1、第十章算法初步、统计、统计案例第一节算法初步1算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题2程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形3三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构输入语句：INPUT“提示内容”；变量输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量表达式条件结构IF条件THEN语句体ENDIFIF条件THEN语句体1ELSE语句体2ENDIF循环结构直到型循环结构DO循环体LOOPUNTIL条件当型循环结构WHILE条件循环体WEND小题体
2、验1(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为_解析：因为a2，b4，所以输出S25答案：252执行如图的程序框图，则输出的结果为_解析：进行第一次循环时，S20，i2，S201；进行第二次循环时，S4，i3，S41；进行第三次循环时，S08，i4，S081，此时结束循环，输出的i4答案：41易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息2易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分3易混淆当型循环与直到型循环直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时
3、执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反小题纠偏1按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为()Ai7？Bi9？Ci10？Di11?解析：选A21232527170，判断框内应补充的条件为i7？或i9？2如图所示，程序框图的输出结果是_解析：第一次循环：S，n4；第二次循环：n48，S，n6；第三次循环：n68，S，n8；第四次循环：n88不成立，输出S答案：题组练透1(2016北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()A1B2C3 D4解析：选B开始a1，b1，k0；第一次循环a，k1；第二次循环a2，k2；第三
4、次循环a1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k22定义运算ab为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为()A4B3C2D1解析：选A由程序框图可知，S因为2cos1,2tan2,12，结束循环，输出s174(2016河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图，若输出的S88，则判断框内应填入的条件是()Ak3?Bk4?Ck5?Dk6?解析：选C依次运行程序框图中的语句：k2，S2；k3，S7；k4，S18；k5，S41；k6，S88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k5？”谨记通法程序框图的3个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如ii1(2)累加变量：用来计算数据之和，如S
5、Si(3)累乘变量：用来计算数据之积，如ppi提醒处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数锁定考向算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点常见的命题角度有：(1)与概率、统计的交汇问题；(2)与函数的交汇问题；(3)与不等式的交汇问题；(4)与数列求和的交汇问题 题点全练角度一：与概率、统计的交汇问题1(2016黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在150,160)，160,170)，170,180)，180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4如图(2)是统计
6、样本中身高在一定范围内的人数的算法框图若图中输出的S18，则判断框内应填_ 图(1)图(2)解析：由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2A3A4，因此，判断框应填i5？或i4？答案：i5？或i4?角度二：与函数的交汇问题2(2017成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是()AB0C D336解析：选C由框图知输出的结果ssinsinsin，因为函数ysinx的周期是6，所以s336sin3360，故选C角度三：与不等式的交汇问题3(2016全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足()Ay2x B
7、y3xCy4x Dy5x解析：选C输入x0，y1，n1，运行第一次，x0，y1，不满足x2y236；运行第二次，x，y2，不满足x2y236；运行第三次，x，y6，满足x2y236，输出x，y6由于点在直线y4x上，故选C角度四：与数列求和的交汇问题4如图所示的程序框图，该算法的功能是()A计算(120)(221)(322)(n12n)的值B计算(121)(222)(323)(n2n)的值C计算(123n)(2021222n1)的值D计算123(n1)(2021222n)的值解析：选C初始值k1，S0，第1次进入循环体时，S120，k2；第2次进入循环体时，S120221，k3，第3次进入循环
8、体时，S120221322，k4；给定正整数n，当kn时，最后一次进入循环体，则有S120221n2n1，kn1，终止循环体，输出S(123n)(2021222n1)，故选C通法在握解决算法交汇问题的3个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断演练冲关1(2017南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为()ABC D解析：选B依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x不小于40的概率为2(2016
9、长春市质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为()ABC D解析：选A由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为，故选A3执行如图所示的程序框图，若输入x9，则输出y_解析：第一次循环：y5，x5；第二次循环：y，x；第三次循环：y，此时|yx|16，终止循环，则输出K的值是3答案：3一抓基础，多练小题做到眼疾手快1执行如图所示的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()A3,4B5,2C4,3D2,5解析：选A当1t1时，s3t，则s3,3)当1t3时，s4tt2函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减s3,4综上知s3,42(2016沈阳市教学质量监
10、测)执行如图所示的程序框图，如果输入的a1，b2，则输出的a的值为()A16B8C4D2解析：选B当a1，b2时，a(1)(2)26；a2，b2时，a2(2)46，此时输出的a8，故选B3(2017合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是()A20B21C22D23解析：选A根据程序框图可知，若输出的k3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S2033，执行第2次时，S2339，执行第3次时，S29321，因此符合题意的实数a的取值范围是9a21，故选A4(2016四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数
11、书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A9B18C20D35解析：选B由程序框图知，初始值：n3，x2，v1，i2，第一次循环：v4，i1；第二次循环：v9，i0；第三次循环：v18，i1结束循环，输出当前v的值18故选B二保高考，全练题型做到高考达标1已知实数x2,30，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()ABCD解析：选B由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为xx0，则输出的x22(2x01)11103，所以8x096，即x01
12、2，故输出的x不小于103的概率为P2(2017长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n7，则输入的整数K的最大值是()A18 B50 C78 D306解析：选C第一次循环S2，n2，第二次循环S6，n3，第三次循环S2，n4，第四次循环S18，n5，第五次循环S14，n6，第六次循环S78，n7，需满足SK，此时输出n7，所以18K78，所以整数K的最大值为783(2016福建省毕业班质量检测)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是()A1B2C8 D9解析：选C由程序框图可知，其功能是运算分段函数y因为y3，所以或或解得x2或x8，故选C4执行如图所示的
13、程序框图，如果输入n的值为4，则输出S的值为()A15 B6C10 D21解析：选C当k1，S0时，k为奇数，所以S1，k2,24；k2不是奇数，所以S143，k3,34，所以输出的S10，故选C5(2017黄山调研)我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n()A4 B5C2 D3解析：选A第一次循环，得S2，否；第二次循环，得n2，a，A2，S，否；第三次循环，得n3，a，A4，S，否；第四次循环，得n4，a，A8，S10，是，输出的n4，故选A6(2017北
14、京东城模拟)如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()Ai50？Bi50?Ci25? Di25?解析：选B因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i50时不满足判断框内的条件，而i51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i50？7如图(1)是某县参加2 016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，A10(如A2表示身高(单位：cm)在150,155)内的学生人数)图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图现要统计身高在160180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在
