sin 9cos 9sin 9cos 9tan 9tan 180 000.(2)原式 tan cos（cos）cos（）（sin（）tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.答案(1)0(2)1考点三 利用诱导公式求值【例 4】(1)已知 sin3 12，则 cos6 _(2)已知 tan6 33，则 tan56 _解析(1)3
34、 6 2，cos6 cos2 3 sin3 12.(2)6 56 ，tan56 tan56 tan6 33.答案(1)12(2)33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有3 与6；3 与6；4 与4 等，常见的互补关系有3 与23；4 与34 等【训练 4】(1)已知 sin712 23，则 cos1112_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2)若 tan()12，则 tan(3)_解析(1)cos1112cos1112 cos12 cos12，而 sin712 sin2 12 cos12 23，所以 cos111223.(2)因为 tan()ta
35、n 12，所以 tan(3)tan()tan 12.答案(1)23(2)12思想方法1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦 切 互 化 法：主 要 利 用 公 式 tan x sin xcos x 进 行 切 化 弦 或 弦 化 切，如asin xbcos xcsin xdcos x，asin2xbsin xcos xccos2x 等类型可进行弦化切(2)和积转换法：如利用(s
36、in cos)212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin211tan2 tan 4.易错防范1诱导公式的应用及注意事项(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似 k的形式时，需要对 k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负2化简三角函数应注意的
37、几点(1)化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的(2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式)，这种问题是利用 A a2|a|(a 是实数)化去根号(3)化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.12sin（2）cos（2）()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2C(sin 2cos 2)Dcos 2sin 2 解析 12sin（2）cos（2）12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|s
38、in 2cos 2.答案 A2已知 sin 55，则 sin4cos4的值为()A15B35C.15D.35解析 sin4cos4sin2cos22sin2125135.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！答案 B3已知 和 的终边关于直线 yx 对称，且 3，则 sin 等于()A 32B.32C12D.12解析 因为 和 的终边关于直线 yx 对称，所以 2k2(kZ)又 3，所以 2k56(kZ)，即得 sin 12.答案 D4(2014肇庆模拟)已知 sin2 35，0，2，则 sin()()A.35B35C.45D45解析 由已知 sin2 35，得 cos
39、35，0，2，sin 45，sin()sin 45.答案 D5已知 sin4 13，则 cos4 ()A.2 23B2 23C.13D13解析 cos4 sin2 4 sin4 sin4 13.答案 D 二、填空题6如果 sin(A)12，那么 cos32A 的值是_解析 sin(A)12，sin A12.cos32A sin A12.答案 127sin 43cos 56tan43 的值是_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 原式sin3 cos6 tan3 sin 3 cos 6 tan 3 32 32(3)3 34.答案 3 348已知 cos6 a(|a|1
40、)，则 cos56 sin23 的值是_解析 由题意知，cos56 cos6 cos6 a.sin23 sin2 6 cos6 a，cos56 sin23 0.答案 0三、解答题9已知 sin 45，2.(1)求 tan 的值；(2)求sin22sin cos 3sin2cos2的值解(1)sin2cos21，cos2 925.又2，cos 35.tan sin cos 43.(2)由(1)知，sin22sin cos 3sin2cos2tan22tan 3tan21 857.10已知在ABC 中，sin Acos A15.(1)求 sin Acos A 的值；(2)判断ABC 是锐角三角形还
41、是钝角三角形；(3)求 tan A 的值高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解(1)sin Acos A15，两边平方得 12sin Acos A 125，sin Acos A1225，(2)由 sin Acos A12250，且 0A，可知 cos A0，A 为钝角，ABC 是钝角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A124254925，又 sin A0，cos A0，sin Acos A0，sin Acos A75，由，可得 sin A45，cos A35，tan Asin Acos A453543.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11若
42、 sin6 13，则 cos23 2 等于()A79B13C.13D.79解析 3 6 2.sin6 sin2 3 cos3 13.则 cos23 2 2cos23 179.答案 A12(2014武汉模拟)已知 2，sin cos 15，则 tan4 等于()A7 B7 C.17D17高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 由 sin cos 15两边平方得 12sin cos 125，2sin cos 2425，又2，此时 sin 0，cos 0，sin cos （sin cos）2 12sin cos 1242575，联立得sin cos 15，sin cos 7
43、5，解得 sin 35，cos 45，tan sin cos 34，tan4 1tan 1tan 13413417，故选 C.答案 C13sin21sin22sin290_解析 sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)sin245sin29044121912.答案 91214是否存在 2，2，(0，)，使等式 sin(3)2cos2 ，3cos()2cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解 假设存在角，满足条件，则由
44、已知条件可得sin 2sin，3cos 2cos，由22，得 sin23cos22.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sin212，sin 22.2，2，4.当 4 时，由式知 cos 32，又(0，)，6，此时式成立；当 4 时，由式知 cos 32，又(0，)，6，此时式不成立，故舍去存在 4，6 满足条件.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正
45、切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_cos()cos_cos_sin_sin_tan()tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22cos2112sin2tan 2 2tan 1tan23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos21cos 22，sin21c
46、os 22(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4函数 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()其中tan ba 或 f()a2b2cos()其中tan ab.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(3)公式 tan()tan tan 1tantan 可以变形为 tan tan tan()(1tan