15、流程图中的判断框内应填写()Ai6？Bi7?Ci8? Di9?解析：选C统计身高在160180 cm的学生人数，则求A4A5A6A7的值当4i7时，符合要求8执行如图所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()A0B1C2D3解析：选C当条件x0，y0，xy1不成立时输出S的值为1，当条件x0，y0，xy1成立时S2xy，下面用线性规划的方法求此时S的最大值作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线S2xy经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2102，故输出S的最大值为29(2016山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的
16、i的值为_解析：第1次循环：a011，b918，ab，此时i2；第2次循环：a123，b826，ab，此时i3；第3次循环：a336，b633，ab，输出i3答案：310(2017广州市五校联考)如图所示的程序框图，其输出结果为_解析：由程序框图，得S1，故输出的结果为答案：第二节随机抽样1简单随机抽样(1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法2分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样(2)分层抽样的应用范围：当总体
17、是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样3系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k，对编号进行分段当(n是样本容量)是整数时，取k；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)；(4)按照一定的规则抽取样本通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号lk，再加k得到第3个个体编号l2k，依次进行下去，直到获取整个样本小题体验1(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A随机抽样B分层抽样C系统抽样 D以上都不是解
18、析：选C因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样2(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生解析：设应从高二年级抽取x名学生，则解得x15答案：151简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等2系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列3分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即小题纠偏1利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取
19、一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是_解析：总体个数为N8，样本容量为M4，则每一个个体被抽到的概率为P答案：2已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为_解析：每组袋数：d20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列a611160201 211答案：1 211题组练透1总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()
20、7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01解析：选D由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是012下列抽样试验中，适合用抽签法的有()A从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选BA，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两
21、厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B3利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A BC D解析：选C根据题意，解得n28故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为谨记通法简单随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少(2)是逐个抽取(3)是不放回抽取(4)是等可能抽取只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样典例引领(2016兰州市实战考试)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，1 000适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8若抽到的50人
22、中，编号落入区间1,400的人做问卷A，编号落入区间401,750的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为()A12B13C14 D15解析：选A根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d20的等差数列an，通项公式an820(n1)20n12，令75120n121 000，得n，又nN*，39n50，做问卷C的共有12人，故选A由题悟法系统抽样的3个关注点(1)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔故问题可转化为等差数列问题解决(2)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变(3)如果
23、总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样即时应用1(2016江西八校联考)从编号为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()A480 B481C482 D483解析：选C根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a17，a232，d25，所以725(n1)500，所以n20，最大编号为725194822(2017安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查现将800名学生从1到800进行编号已知从
24、3348这16个数中抽到的数是39，则在第1小组116中随机抽到的数是()A5 B7C11 D13解析：选B把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组，所以第1组抽到的数为39327典例引领1(2015湖北高考)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石B169石C338石 D1 365石解析：选B设1 534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x169故这批米内夹谷约为169石2(2015福建高考)某校高一年级有900名学
25、生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_解析：设男生抽取x人，则有，解得x25答案：25由题悟法进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比即时应用1某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_所学校，中学中抽取_所学校解析：因为分层抽样也叫按比例抽样，所以应从小学中抽取303018(所)，同理可得从中学中抽取30309(所)答案：1892某企业三月中旬生产A、B、C三种产
26、品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1 300样本容量(件)130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是_件解析：设样本容量为x，则1 300130，x300A产品和C产品在样本中共有300130170(件)设C产品的样本容量为y，则yy10170，y80C产品的数量为80800(件)答案：800一抓基础，多练小题做到眼疾手快1下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的
27、方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验解析：选DA、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样2某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为347，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A50B60C70 D80解析：选C由分层抽样方法得n15，解之得n7
28、03某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A10 B11C12 D16解析：选D因为29号、42号的号码差为13，所以31316，即另外一个同学的学号是164某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_解析：设样本容量为n，则，n16则样本容量为16答案：165为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系
29、统抽样，则分段的间隔k为_解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k40答案：40二保高考，全练题型做到高考达标1从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()92644607 20213920776638173256 16405858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 78142889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 38155131 8186 3709