47、 tan)，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 22tan.()2(2015长沙模拟)已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2()A 53B 59C.59D.53解析 由(sin cos)213得 2sin cos 23，在第二象限，cos sin （sin cos）24sin cos 153，故 cos 2cos2sin2(cos sin)(cos sin)33 153 53，选 A.答案 A3(人教 A 必修 4P137A13(5)改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_解析 sin 347cos 148sin 77cos 58 sin(2
48、7077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58 sin 58cos 77cos 58sin 77 sin(5877)sin 135 22.答案 224设 sin 2sin，2，则 tan 2的值是_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 sin 2sin，sin(2cos 1)0，又 2，sin 0，2cos 10，即 cos 12，sin 32，tan 3，tan 2 2tan 1tan22 31（3）2 3.答案 35(2015青岛质量检测)设 为锐角，若 cos6 45，则 sin212 的值为_解析
49、 为锐角且 cos6 45，6 6，23，sin6 35.sin212 sin26 4 sin 26 cos 4 cos 26 sin 4 2sin6 cos6 22 2cos26 1 23545 22 24521 12 225 7 250 17 250.答案 17 250考点一 三角函数式的化简与给角求值【例 1】(1)已知(0，)，化简：（1sin cos）（cos 2 sin 2）22cos _(2)2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280_解析(1)原式2cos22 2sin2 cos 2 cos2 sin 24cos22 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网
50、版权所有，侵权必究！cos2 cos22 sin22cos 2cos 2 cos cos 2.因为 0，所以 02 2，所以 cos 2 0，所以原式cos.(2)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 10 2sin 80(2sin 502sin 1012cos 10 32 sin 10cos 10)2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 2 32 6.答案(1)cos (2)6规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差
51、异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值【训练 1】(1)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D2 21(2)(2014临沂模拟)化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2_解析(1)原式4sin 40sin 40cos 40 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！4cos 40sin 40sin 4
52、0cos 40 2sin 80sin 40cos 40 2sin（12040）sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212 sin2sin2cos2sin2cos212 sin2cos212 11212.法二(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212
53、cos 2cos 2 cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2 cos2cos 2(sin212cos 2)1cos 2212cos 212.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 2 14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！cos 2)12cos 2cos 2 141412.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos)22sin sin cos
54、 cos 12cos 2cos 2 cos2()12sin 2sin 212cos 2cos 2 cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.答案(1)C(2)12考点二 三角函数的给值求值、给值求角【例 2】(1)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，求 2 的值深度思考 运用两角和(差)的三角函数公式，其关键在于构造角的和(差)，在构造的过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样的变角过程你掌握了吗？解(1)02，4 2，4 2 0，又(0，)00，022，tan(2)tan
55、2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.规律方法(1)解题中注意变角，如本题中22 2 ；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好【训练 2】已知 cos 17，cos()1314，且 02，(1)求 tan 2的值；(2)求.解(1)cos 17，02，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sin 4 37，tan 4 3，tan 2
56、2tan 1tan224 3148 8 347.(2)02，02，sin()3 314，cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12.3.考点三 三角变换的简单应用【例 3】(2014广东卷)已知函数 f(x)Asinx4，xR，且 f 512 32.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()32，0，2，求 f 34 .解(1)由 f 512 32，得 Asin23 32，又 sin23 32，A 3.(2)由(1)得 f(x)3sinx4，由 f()f()32，得 3sin4 3sin4 32，化简得 cos 64，0，2，sin 1cos
57、21642 104，故 f 34 3sin34 4 3sin 3 104 304.规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等【训练 3】已知函数 f(x)sin3x4.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 是第二象限角，f 3 45cos4 cos 2，求 cos sin 的值解(1)因为函数 ysin x
58、 的单调递增区间为2 2k，2 2k，kZ，由2 2k3x4 2 2k，kZ，得4 2k3 x122k3，kZ.所以函数 f(x)的单调递增区间为4 2k3，122k3，kZ.(2)由已知，有 sin4 45cos4(cos2sin2)，所以 sin cos 4 cos sin445cos cos 4 sin sin 4(cos2sin2)，即 sin cos 45(cos sin)2(sin cos)当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知34 2k，kZ.此时 cos sin 2.当 sin cos 0 时，有(cos sin)254.由 是第二象限角，知 cos sin 0，此时
59、 cos sin 52.综上所述，cos sin 2或 52.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！思想方法1三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围2巧用公式变形和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan
60、y)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos 22，sin21cos 22，配方变形：1sin sin 2 cos 22，1cos 2cos22，1cos 2sin22.易错防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin 22 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！1(2014皖南八校联考)若 tan 3，则sin 21cos 2()A.3B 3C.33D 33解
61、析 sin 21cos 22sin cos 12cos21tan 3.答案 A2(2015东北三省三校联考)已知 sin cos 13，则 sin24 ()A.118B.1718C.89D.29解析 由 sin cos 13两边平方得 1sin 219，解得 sin 289，所以 sin24 1cos2 221sin 221892 1718，故选 B.答案 B3(2014杭州调研)已知，32，且 cos 45，则 tan4 等于()A7 B.17C17D7解析 因，32，且 cos 45，所以 sin 0，即 sin 35，所以 tan 34.所以 tan4 1tan 1tan 1341341
62、7.答案 B4已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则角 等于()A.512B.3C.4D.6解析，均为锐角，2 0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则 等于()A.23B.32C2 D3(2)函数 f(x)sin2x3 的单调减区间为_解析(1)f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x 2时，ysin x 是增函数；当2 x32，即 2x32时，ysin x 是减函数 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！由 f(x)sin x(0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，32.(2)由已知函数为 ysin2x
63、3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3 的单调增区间 由 2k2 2x3 2k2，kZ，得 k12xk512，kZ.故所给函数的单调减区间为k12，k512(kZ)答案(1)B(2)k12，k512(kZ)思想方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式2函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t 的性质易错防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数
64、对最值的影响2要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和 的符号，尽量化成 0 时情况，避免出现增减区间的混淆.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2015石家庄模拟)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k12，k512(kZ)D.k6，k23(kZ)解析 当 k2 2x3 k2(kZ)时，函数 ytan2x3 单调递增，解得k2 12xk2 512(kZ)，所以函数 ytan2x3 的单调递增区间是k2 12，k2 512(
65、kZ)，故选 B.答案 B2(2014新课标全国卷)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4 中，最小正周期为的所有函数为()ABCD解析 ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知 y|cos x|的最小正周期为；ycos2x6 的最小正周期 T22；ytan2x4 的最小正周期 T2，因此选 A.答案 A3(2014云南统一检测)已知函数 f(x)cos23x12，则 f(x)的图象的相邻两条对称高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！轴之间的距离等于()A.23B.3C.6D.12解析 因为 f(x)1cos 6x21212c
66、os 6x，所以最小正周期 T26 3，相邻两条对称轴之间的距离为T26，故选 C.答案 C4已知函数 f(x)sin(x)3cos(x)2，2是偶函数，则 的值为()A0 B.6C.4D.3解析 据已知可得 f(x)2sinx3，若函数为偶函数，则必有 3 k2(kZ)，又由于2，2，故有 3 2，解得 6，经代入检验符合题意答案 B5(2015金华十校模拟)关于函数 ytan2x3，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间0，3 上单调递减C.6，0 为其图象的一个对称中心D最小正周期为解析 函数 ytan2x3 是非奇非偶函数，A 错误；在区间0，3 上单调递增，B 错误；最小正周期为2，
67、D 错误当 x6 时，tan26 3 0，6，0 为其图象的一个对称中心，故选 C.答案 C二、填空题6函数 ycos4 2x 的单调减区间为_解析 由 ycos4 2x cos2x4 得 2k2x4 2k(kZ)，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！故 k8 xk58(kZ)所以函数的单调减区间为k8，k58(kZ)答案 k8，k58(kZ)7函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_解析 要使函数有意义必须有sin x0，cos x120，即sin x0，cos x12，解得2kx2k（kZ），3 2kx3 2k（kZ），2kx3 2k(kZ)，函数的定义
68、域为x|2kx3 2k，（kZ）.答案 2k，3 2k(kZ)8函数 ysin2xsin x1 的值域为_解析 ysin2xsin x1，令 tsin x，t1，1，则有 yt2t1t12254，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当 t12及 t1 时，函数取最值，代入 yt2t1，可得 y54，1.答案 54，1三、解答题9已知函数 f(x)6cos4x5sin2x4cos 2x，求 f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域解 由 cos 2x0 得 2xk2，kZ，解得 xk2 4，kZ，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！所以 f(x)的定义域为x|xR，
69、且xk2 4，kZ.因为 f(x)的定义域关于原点对称，且 f(x)6cos4（x）5sin2（x）4cos（2x）6cos4x5sin2x4cos 2xf(x)所以 f(x)是偶函数，当 xk2 4，kZ 时，f(x)6cos4 x5sin2 x4cos 2x6cos4 x55cos2x42cos2x1（2cos2x1）（3cos2x1）2cos2x13cos2x1.所以 f(x)的值域为y|1y12，或12y2.10(2014天津卷)已知函数 f(x)cos xsinx3 3cos2x 34，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间4，4 上的最大值和最小值解(1)
70、由已知，得f(x)cos x12sin x 32 cos x 3cos2x 3412sin xcos x 32 cos2x 3414sin 2x 34(1cos 2x)3414sin 2x 34 cos 2x12sin2x3.所以，f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间4，12 上是减函数，在区间12，4 上是增函数高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！F 4 14，f 12 12，f 4 14.所以，函数 f(x)在闭区间4，4 上的最大值为14，最小值为12.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11已知函数 f(x)2sin x(0)在区间3，4 上
71、的最小值是2，则 的最小值等于()A.23B.32C2 D3解析 f(x)2sin x(0)的最小值是2，此时 x2k2，kZ，x2k 2，kZ，3 2k 20，kZ，6k32且 k0，kZ，min32.答案 B12(2014成都诊断)若 f(x)3sin x4cos x 的一条对称轴方程是 xa，则 a 的取值范围可以是()A.0，4B.4，2C.2，34D.34，解析 因为 f(x)3sin x4cos x5sin(x)其中tan 43且02，则sin(a)1，所以 ak2，kZ，即 ak2，kZ，而tan 43且 02，所以4 2，所以 k34 ak，kZ，取 k0，此时 a34，故选
72、D.答案 D13已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：当 sin xcos x 时，f(x)cos x，当 sin x高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！cos x 时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当 x2k(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2 x(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.其中正确的结论序号是_解析 易知函数 f(x)是周期为 2的周期函数 函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示 由图象可得，f(x)的最小值为 22，当且仅当 x2k54(kZ)时，