30、 4521 6665 5325 5383 27029055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488A76,63,17,00B16,00,02,30C17,00,02,25 D17,00,02,07解析：选D在随机数表中，将处于0029的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,072一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，9现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相
31、同，若m8，则在第8组中抽取的号码是()A72 B74C76 D78解析：选C由题意知：m8，k8，则mk16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为817，故抽取的号码为76故选C3(2017兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp1p3p2 Dp1p2p3解析：选D根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1p2p34某工厂在12月份共生产了3 600双皮
32、靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()A800双 B1 000双C1 200双 D1 500双解析：选C因为a，b，c成等差数列，所以2bac，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴5将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，600采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从
33、301到495在B营区，从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为()A26,16,8 B25,17,8C25,16,9 D24,17,9解析：选B依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1)令312(k1)300，得k，因此A营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495，得k42，因此B营区被抽中的人数是422517，故C营区被抽中的人数为5025178故选B6一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100
34、150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为_解析：由题意可得，解得z400答案：4007(2017北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为_小时解析：第一分厂应抽取的件数为10050%50；该产品的平均使用寿命为1 0200598
35、0021 030031 015答案：501 0158哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为_解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取24(人)，接着从编号481720共240人中抽取12人答案：129某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是019(1)求x的值；(2)现用分层抽样的
36、方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)019x380(2)初三年级人数为yz2 000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：50012(名)10某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n人参加市里召开的科学技术大会如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n解：总体容量为6121836当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为6，技术员人数为12，技工人数为1
37、8所以n应是6的倍数，36的约数，即n6,12,18当样本容量为(n1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6即样本容量为n6三上台阶，自主选做志在冲刺名校1某中学有高中生3 500人，初中生1 500人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A100 B150C200 D250解析：选A样本抽取比例为，该校总人数为1 5003 5005 000，则，故n100，选A2据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的
38、社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2 100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为005(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望解：(1)抽到持“应该保留”态度的人的概率为005，005，解得x60持“
39、无所谓”态度的人数共有3 6002 10012060060720，应在持“无所谓”态度的人中抽取72072(人)(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为64人，社会人士为62人，于是第一组在校学生人数的可能取值为1,2,3，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列为123P所以E()1232第三节用样本估计总体1作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中
40、点，就得到频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线3茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便提醒茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数4样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平
41、均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，xn，那么这n个数的平均数平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差、方差标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s 方差：标准差的平方s2s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中xi(i1,2,3，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数小题体验1(教材习题改编)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23
42、，则这组数据的中位数是_解析：这组数据从小到大排列为：12,15,16,20,20,23,23,28，这组数据的中位数是20答案：202(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为35,40)，40,45)，45,50)，50,55)，55,60，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有_人解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5(00400080)06，所以共有800648(人)答案：481易把直方图与条形图混淆两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续
43、随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的2易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为3在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义小题纠偏1如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为_解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是92答案：93922对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)25,30)年龄
44、组对应小矩形的高度为_；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在25,35)的人数为_解析：设25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5(001h007006002)1，解得h004则志愿者年龄在25,35)年龄组的频率为5(004007)055，故志愿者年龄在25,35)年龄组的人数约为055800440答案：(1)004(2)440题组练透1如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为()A85,84B84,85C86,84 D84,86解析：选A由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据
45、为84,84,84,86,87，所以平均数为85，众数为842如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为168，则x，y的值分别为()A2,5 B5,5C5,8 D8,8解析：选C甲组数据的中位数为1510x，x5又乙组数据的平均数为168，y8x，y的值分别为5,83(2015湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_解析：3575，因此可将编号为135的35个数
46、据分成7组，每组有5个数据，在区间139,151上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人答案：4谨记通法茎叶图中的3个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小典例引领(2016四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)将数据按照0,05)，05,1)，4,45分成9组，制成了如图所示的频
47、率分布直方图(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0,05)内的频率为00805004，同理，在05,1)，15,2)，2，25)，3,35)，35,4)，4,45内的频率分别为008，021，025,006,004,002由1(004008021025006004002)2a05，解得a030(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为006004002012由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