73、f(x)取得最小值；当且仅当 2k2 x(2k1)(kZ)时，f(x)0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.所以正确的结论的序号是.答案 14(2015武汉调研)已知函数 f(x)a2cos2x2sin x b.(1)若 a1，求函数 f(x)的单调增区间；(2)若 x0，时，函数 f(x)的值域是5，8，求 a，b 的值解 f(x)a(1cos xsin x)b 2asinx4 ab.(1)当 a1 时，f(x)2sinx4 b1，由 2k2 x4 2k32(kZ)，得 2k4 x2k54(kZ)，f(x)的单调增区间为2k4，2k54(kZ)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源
74、网版权所有，侵权必究！(2)0 x，4 x4 54，22 sinx4 1，依题意知 a0.()当 a0 时，2aab8，b5，a3 23，b5.()当 a0 时，b8，2aab5，a33 2，b8.综上所述，a3 23，b5 或 a33 2，b8.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第 5 讲 函数 yAsin(x)的图象及应用最新考纲 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题知 识 梳 理1“五点法”作函数 yAsin
75、(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.X2 32 2 x02322 yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象2函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径3函数 yAsin(x)的物理意义当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T2 叫做周期，f1T叫做频率，x叫做
76、相位，叫做初相高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样()(2)函数 f(x)Asin(x)(A0)的最大值为 A，最小值为A.()(3)函数 f(x)Asin(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期()(4)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()2(2014四川卷)为了得到函数 ysin(2x1)的图象，只需把函数 ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行
77、移动12个单位长度B向右平行移动12个单位长度C向左平行移动 1 个单位长度D向右平行移动 1 个单位长度解析 因为 ysin(2x1)sin 2x12，所以只需将 ysin 2x 的图象向左平行移动12个单位即可，故选 A.答案 A3已知简谐运动 f(x)2sin3 x(|2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 分别为_解析 由题意知 12sin，得 sin 12，又|2，得 6；而此函数的最小正周期为 T23 6.答案 6，64.(人教 A 必修 4P60 例 1 改编)如图，某地一天，从 614时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b，则这段曲线的函数解
78、析式为_解析 从图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsin(x高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！)b 的半个周期，所以 A12(3010)10，b12(3010)20，又122 146，所以 8.又8 102，解得 34，y10sin8 x3420，x6，14 答案 y10sin8 x3420，x6，145(2014安徽卷)若将函数 f(x)sin2x4 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是_解析 由f(x)sin2x4 cos2x4 的图象向右平移个单位所得图象关于 y 轴对称可知 24 k，kZ，故 k2 8，又 0，故 min
79、38.答案 38考点一 函数 yAsin(x)的图象及变换【例 1】设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到解(1)f(x)sin x 3cos x212sin x 32 cos x 2sinx3，又T，2，即 2.f(x)2sin2x3.函数 f(x)sin x 3cos x 的振幅为 2，初相为3.(2)令 X2x3，则 y2sin2x3 2sin X.列表，并描点画出图象：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有
80、，侵权必究！x612371256 X02322 ysin X01010y2sin2x302020(3)法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3 个单位，得到 ysinx3的图象；再把 ysinx3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图象；最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到 ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移6 个单位，得到 ysin2x6 sin2x3
81、的图象；再将 ysin2x3 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin2x3 的图象规律方法 作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【训练 1】设函数 f(x)cos(x)0，2 0的最小正周期为，且 f 4 32.高考资源网（）您
82、身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象解(1)T2，2，又 f4 cos24 32，sin 32，又2 0，3.(2)由(1)得 f(x)cos2x3，列表：2x33023253 x06512231112f(x)12101012图象如图考点二 利用三角函数图象求其解析式【例 2】(1)(2014沈阳模拟)已知函数 f(x)Acos(x)的图象如图所示，f2 23，则 f(0)()A23B12C.23D.12(2)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_深度思考 此类
83、题目一般是 的值是唯一确定的，但 的值是不确定的，它可能有无数个，但一般都限制了 的取值范围，还要注意用哪一个点求 易出错高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析(1)由三角函数图象得T21112 712 3，即 T23，所以 2T 3.又 x712 是函数单调增区间中的一个零点，所以 3712 32 2k，解得 4 2k，kZ，所以 f(x)Acos3x4.由 f2 23，得 A2 23，所以 f(x)2 23 cos3x4，所以 f(0)2 23 cos4 23.(2)由题图可知 A 2，法一 T4712 3 4，所以 T，故 2，因此 f(x)2sin(2x)，又
84、3，0 对应五点法作图中的第三个点，因此 23，所以 3，故 f(x)2sin2x3.法二 以3，0 为第二个“零点”，712，2 为最小值点，列方程组3，712 32，解得2，3，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！故 f(x)2sin2x3.答案(1)C(2)f(x)2sin2x3规律方法 已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)五点法，由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出；(2)代入法
85、，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求【训练 2】(1)已知函数 f(x)Acos(x)(A0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为 2 的等边三角形，则 f(1)的值为()A 32B 62C.3D 3(2)(2014南京、盐城模拟)函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则 f 3的值为_解析(1)由题意得 f(0)0，即 Acos 0，因为 0，A0，所以 2，由 FG2，得T22，即 2，E 的纵坐标为 yE2sin 60 3，
86、所以 A 3，故 f(x)3cos2 x2 3sin2 x，所以 f(1)3.故选 D.(2)由三角函数图象可得 A2，34T1112 6 34，所以周期 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！T2，解得 2.又函数图象过点6，2 所以 f 6 2sin26 2，0，解得 6，所以 f(x)2sin2x6，f3 2sin23 6 1.答案(1)D(2)1考点三 函数 yAsin(x)的性质应用【例 3】(2014山东卷)已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图象过点12，3 和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2
87、)将 yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数 yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知 f(x)abmsin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图象过点12，3 和23，2，所以 3msin6 ncos6，2msin43 ncos43，即 312m 32 n，2 32 m12n，解得 m 3，n1.(2)由(1)知 f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6.由题意知 g(x)f(x)2sin2x26.设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知 x2011，所以 x00，即
88、到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！将其代入 yg(x)得 sin26 1，因为 00，2 0，2.由于 f(x)2sin(x)(0，2 2)的一个最高点为512，2，故有2512 2k2(kZ)，即 2k3，又2 0，0)若f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f 2 f 23f 6，则 f(x)的最小正周期为_解析 f(x)在区间6，2 上具有单调性，所以T22 6，即 T23，又 f 2 f 23，所以 x2 和 x23 均不是 f(x)的对称轴，其对称轴应为 x2 232712，又因为 f 2 f 6，且 f(x
89、)在区间6，2 上具有单调性，所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2 623，故函数 f(x)的最小正周期 T4712 3.答案 三、解答题9(2015景德镇测试)已知函数 f(x)4cos xsinx6 a 的最大值为 2.(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期；(2)在坐标系上作出 f(x)在0，上的图象解(1)f(x)4cos xsinx6 a4cos x32 sin x12cos x a 3sin 2x2cos2xa 3sin 2xcos 2x1a2sin2x6 1a 的最大值为 2，a1，最小正周期 T22.(2)列表
90、：x06512231112 2x662322136 f(x)2sin2x6120201画图如下：高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！10(2014湖北卷)某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为 f(t)10232 cos12t12sin12t102sin12t3，又 0t24，所以3 12t3 11 时实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3，故有 102sin
91、12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此76 12t3 116，即 10t0)，f 6 f 3，且 f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，则 _解析 依题意，x6 324 时，y 有最小值，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sin4 3 1，4 3 2k32(kZ)8k143(kZ)，因为 f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，所以34，即 12，令 k0，得 143.答案 14314已知函数 f(x)2 3sin xcos x2sin2x1，xR.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的
92、纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移6 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 yg(x)在区间6，12 上的值域解(1)因为 f(x)2 3sin xcos x2sin2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6，函数 f(x)的最小正周期为 T，由2 2k2x6 2 2k，kZ，6 kx3 k，kZ，f(x)的单调递增区间为6 k，3 k，kZ.(2)函数 yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y2sin4x6；再把所得到的图象向左平移6 个单位长度，得到 g(x)2sin4x6 6 2sin4x2 2cos 4x，当
93、x6，12 时，4x23，3，所以当 x0 时，g(x)max2，当 x6 时，g(x)min1.yg(x)在区间6，12 上的值域为1，2.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第 6 讲 正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A bsin Bcsin C2Ra2b2c22bccos_A；
94、b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平
95、面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为(如图 2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西 45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B()(2)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或 120.()(3)从 A 处
96、望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()2(2014江西卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为()A.19B.13C1 D.72解析 由正弦定理知，2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a22ba21，又知 3a2b，所以ba32，2sin2Bsin2Asin2A2322172，故选 D.答案 D高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！3一艘海轮从 A 处出发，
97、以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45，解得 BC10 2(海里)答案 A4(2014福建卷)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_解析 由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos A，所以 12AB2
98、162AB4cos 60，解得 AB2，所以 SABC12ABACsin A1224sin 602 3.答案 2 35(人教 A 必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 答案 等腰三角形或直角三角形高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！考点一 正、余弦定理的简单运用【例 1】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 a
99、2 3，b 6，A45，则 c_(2)若(abc)(abc)ac，则 B_深度思考 已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一 在ABC 中，由正弦定理得 sin Bbsin Aa6 222 312，因为 ba，所以 BA，所以 B30，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60 6 24.故 casin Csin A 2 3 6 2422 33.法二 在ABC 中，根据余弦定理可得 a2b2c22bccos A，即 c22 3c60，所以 c 33.因为