48、 00001236 000(3)设中位数为x吨因为前5组的频率之和为00400801502102507305，而前4组的频率之和为00400801502104805，所以2x25由050(x2)05048，解得x204故可估计居民月均用水量的中位数为204吨由题悟法1绘制频率分布直方图时的2个注意点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率2由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式(1)组距频率(2)频率，此关系式的变形为样本容量，样本容量频率频数即时应用某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2016年1
49、1月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率(0,116008(1,224012(2,3xp(3,4yq(4,516008(5,614007合计200100已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为32(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2和(4,5的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意有：解得p04，q025补全频率分布直方图如图所示：(2)根据题意，网购金
50、额在(1,2内的人数为53(人)，记为：a，b，c网购金额在(4,5内的人数为52(人)，记为：A，B则从这5人中随机选取2人的选法为：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种P(M)锁定考向在考查中，样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题 题点全练角度一：样本
51、的数字特征与直方图交汇1某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数解：(1)由(00020009 500110012 5x00050002 5)201，得x0007 5，直方图中x的值为0007 5(2)月平均用电量的众数是230(00020009 50011)2004505，月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，则(00020009 50011)200012 5(a2
52、20)05，解得a224，即中位数为224角度二：样本的数字特征与茎叶图交汇2将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示则7个剩余分数的方差为()ABC36 D解析：选B根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则8794909190(90x)9191，所以x4所以s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2角度三：样本的数字特征与优化决策问题3(2015山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这
53、5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A BC D解析：选B法一：甲29，乙30，甲s乙故可判断结论正确法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论正确通法在握利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方
54、法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标演练冲关1气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：)：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，均值为24；丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，方差为108则满足进入夏季标志的地区有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选C甲地：5个数据的中位数为24，众数为
55、22，根据数据特征得，甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的日平均温度均不低于22 ；乙地：5个数据的中位数为27，均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 的，故不确定；丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了108，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地故选C2为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本
56、数据中的最大值为()A9 B10C11 D12解析：选B不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1x2x3x4bcBbcaCcab Dcba解析：选D把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a(10121414151516171717)147，中位数b15，众数c17，则abs，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2，且P(0)，P(1)，P(2)，则的分布列为012P所以数学期望E()012第四节变量间的相关关系_统计案例1变量间的相关关系
57、(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关2两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(2)回归方程为x，其中， (3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法(4)相关系数：当r0时，表明两个变量正相关；当r
58、0时，表明两个变量负相关r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于075时，认为两个变量有很强的线性相关性3独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdK2(其中nabcd为样本容量)小题体验1(教材习题改编)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为095x，则_x0134y22434867解析：回归直线必过样本点的中心(，)，又2，45，代入回归方程，得26
59、答案：262为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P(K23841)005，P(K25024)0025根据表中数据，得到K2的观测值k4844则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_解析：K2的观测值k4844，这表明小概率事件发生根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%答案：5%1易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2回归分
60、析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上3利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)小题纠偏1设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为085x8571，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加085 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为5879 kg解析：选D由于线性回归方程中x的系
61、数为085，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加085 kg，故C正确当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是5879 kg，而不是具体值，因此D不正确2为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()Al1和l2必定平行Bl1与l2必定重合Cl1和l2一定有公共点(s，t)Dl
62、1与l2相交，但交点不一定是(s，t)解析：选C注意到回归直线必经过样本中心点题组练透1(2015湖北高考)已知变量x和y满足关系y01x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：选C因为y01x1的斜率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关，可设zy，0，则zy01x，故x与z负相关2某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花产量y3303
63、45365405445450455(1)画出散点图(2)判断是否具有相关关系解：(1)散点图如图所示：(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系谨记通法判断相关关系的2种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强典例引领1(2016全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(1)由折线图看出，可用线性
64、回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到001)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量参考数据：i932，iyi4017, 055，2646参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得4，(ti)228, 055，(ti)(yi)iyii40174932289，r099因为y与t的相关系数近似为099，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1331及(1)得0103 133101034092所以y关于t的回归方程为092010t将2
65、016年对应的t9代入回归方程得0920109182所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为182亿吨由题悟法1回归直线方程中系数的2种求法(1)利用公式，求出回归系数b，a(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数2回归分析的2种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b即时应用(2016河北省三市第二次联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：月份91011121历史(x分)7981838587政治(y分)7779798283(1)求该生5次月考历史成绩的
66、平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程 x 附： ，解：(1)(7981838587)83，(7779798283)80，s (7780)2(7980)2(7980)2(8280)2(8380)248(2)(xi)(yi)30，(xi)240，075，1775故所求的线性回归方程为075x1775典例引领(2017皖北名校联考)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：有效无效总计使用方案A组96120使用方案B组72总计3
67、2(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；(2)能否在犯错误的概率不超过005的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？附：K2，其中nabcdP(K2k0)00500100001k03841663510828解：(1)列联表如下：有效无效总计使用方案A组9624120使用方案B组72880总计16832200使用方案A组有效的频率为08；使用方案B组有效的频率为09(2)K235713841，所以不能在犯错误的概率不超过005的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关由题悟法解决独立性检验问题的3步骤(1)根据样本数据制成22列联表(2)根据公式K2，计算K2的值(3)查表比较K2与临
68、界值的大小关系，作统计判断提醒应用独立性检验方法解决问题，易出现不能准确计算K2值的错误即时应用下表是110名性别不同的学生对某项运动所持态度的调查表男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110附表：P(K2k0)005000100001k03841663510828若由K2算得K27822参照附表，得到的正确结论是()A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A依题意，因为P(
69、78226635)0010，因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2017重庆适应性测试)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K23841)005，P(K26635)001，则下列说法正确的是()A有95%的把握认为“X和Y有关系”B有95%的把握认为“X和Y没有关系”C有99%的把握认为“X和Y有关系”D有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析：选A依题意，K25，且P(K23841)005，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A2某公司在2016年上半年的收入x(单位：万元)与月
70、支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：月份123456收入x123145150170198206支出y563575582589611618根据统计资料，则()A月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系解析：选C月收入的中位数是16，由表可知收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选C3已知变量x与y之间的回归直线方程为32x，若i17，则i的值等于()A3B4C04 D40解析：选B依题意17，而直线32x一定经过样本点的中心(，)，所以323
71、21704，所以i04104二保高考，全练题型做到高考达标1在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是()A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%解析：选B因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%2(2016河南省八市重点高中质量
72、检测)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：开业天数1020304050销售额/天(万元)62758189根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为067x549，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为()A67 B68C683 D71解析：选B设表中模糊看不清的数据为m因为30，又样本中心(，)在回归直线067x549上，所以06730549，得m68，故选B3在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在
73、直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B0C D1解析：选D因为所有样本点都在直线yx1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为14某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为06x12若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A66% B67%C79% D84%解析：选Dy与x具有线性相关关系，满足回归方程06x12，该城市居民人均工资为5，可以估计该城市的职工人均消费水平0651242，可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为84%5(2017黄冈
74、模拟)下列说法错误的是()A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为098的模型比R2为080的模型拟合的效果好解析：选B根据相关关系的概念知A正确；当r0时，r越大，相关性越强，当r0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为098的模型比R2为080的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B6经调查某地若
75、干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：0245x0321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：x变为x1，0245(x1)03210245x03210245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0245万元答案：02457在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x995m10511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是32x
76、40，且mn20，则其中的n_解析：8，6，回归直线一定经过样本点中心(，)，即63240，即32mn42又因为mn20，即解得故n10答案：108某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22列联表计算得K23918，经查临界值表知P(K23841)005则下列结论中，正确结论的序号是_有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；这种血清预防感冒的有效率为95%；这种血清预防感冒的有效率为5%解析：
77、K239183841，而P(K23814)005，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆答案：9(2017沈阳市教学质量监测)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病发病总计未注射疫苗20xA注射疫苗30yB总计5050100现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为(1)求22列联表中的数据x，y，A，B的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K2，nabcdP(K2k0)005001000
78、50001k038416635787910828解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到注射疫苗动物”为事件E，由已知得P(E)，所以y10，B40，x40，A60(2)未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效(3)K21666710828所以至少有999%的把握认为疫苗有效10从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i80，i20，iyi184，720(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程x；(2)判断变量x与y之间是正相
79、关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄解：(1)由题意知n10，i8，i2，又n2720108280，iyin184108224，由此得03，203804，故所求线性回归方程为03x04(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(030)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0370417(千元)三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2016成都质检)某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位：)的数据，如下表：x258911y1210887(1)求y关于x的回归方程x；