100、c0，所以 c 33.(2)因为(abc)(abc)ac，所以 a2c2b2ac.由余弦定理的推论得 cos Ba2c2b22ac12，所以 B23.答案(1)3 3(2)23规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！范围限制【训练 1】(1)在
101、ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c22a22b2ab，则ABC 是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)(2014 绍 兴 模 拟)在 ABC 中，A 60 ，b 1，S ABC 3，则abcsin Asin Bsin C_解析(1)由 2c22a22b2ab，得 a2b2c212ab，所以 cos Ca2b2c22ab12ab2ab 140，所以 90C180，即ABC 为钝角三角形(2)SABC12bcsin Ac2 32 3，c4，a2b2c22bccos A12422411213，a 13，asin A bsin Bcsin C2R(R
102、 是ABC 的外接圆的半径)abcsin Asin Bsin C2R asin A13sin 602 393.答案(1)A(2)2 393考点二 正、余弦定理的综合运用【例 2】(2014山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a3，cos A 63，BA2.(1)求 b 的值；(2)求ABC 的面积解(1)在ABC 中，由题意知，sin A1cos2A高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！33，因为 BA2，所以 sin BsinA2 cos A 63.由正弦定理，得 basin Bsin A 3 63333 2.(2)由 BA2，得 c
103、os BcosA2 sin A 33.由 ABC，得 C(AB)所以 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 33 33 63 63 13.因此ABC 的面积 S12absin C1233 2133 22.规律方法 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等【训练 2】(2014重庆卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abc8.(1)若 a2，b52，求 cos C 的值；(2)若 sin Acos2B
104、2sin Bcos2A22sin C，且ABC 的面积 S92sin C，求 a 和 b的值解(1)由题意可知 c8(ab)72.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab225227222252高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！15.(2)由 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C 可得：sin A1cos B2sin B1cos A22sin C，化简得 sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为 sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以 sin Asin B3sin C.由正弦定
105、理可知 ab3c.又因为 abc8，故 ab6.由于 S12absin C92sin C，所以 ab9，从而 a26a90，解得 a3，b3.考点三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例 3】如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为(31)海里的 B处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船
106、，则有CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在ABC 中，AB(31)海里，AC2 海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC（31）22222（31）cos 120 6(海里)根据正弦定理，可得高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sinABCACsin 120BC2 326 22.ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD 中，根据正弦定理，可得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30，BDC30，BDBC 6(海里)，则有 10t 6，t 6100.245 小时14.7 分钟故缉私
107、船沿北偏东 60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【训练 3】(2014新课标全国卷)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA
108、60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.解析 在 RtABC 中，CAB45，BC100 m，所以 AC100 2(m)在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得ACsin 45AMsin 60，因此 AM100 3(m)在 RtMNA 中，AM100 3 m，MAN60，由MNAMsin 60，得 MN高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！100 3 32 150(m)答案 150微型专题 解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合
109、理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等【例 4】已知ABC 顶点的坐标分别为 A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则 sin A的值为_点拨 先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析 因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以ABAC61610，|AB|（3）2（4）25，|AC|22（4）22 5.所以 cosAB，AC ABAC|AB|AC|1010 5 55.即 cos A 55，因为 0A，所以 sin A2 55.答案 2 55点评 本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要
110、先作出图形，求得角 A 一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果.思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理 ABC.利用公式 cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，co
111、s Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边易错防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014北京西城区模拟)在ABC 中，若 a4，b3，cos A13，则 B()A.4B.3C.6D.
112、23解析 因为 cos A13，所以 sin A1192 23，由正弦定理，得 4sin A 3sin B，所以 sin B 22，又因为 ba，所以 B2，B4，故选 A.答案 A2(2015合肥模拟)在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 32，则高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！BC 的长为()A.32B.3C2 3D2 解析 因为 S12ABACsin A122 32 AC 32，所以 AC1，所以 BC2AB2AC22ABACcos 603，所以 BC 3.答案 B3ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B6，C4，则A
113、BC 的面积为()A2 32 B.31 C2 32 D.31 解析 由正弦定理 bsin Bcsin C及已知条件，得 c2 2，又 sin Asin(BC)12 22 32 22 2 64.从而 SABC12bcsin A1222 2 2 64 31.答案 B4(2014长沙模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC 是等腰三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 依题意，由 a2bcos C 及正弦定理，得 sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos
114、 Ccos Bsin C2sin Bcos Csin(CB)0，CB，ABC 是等腰三角形；反过来，由ABC 是等腰三角形不能得知 CB，a2bcos C因此，“a2bcos C”是“ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选 A.答案 A5(2014四川卷)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)m D30(31)m 解析 如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在 RtACD 中，
115、CDADtan ACD60tan 3060 3(m)，在 RtABD 中，BDADtan ABD60tan 75602 3 60(2 3)(m)，BCCDBD60 360(2 3)120(31)(m)答案 C二、填空题6(2014惠州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tan B 3ac，则角 B 的值为_解析 由余弦定理，得a2c2b22accos B，结合已知等式得 cos Btan B 32，sin B 32，B3 或23.答案 3 或237(2014广东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos
116、 B2b，则ab_解析 由已知及余弦定理得 ba2b2c22abca2c2b22ac2b，化简得 a2b，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！则ab2.答案 28设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a1，b2，cos C14，则 sin B_解析 由余弦定理，得 c2a2b22abcos C4，即 c2.由 cos C14得 sin C 154.由正弦定理 bsin Bcsin C，得 sin Bbsin Cc22 154 154(或者因为c2，所以 bc2，即三角形为等腰三角形，所以 sin Bsin C 154)答案 154三、解答题9(20
117、14湖南卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD 714，sin CBA 216，求 BC 的长解(1)在ADC 中，由余弦定理，得cosCADAC2AD2CD22ACAD.故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD 714，所以 sin CAD 1cos 2CAD12 772 217，sin BAD 1cos 2BAD1 71423 2114.于是 sin sin(BADCAD)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！s
118、inBADcosCADcosBADsin CAD3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，BCsin ACsin CBA.故 BCACsin sin CBA 7 322163.10(2014安徽卷)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sinA4 的值解(1)因为 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a2ba2c2b22ac.因为 b3，c1，所以 a212，a2 3.(2)由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc9112613.由于 0A，所以
119、 sin A 1cos 2A1192 23.故 sinA4 sin Acos4 cos Asin4 2 23 22 13 22 4 26.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11(2014东北三省四市联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，满足 bac cab1，则角 A 的范围是()A.0，3B.0，6C.3，D.6，解析 由 bac cab1，得 b(ab)c(ac)(ac)(ab)，化简得 b2c2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！a2bc，即b2c2a22bc12，即 cos A12(0A)，所以 0A3，故选A.答案 A12(2015
120、石家庄模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csin A 3acos C，则 sin Asin B 的最大值是()A1 B.2C.3D3解析 由 csin A 3acos C，得 sin Csin A 3sin Acos C，又在ABC 中 sin A0，所以 sin C 3cos C，tan C 3，C(0，)，所以 C3.所以 sin Asin Bsin Asin3 A 32sin A 32 cos A 3sinA6，A0，23，所以当 A3 时，sin Asin B 取得最大值 3，故选 C.答案 C13在ABC 中，B60，AC 3，则 AB2BC
121、的最大值为_解析 由正弦定理知 ABsin C3sin 60 BCsin A，AB2sin C，BC2sin A.又 AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin C 3cos Csin C)2(2sin C 3cos C)2 7sin(C)，其中 tan 32，是第一象限角，由于 0C120，且 是第一象限角，因此 AB2BC 有最大值 2 7.答案 2 7高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B
122、.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值解(1)由已知及正弦定理，得 sin Asin Bcos Csin Csin B又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.(2)ABC 的面积 S12acsin B 24 ac.由已知及余弦定理，得4a2c22accos4.又 a2c22ac，故 ac42 2，当且仅当 ac 时，等号成立因此ABC 面积的最大值为 21.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！阶段回扣练 4 三角函数、解三角形(建议用时：9
123、0 分钟)一、选择题1下列函数中周期为且为偶函数的是()Aysin2x2Bycos2x2Cysinx2Dycosx2解析 ysin2x2 cos 2x 为偶函数，且周期是，故选 A.答案 A2(2014包头市测试)已知 sin 223，则 sin24()A.13B.12C.34D.56解析 依题意得 sin24 12(sin cos)212(1sin 2)56，故选D.答案 D3(2015合肥检测)函数 f(x)3sin 2xcos 2x 图象的一条对称轴方程是()Ax12Bx3Cx512Dx23解析 依题意得 f(x)2sin2x6，且 f232sin223 6 2，因此其图象关于直线 x2
124、3 对称，故选 D.答案 D4(2015天津南开模拟)当 0 x4 时，函数 f(x)cos2xcos xsin xsin2x的最小值是()A.14B.12C2 D4高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 当 0 x4 时，0tan x1，f(x)cos2xcos xsin xsin2x1tan xtan2x.设 ttan x，则 0t1，y 1tt21t（1t）1t1t224，当且仅当 t1t，即 t12时，等号成立答案 D5(2014南昌模拟)已知函数 f(x)cos x(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数 g(x)sinx4 的图象，只要将 yf(x)的图象
125、()A向左平移8 个单位长度B向右平移8 个单位长度C向左平移4 个单位长度D向右平移4 个单位长度解析 依题意得2，2，f(x)cos 2x，g(x)sin2x4 cos4 2x cos2x4 cos2x8，因此只需将 yf(x)cos 2x 的图象向右平移8 个单位长度 答案 B6某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则山的高度 BC 为()A500(31)m B500 mC500(21)m D1 000 m解析 过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E，因为DAC30，故ADE150.于是