80、(2)判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温XN(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2，求P(38X134)附：回归方程x中，32，18若XN(，2)，则P(X)0682 6，P(2X2)0954 4解：(1)列表计算如下：ixiyixxiyi121242425102550388646449881725117121773545295287这里n5，i7，i9又n229557250，iyin 28757928，从而056，9(056)71292，故所求回归方程为056x1292(2)由0
81、560知y与x之间是负相关；将x6代入回归方程可预测该店当日的营业额05661292956(千元)(3)由(1)知7，又由2s2(27)2(57)2(87)2(97)2(117)210，知32，从而P(38X134)P(X2)P(X)P(X2)P(X)P(2X2)0818 5 命题点一算法命题指数：难度：高、中题型：选择题、填空题1(2016全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a4，b6，那么输出的n()A3B4C5 D6解析：选B程序运行如下：开始a4，b6，n0，s0第1次循环：a2，b4，a6，s6，n1；第2次循环：a2，b6，a4，s10，n2；第3次循环：a2，b4，a6，
82、s16，n3；第4次循环：a2，b6，a4，s20，n4此时，满足条件s16，退出循环，输出n4故选B2(2015全国卷)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a()A0 B2C4 D14解析：选Ba14，b18第一次循环：1418且144，a14410；第三次循环：104且104，a1046；第四次循环：64且64，a642；第五次循环：24且2001；运行第二次：S05025025，m0125，n2，S001；运行第三次：S02501250125，m0062 5，n3，S001；运行第四次：S012500
83、62 50062 5，m0031 25，n4，S001；运行第五次：S0031 25，m0015 625，n5，S001；运行第六次：S0015 625，m0007 812 5，n6，S001；运行第七次：S0007 812 5，m0003 906 25，n7，S001输出n7故选C命题点二抽样方法命题指数：难度：低题型：选择题1(2015四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法解析：选C根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为
84、分层抽样法2(2015北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A90 B100C180 D300解析：选C设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x180命题点三用样本估计总体命题指数：难度：低、中题型：选择题、解答题1(2014四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体
85、是()A总体 B个体C样本的容量 D从总体中抽取的一个样本解析：选A5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A2(2015重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温()数据的茎叶图如下图，则这组数据的中位数是()0891258200338312A19 B20C215 D23解析：选B由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为203(2015广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1401036192728342441131204
86、32939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在s与s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到001%)?解：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n2，n1,
87、2，9其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37(2)40由方差公式知，s2(4440)2(4040)2(3740)2(3)因为s2，所以s(3,4)，所以36名工人中年龄在s和s之间的人数等于在区间37,43内的人数，即40,40,41，39，共23人所以36名工人中年龄在s和s之间的人数所占的百分比为6389%4(2016全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现在决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台
88、这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(1)若n19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于05，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x19时，y3 800；当x19时，y3 800500(x19)500x
89、5 700，所以y与x的函数解析式为y(xN)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为046，不大于19的频率为07，故n的最小值为19(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800704 300204 80010)4 000若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
90、(4 000904 50010)4 050比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件命题点四回归分析与独立性检验命题指数：难度：高 题型：选择题、解答题1(2015福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8286100113119支出y(万元)6275808598根据上表可得回归直线方程x，其中076，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A114万元 B118万元C120万元 D122万元解析：选B由题意知，10，8，80761004，当x15时，0761504118(万元)2(2015
91、全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)466563682898161 4691088表中wi，i(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z02yx根据(2)的结果
92、回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 解：(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，56368681006，所以y关于w的线性回归方程为100668w，因此y关于x的回归方程为100668(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值1006685766，年利润z的预报值576602496632根据(2)的结果知，年利润z的预报值0
93、2(100668)xx1362012所以当68，即x4624时，取得最大值故年宣传费为4624千元时，年利润的预报值最大选修44 坐标系与参数方程第一节坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离
94、|OM|叫做点M的极径，记为极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为极坐标：有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程r(02)圆心为，半径为r的圆的极坐标方程2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程cos a过点，与极轴平行的直线的极坐标方程sin a(00)化为极坐标方程；(2)把曲线的极坐标方程8sin 化为直角坐标方程解：(
95、1)将 xcos ，ysin 代入x2y2r2，得2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为r(02)(2)法一：把，sin 代入8sin ，得8，即x2y28y0，即x2(y4)216法二：方程两边同时乘以，得28sin ，即x2y28y03在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)xc
96、os ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin(60)，当30时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2当0时，2，所以M(2,0)当时，
97、所以N(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)5(2017成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x1)2y21(0y1)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是(sin cos )5，射线OM：与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)由xcos ，ysin ，所以半圆C的极坐标方程是2cos ，(2)设(1，1)为点P的极坐标，则有解得设(2，2)为点Q的极坐标，则有解得由于12，所以|PQ|12|4，所
98、以线段PQ的长为46在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离解：(1)如图，由正弦定理得即sinsin，所求直线的极坐标方程为sin(2)作OHl，垂足为H，在OHA中，OA1，OHA，OAH，则OHOAsin，即极点到该直线的距离等于7(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02
99、，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a18(2017广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：
100、(R)所截得的弦长解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4因为cosAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos为所求(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2法二：(1)圆C是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2第二节参数方程1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的