126、ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理，得 ABADsinADBsinABD 1 000sin 150sin 15500(6 2)(m)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！所以在 RtABC 中，BCABsin 45500(31)(m)答案 A7(2015湖北七市(州)联考)将函数 g(x)3sin2x6 图象上所有点向左平移6个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12，得到函数 f(x)，则()Af(x)在0，4 上单调递减Bf(x)在4，34上单调递减Cf(x)在0，4 上单调递增Df(x)在4，34上单调递增解析 依题意，将函数
127、g(x)的图象向左平移6 个单位长度得到的曲线方程是 y3sin2x6 6 3cos 2x，再将各点横坐标缩短为原来的12，得到的曲线方程是 y3cos 4x，即 f(x)3cos 4x，易知函数 f(x)3cos 4x 在0，4 上单调递减，故选 A.答案 A8(2014乌鲁木齐诊断)在ABC 中，ACcos A3BCcos B，且 cos C 55，则 A()A30B45C60D120解析 由题意及正弦定理得 sin Bcos A3sin Acos B，tan B3tan A，0A，B2，又 cos C 55，故 sin C2 55，tan C2，而 ABC180，tan(AB)tan C
128、2，即 tan Atan B1tan Atan B2，将 tan B3tan A 代入，得 4tan A13tan2A2，tan A1 或 tan A13，而 0A90，则 A45，故选 B.答案 B高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！9已知函数 f(x)3sin 2xcos 2xm 在0，2 上有两个零点，则 m 的取值范围是()A(1，2)B1，2)C(1，2 D1，2解析 利用三角函数公式转化一下，得 f(x)2sin2x6 m，它的零点是函数 y12sin2x6 和 y2m 的交点所对应的 x 的值，要在0，2 上有两个零点，y1 和 y2 就要有两个交点，结合
129、函数 y12sin2x6 在0，2 上的图象，知当 y2m 在1，2)上移动时，两个函数有两个交点答案 B10(2014天津卷)已知函数 f(x)3sin xcos x(0)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则 f(x)的最小正周期为()A.2B.23CD2解析 f(x)3sin xcos x2sinx6，由 2sinx6 1，得sinx6 12，设 x1，x2 分别为距离最小的相邻交点的横坐标，则 x162k6，x26 2k56(kZ)，两式相减，得 x2x1233，所以 2，故 f(x)2sin2x6 的最小正周期为，故选 C.答案 C二、填空题
130、11已知 sin4 7 210，4，2，则 cos _解析 4，2，4 2，34，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！cos4 1sin24 17 2102 210，cos cos4 4 cos4 cos 4 sin4 sin 4 210 22 7 210 22 35.答案 3512(2014天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc14a，2sin B3sin C，则 cos A 的值为_解析 由已知及正弦定理得 2b3c，因为 bc14a，不妨设 b3，c2，所以 a4，所以 cos Ab2c2a22bc14.答案 1413 如
131、图 所 示 的 是 函 数y Asin(x)A0，0，|2 图象的一部分，则其函数解析式是_解析 由图象知 A1，T46 3 2，得 T2，则 1，所以 ysin(x)由图象过点6，1，可得 2k3(kZ)，又|2，所以 3，所以所求函数解析式是 ysinx3.答案 ysinx314(2014江苏卷)若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_解析 由已知 sin A 2sin B2sin C 及正弦定理可得 a 2b2c.又由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab 高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！a2b2a 2b222
132、ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab 6 24，当且仅当 3a22b2，即ab 63 时等号成立，所以 cos C 的最小值为 6 24.答案 6 2415(2014新课标全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_解析 由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12，又 A(0，)，所以 A3，又b2c2a2bc2bc4，当且仅当 bc2 时，等号成立，即 bc4，故 SABC
133、12bcsin A124 32 3，则ABC 面积的最大值为 3.答案 3三、解答题16(2014福建卷)已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin 22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解 法一(1)因为 02，sin 22，所以 cos 22.所以 f()22 22 22 1212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x212高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！12sin 2x12cos 2x 22 sin2x4，所以 T22.由 2k2 2x4
134、2k2，kZ，得 k38 xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.法二 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x 22 sin2x4.(1)因为 02，sin 22，所以 4，从而 f()22 sin24 22 sin34 12.(2)T22.由 2k2 2x4 2k2，kZ，得 k38 xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.17(2014北京卷)如图，在ABC 中，B3，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，cosADC17.(1)求 sin BAD；(2)求 BD，
135、AC 的长高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解(1)在ADC 中，因为 cosADC17，所以 sin ADC4 37.所以 sin BADsin(ADCB)sin ADCcosBcosADCsin B4 37 1217 323 314.(2)在ABD 中，由正弦定理得BDABsin BADsin ADB83 3144 373.在ABC 中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB82522851249.所以 AC7.18(2014浙江卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sin Acos
136、A 3sin Bcos B.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A45，求ABC 的面积解(1)由题意得1cos 2A21cos 2B2 32 sin 2A 32 sin 2B，即 32 sin 2A12cos 2A 32 sin 2B12cos 2B，sin2A6 sin2B6.由 ab，得 AB，又 AB(0，)，得 2A6 2B6，即 AB23，所以 C3.(2)由 c 3，sin A45，asin Acsin C，得 a85.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！由 ac，得 AC，从而 cos A35，故 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos
137、 Asin C43 310，所以，ABC 的面积为 S12acsin B8 31825.19已知函数 f(x)3sin 2xcos 2x 的图象关于直线 x3 对称，其中12，52.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，锐角 B 满足 f B2122 53，b 2，求ABC 面积的最大值解(1)因为 f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6 的图象关于直线 x3 对称，所以 23 6 k2(kZ)，所以 3k2 1.因为 12，52，所以123k2 152，所以1k1(kZ)，所以 k0，1，所以 f(x)2sin2x6.(2)fB212 2sin B2 53，所以 sin B 53，因为 B 为锐角，所以 0B2，所以 cos B23，因为 cos Ba2c2b22ac，所以a2c2b22ac23，所以43aca2c222ac2，所以 ac3，当且仅当 ac 3时，ac 取到最大值 3，所以ABC 面积的最大值为12acsin B123 53 52.