101、坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)小题体验1在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_解析：依题意，消去参数可得x2y1，即xy10答案：xy102椭圆C的参数方程为(为参数)，过左焦点F1的直线l
102、与C相交于A，B，则|AB|min_解析：由(为参数)得，1，当ABx轴时，|AB|有最小值|AB|min2答案：1在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致否则不等价2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|小题纠偏1曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_解析：由(为参数)消去参数得y2x2(1x1)答案：y2x2(1x1)2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x21，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段A
103、B的长为_解析：将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|答案：题组练透1求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数解：(1)将消去参数t得直线xy10；将消去参数，得圆x2y29又圆心(0,0)到直线xy10的距离d3因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点2在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值解：直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a33如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解：圆
104、的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)谨记通法参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形典例引领(2017泉州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为2sin (1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)由得直线l的普通方程为xy30又由
105、2sin 得圆C的直角坐标方程为x2y22y0，即x2(y)25(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得225，即t23t40由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1t23又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|PB|t1|t2|t1t23由题悟法(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分
106、别为t1，t2弦长l|t1t2|；弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|即时应用1(2017石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4sin 2cos (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|PB|的值解：(1)直线l的普通方程为xy30，24sin 2cos ，曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y2)25(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x1)2(y2)25，得到t22t30，t1t23
107、，|PA|PB|t1t2|32(2016全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解：(1)C1的普通方程为y21C2的直角坐标方程为xy40(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d()当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为典例引领(2017郑州质检)平面直角
108、坐标系xOy中，曲线C：(x1)2y21直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|PB|1，求实数m的值解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x1)2y21，即x2y22x，即22cos ，所以曲线C的极坐标方程为2cos 直线l的参数方程为(t为参数)(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2y22x中，得t2(m)tm22m0，所以t1t2m22m，由题意得|m22m|1，解得m1或m1或m1由题悟法处理极坐标、参数方程综合问题
109、的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的即时应用(2016东北四市联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos232sin212，且曲线C的左焦点F在直线l上(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值解：(1)曲线C的直角坐标方程为1，将左焦点F(2，
110、0)代入直线AB的参数方程，得m2直线AB的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程得t22t20，所以|FA|FB|2(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(2cos ，2sin )，(2cos ，2sin )，(2cos ，2sin )，(2cos ，2sin )，所以椭圆C的内接矩形的周长为8cos 8sin 16sin，当，即时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值161已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解：(1)由已
111、知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)故直线AM的参数方程为(t为参数)2(2017贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为4cos ，(1)求C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x5)2(y)2m(m是常数，m0)相切，试求切点的直角坐标解：(1)C的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则C的参数方程为(t为参数，0t)(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，于是直线CD的斜率k由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tan t，t，所以，切
112、点的直角坐标为，即(2，1)3(2017湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A在曲线C上，点D(1,3)当点A在曲线C上运动时，求AD中点P的轨迹方程解：(1)将代入得曲线C的参数方程为曲线C的普通方程为y21(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1,3)，且AD的中点为P，又点A在曲线C上，代入C的普通方程y21，得(2x1)24(2y3)24，动点P的轨迹方程为(2x1)24(2y3)244(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0在以O为极
113、点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos (1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4当时，|AB|取得最大值，最大值为45(2016长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴
114、为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8cos(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值解：(1)对于曲线C2有8cos，即24cos 4sin ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2y24x4y0，其表示以(2,2)为圆心，半径为4的圆(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t22sin t130，所以t1t22sin ，t1t213，所以|AB|t1t2|，因此|AB|的最小值为2，最大值为86(2016云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系
115、中，曲线C的极坐标方程为(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围解：(1)直线l的普通方程为xy30曲线C的直角坐标方程为3x2y23(2)曲线C的直角坐标方程为3x2y23，即x21，曲线C上的点的坐标可表示为(cos ，sin )dd的最小值为，d的最大值为d，即d的取值范围为7(2017河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求
116、AOB的面积解：(1)由曲线C的极坐标方程，得2sin22cos ，所以曲线C的直角坐标方程是y22x由直线l的参数方程得t3y，代入x1t中，消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y22x，得t28t70，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t28，t1t27，所以|AB|t1t2|6，因为原点到直线xy40的距离d2，所以AOB的面积是|AB|d62128在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与曲线C1，C2
117、各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，当0时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0)，(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a3，当时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标系分别是(0,1)，(0，b)，因为这两个交点重合，所以b1(2)由(1)可得，曲线C1，C2的普通方程分别为x2y21，y21，当时，射线l与曲线C
118、1的交点A1，与曲线C2的交点B1；当时，射线l与曲线C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为选修45 不等式选讲第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或ax
119、bc小题体验1若不等式|kx4|2的解集为，则实数k_解析：由|kx4|22kx6不等式的解集为，k2答案：22函数y|x4|x4|的最小值为_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函数y的最小值为8答案：83不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|当1x2时，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集为答案：1对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立，其他类似推导小题纠偏1设a，b为满足ab|ab|B|ab|a
120、b|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：选Bab|ab|2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4答案：2,4题组练透1不等式|2x1|3的解集为_解析：由|2x1|3得，2x13或2x13，即x1或x2答案：x|x1或x22解不等式|2x1|2x1|6解：法一：当x时，原不等式转化为4x6x；当x时，原不等式转化为26，恒成立；当x时，原不等式转化为4x6x1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x
121、)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为谨记通法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解典例引领(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1所以f(x)2的解集Mx|1
122、x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0因此|ab|a恒成立f(x)mina即时应用(2016长春质检)设函数f(x)|x2|xa|(aR)(1)若不等式f(x)a0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)a0恒成立，当a0时，要保证f(x)a恒成立，即f(x)的最小值|a2|a，解得1a0，故a1所以实数a的取值范围为1，)(2)由题意可知，函数yf(x)的图象恒在直线yx的上方，画出两个函数图象可知，当a2时，符合题意，当a2时，只需满足点(
123、a，a2)不在点的下方即可，所以a2a，即2a4综上，实数a的取值范围是(，41已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1解：(1)不等式|2x3|1可化为12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1即|x|a|12(2017合肥质检)已知函数f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为a(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)5解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，从而解得a2(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故当x2时，令2x65，得x2，当24时，令2x65，得4x，故不等式f
124、(x)5的解集为3(2016广西质检)已知函数f(x)ax(a0)在(1，)上的最小值为15，函数g(x)|xa|x1|(1)求实数a的值；(2)求函数g(x)的最小值解：(1)f(x)axa(x1)a，x1，a0，f(x)3a，即有3a15，解得a5(2)由于g(x)|x5|x1|(x5)(x1)|4，当且仅当5x1时等号成立，g(x)|x5|x1|的最小值为44已知函数f(x)|xa|(1)若f(x)m的解集为，求实数a，m的值；(2)当a2且0t2时，解关于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxmama1，ma5，a2，m3(2)f(x)tf(x2)可化为|x2|t|
125、x|当x(，0)时，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；当x0,2)时，2xtx，x1，0x1，112，0x1；当x2，)时，x2tx，t2，当0t2时，无解综上，当0t2时，所求不等式的解集为5(2017西安质检)设函数f(x)|xa|，xR(1)求证：当a时，不等式ln f(x)1成立；(2)关于x的不等式f(x)a在R上恒成立，求实数a的最大值解：(1)证明：由f(x)画出草图，分析可得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)3e，所以lnf(x)1成立(2)由绝对值不等式的性质得f(x)|xa|，所以f(x)的最小值为，从而a，解得a因此a的最大值为6(2016河北三市二联)设函数f(
126、x)|x2|x1|(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1时，f(x)2x11，得x0，即0x1；当x1时，f(x)31，即x1综上，不等式f(x)1的解集为(0，)(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4故实数m的取值范围为3,47(2016兰州诊断)设函数f(x)|2x1|x2|(1)解
127、不等式f(x)0；(2)若x0R，使得f(x0)2m24m，求实数m的取值范围解：(1)不等式f(x)0，即|2x1|x2|，即4x24x1x24x4，3x28x30，解得x或x3，所以不等式f(x)0的解集为(2)f(x)|2x1|x2|故f(x)的最小值为f因为x0R，使得f(x0)2m24m，所以4m2m2，解得m故实数m的取值范围为8已知函数f(x)|3x2|(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上
128、所述，x(2)由题意，(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即00，b0，则aabb与(ab)的大小关系为_解析：，当ab时，1，当ab0时，1，0，1，当ba0时，01，1，aabb(ab)答案：aabb(ab) 2已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_解析：把abc1代入得332229，当且仅当abc时，等号成立答案：9题组练透1求证：当xR时，12x42x3x2证明：法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32x
129、x1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，所以12x42x3x22 已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1证明：a0，b0，ab2，1ab22，ab101谨记通法作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负典例引领(2016贵阳监测)已知函数f(x)2|x1|x2|(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正
130、实数，且满足abcm，求证：3解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3(2)因为a，b，c均为正实数，且满足abc3，所以(abc)22(abc)(当且仅当abc1时，取“”)所以abc，即3由题悟法综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键即时应用已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9证明：(1)ab1，a0，b0，22244 48，8(
131、2)1，由(1)知89典例引领(2016福建毕业班质量检测)已知函数f(x)|x1|(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解：(1)由题意，|x1|0，b0，且(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4(2)由(1)知，2a3b24由于46，从而不存在a，b，使得2a3b65已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23解
132、：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r236(2016海口调研)设函数f(x)|xa|(1)当a2时，解不等式f(x)7|x1|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m4n23解：(1)当a2时，不等式为|x2|x1|7，或或解得x2或x5，不等式的解集为(，25，)(2)证明：f(x)1即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，1(m0
133、，n0)，m4n(m4n)323(当且仅当m2n时取等号)7已知函数f(x)|x1|(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求证：f解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为(2)证明：f等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|故所证不等式成立8设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1所以f(x)1的解集为M(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，解得x因此N，故MN当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)2